勾股定理 平面上兩點的距離 自我評量

小學時學過，三角形中若有一個內角是直角(90°)，這樣的三角形就是直角三角形，其中直角所對的邊稱為斜邊，其餘兩個邊稱為股（如圖2-12）。我們平常使用的三角板，都有一個角是直角，它們都是直角三角形。 記號 、 是用來標示這個角是直角 ∟ ∟ 圖2-12

拿出附件三中，四個邊長為 a、b、c 的相同直角三角形（如圖 2-13 ）及甲、乙、丙三個正方形，分別排成一個邊長為 a＋b 的大正方形（如圖2-14、圖 2-15 ）。 圖 2-14 排法一： 圖 2-15 圖 2-13 排法二：

圖 2-15 中，由於紅色的角和藍色的角加起來是 90 度，所以四邊形丙的四個內角都是 90 度。且四個邊都等長，因此，四邊形丙是一個正方形。而四邊形甲和乙也是正方形。 由圖 2-14、圖 2-15 發現： 甲面積＋乙面積＝丙面積 因此可得： a 2 ＋ b2 ＝ c2 直角三角形三邊長 的數量關係

我們也可換個角度討論直角三角形兩股與斜邊的關係。 拿出附件四，將圖 2-16 和圖 2-17 的粗線框所圍的部分剪下，並將粗線框中兩個相同的三角形疊合在一起（如圖 2-18）。

圖 2-16 圖 2-18 圖 2-17

＝（邊長 a＋b 的正方形）減（三個直角三角形） 由於兩粗線框所圍面積相等， 分別再扣除一個直角三角形後， 可以發現，甲面積＋乙面積＝丙面積，因此也可得到 a2 ＋ b2 ＝ c2 。 兩粗線框所圍面積 ＝（邊長 a＋b 的正方形）減（三個直角三角形）

我們再從另一角度討論直角三角形兩股與斜邊的關係。 正方形丙的面積＝大正方形面積－四個直角三角形面積 c2 ＝ （a＋b） 2 － ‧4 ＝a2＋2ab＋b2－2ab＝a2＋b2

由上面的說明，我們可以推導出直角三角形的三邊長關係： 任意一個直角三角形，其兩股長的平方和等於斜邊長的平方。 這個關係叫做勾股定理，西方人則稱為畢達哥拉斯定理（畢氏定理）。 接下來，我們舉一些應用勾股定理計算邊長的例子。

已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊的長。 (1) (2) 配合習作 P24 基礎題 1 1 斜邊長的計算 已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊的長。 (1) (2) 解 (1)由勾股定理知： c2＝52＋122 ＝25＋144＝169 因為c＞0，故得c＝13。

解 (2)由勾股定理知： c2＝52＋52 ＝25＋25 ＝50 因為c＞0，故得c＝ ＝ 。

已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊的長。 (1) c2＝32＋42 ＝9＋16 ＝25 因為c＞0，故得c＝5。

已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊的長。 (2) c2＝72＋242 ＝49＋576 ＝625 因為c＞0，故得c＝25。

已知下列各直角三角形一股與斜邊的長，求另一股的長。 配合習作 P24 基礎題 1 2 另一股的長 已知下列各直角三角形一股與斜邊的長，求另一股的長。 (2) (1) (1)由勾股定理知： a2＋152＝172 得a2＝172－152＝289－225＝64 因為a＞0，故得a＝8。 解

解 (2)由勾股定理知： 32＋b2＝42 得b2＝42－32 ＝16－9 ＝7 因為b＞0，故得b＝ 。

如右圖，直角三角形的斜邊長為10，一股長為7，求另一股的長。 a2＋72＝102 a2＝102－72＝51 因為a＞0，故得a＝ 。

中國古時稱直角三角形的斜邊為「弦」，直角的兩邊稱為「勾」和「股」，因此直角三角形的三邊長關係稱為勾股定理或勾股弦定理。 在西方，這項有名的數學定理，相傳是由畢達哥拉斯(Pythagoras of Samos，古希臘，569BC—475BC)發現的。西元前二世紀，古希臘學者阿波羅多羅斯(Apollodorus)在

《希臘編年史》中提到：畢達哥拉斯的門徒為了慶祝發現這個定理，宰了一百頭牛祭祀神話中掌管文學、藝術、科學等的繆思(Muses)女神，以酬謝神的啟示，這就是著名的百牛之祭，所以也有人把畢氏定理稱為百牛定理。

3 長方形的對角線 (1)由勾股定理知： x2＝82＋112＝64＋121＝185 因為x＞0，故得x＝ 所以對角線長為 。 配合習作 P24 基礎題 2、3 3 長方形的對角線 (1)求長方形的對角線長。 解 (1)由勾股定理知： x2＝82＋112＝64＋121＝185 因為x＞0，故得x＝ 所以對角線長為 。

3 長方形的對角線 (2)由勾股定理知： y2＋32＝62 得y2＝62－32＝36－9＝27 因為y＞0，故得y＝ ＝ 所以另一邊長為 。 配合習作 P24 基礎題 2、3 3 長方形的對角線 (2)求長方形的另一邊長。 解 (2)由勾股定理知： y2＋32＝62 得y2＝62－32＝36－9＝27 因為y＞0，故得y＝ ＝ 所以另一邊長為 。

(1) 求長方形的對角線長。 a2＝52＋92＝25＋81＝106 因為a＞0，故得a＝ 所以對角線長為 。

(2)求長方形的另一邊長。 b2＋32＝（ ）2 b2＝（ ）2－32 ＝18－9＝9 因為b＞0，故得b＝3 所以另一邊長為3。

如右圖，直角三角形斜邊長為13，一股長為5，求： (1)另一股的長。 (2)此三角形的面積。 (3)斜邊上的高。 配合習作 P25 基礎題 4 4 斜邊上的高 如右圖，直角三角形斜邊長為13，一股長為5，求： (1)另一股的長。 (2)此三角形的面積。 (3)斜邊上的高。

(1)設另一股的長為x，依據勾股定理： x2＋52＝132 得x2＝132－52＝169－25＝144 因為x＞0，故得x＝12。 (2)三角形面積＝ ×5×12＝30 (3)設斜邊上的高為h， 由三角形面積公式知 ‧13‧h＝30， 得h＝ ，所以斜邊上的高為 。 解

設另一股的長為x， x2＋242＝302 x2＝302－242＝324 因為x＞0，故得x＝18 ， 所以三角形面積為 ＝216。 如右圖，求此直角三角形的面積及斜邊上的高。 設另一股的長為x， x2＋242＝302 x2＝302－242＝324 因為x＞0，故得x＝18 ， 所以三角形面積為 ＝216。

設斜邊上的高為h， ＝216，h＝ 所以斜邊上的高為 。

5 生活上的應用 如右圖，翰翰把長2.5公尺的梯子放在離牆腳0.7公尺處。 (1)請問梯頂離地面多少公尺？ (2)如果翰翰覺得梯子架得太高了， 想要降低 0.4 公尺，則應將梯腳 放在離牆腳幾公尺處？

(1)設梯頂離地面x 公尺，根據勾股定理： (0.7)2＋x2＝(2.5)2 x2＝(2.5)2－(0.7)2＝5.76 解 (1)設梯頂離地面x 公尺，根據勾股定理： (0.7)2＋x2＝(2.5)2 x2＝(2.5)2－(0.7)2＝5.76 因為x＞0，故得x＝2.4。 所以梯頂離地面2.4 公尺 梯子、地面與牆壁圍成直角三角形。

(2)原本梯頂離地面2.4公尺，降低0.4公尺後， 梯頂離地面2.4－0.4＝2公尺。 設此時梯腳離牆腳y 公尺，根據勾股定理： 解 (2)原本梯頂離地面2.4公尺，降低0.4公尺後， 梯頂離地面2.4－0.4＝2公尺。 設此時梯腳離牆腳y 公尺，根據勾股定理： y2＋22＝（2.5）2 y2＝（2.5）2－22＝2.25 因為y＞0，故得y＝1.5。 所以梯腳離牆腳1.5 公尺。

一把梯子斜靠在牆上，已知梯子長2.5 公尺，梯腳離牆腳2公尺， (1)求梯頂離地面多少公尺？ (2)若將梯腳向牆腳挪近0.5公尺，請問梯頂會向上移多少公尺？ 梯頂離地面 （公尺） 梯頂向上移動 （公尺）

6 長方體的對角線 右圖為一長方體， ＝8 公分， ＝6 公分， ＝4 公分，試問： (1) 的長是多少公分？ (2) 的長是多少公分？

解 (1)因為 ，所以 △GHE 為直角三角形 由勾股定理知： 所以 的長為 10 公分

解 (2)因為 ，所以 △AGE 為直角三角形 由勾股定理知： 所以 的長為 公分

右圖為邊長 4 公分的正方體，P 點為 的中點，試問： (1) 是否垂直 ？ (2) 的長是多少公分？ 是

(3) 是否垂直 ？ (4) 的長是多少公分？ 是 (公分)

一年級時我們學過，數線上A（a）、B（b）兩點的距離為 ＝｜a－b｜，現在讓我們來看看坐標平面上兩點間的距離如何計算。

如右圖，已知坐標平面上A（3, 0）、B（－5, 0）、C（3, 2）、D（－5, 2）四點， 7與兩軸等距的兩點距離 如右圖，已知坐標平面上A（3, 0）、B（－5, 0）、C（3, 2）、D（－5, 2）四點， (1)求 的長。 (2)求 的長。

(1)A、B 為x 軸這條數線上的兩點，由數線上兩點間的距離公式可得 ＝｜3－（－5）｜＝8 (2)圖中C、D 兩點到x 軸的距離相同（y 坐標都為2），所以 平行x 軸。 同理， 平行y 軸， 平行y 軸，因此四邊形ABDC 為平行四邊形，所以 ＝ ＝8。 解

如右圖，已知坐標平面上C（1, －4）、D（1, 3）兩點，求 的長。 ＝｜3－（－4）｜＝7

8 在兩軸上的兩點距離 如右圖，已知坐標平面上 A（－4, 0）、B（0, 3）兩點，求 的長。

A（－4, 0）、B（0, 3）、O（0, 0）三點形成一直角三角形，由勾股定理知 因為 ＞0，所以 ＝ ＝ 5。 解

在右圖的坐標平面上標出A（5, 0）、B（0,－3）兩點，並求出 的長。 因為 ＞0， 所以 ＝

如右圖，已知坐標平面上A(1, 2)、B(4, 5 )兩點， 9平面上任意兩點的距離 如右圖，已知坐標平面上A(1, 2)、B(4, 5 )兩點， (1)過A點作平行x 軸的水平 線，過B點作平行y 軸的鉛垂線，設兩直線相交於C 點，求C點坐標。 (2)求 的長。

(1)因為A、C兩點都在平行x 軸的水平線上，所以C 點的y 坐標為2。 因為B、C兩點都在平行y 軸的鉛垂線上，所以C 點的x 坐標為4。 解 (1)因為A、C兩點都在平行x 軸的水平線上，所以C 點的y 坐標為2。 因為B、C兩點都在平行y 軸的鉛垂線上，所以C 點的x 坐標為4。 故C 點的坐標為（4, 2）。

(2)連接A、B、C 三點可形成一直角三角形， 其中 ＝｜4－1｜＝3 ＝｜5－2｜＝3 由勾股定理知 因為 ＞0，所以 ＝ ＝ 。 解 (2)連接A、B、C 三點可形成一直角三角形， 其中 ＝｜4－1｜＝3 ＝｜5－2｜＝3 由勾股定理知 因為 ＞0，所以 ＝ ＝ 。

在右圖的坐標平面上標出A（－4, －5）、B（2, 3）兩點， 並求出 的長。 過 B 點作平行 y 軸的水平 線，過 A 點作平行 x 軸的 水平線，兩線交於 C（2 , －5），且 △ABC為直角三角形 因為 ＞0，所以 ＝10

坐標平面上A（x1 , y1）、B（x2 , y2）兩點，如圖2-19 所示。

過A、B 兩點分別作鉛垂線與水平線，得到交點C，則 ＝｜x1－x2｜， ＝｜y1－y2｜ 由勾股定理可知 ＝｜x1－x2｜2＋｜y1－y2｜2 ＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2 所以 ＝ 坐標平面上任意兩點A（x1 , y1）、B（x2 , y2）間的距離為

已知坐標平面上A（2, 1）、B（－4, 9）兩點，求 的長。 配合習作 P25 基礎題 5 10 兩點距離 已知坐標平面上A（2, 1）、B（－4, 9）兩點，求 的長。 解

(1) 已知坐標平面上A（0, 0）、B（－8,－6）兩點，求 的長。

(2)已知坐標平面上C（－2, 0）、D（－7,－12）兩點，求 的長。

1.勾股定理：直角三角形兩股長的平方和等於斜邊長的平方。 2.已知一直角三角形兩邊的長度，可以利用勾股定理求出第三邊的長度。 3.平面上兩點的距離：坐標平面上任意兩點A（x1, y1）、B（x2, y2）間的距離為

你要確實的掌握每一個問題的核心，將工作分段，並且適當的分配時間。 —富蘭克林（Benjamin Franklin，1706-1790）

（ ）2＝（ ）2＋a2 a2＝（ ）2－ ( )2 ＝7－3＝4 因為a＞0，所以a＝2。 2-3 自我評量 1.利用勾股定理計算下列各圖形未知的邊長或對角線長： (1) （ ）2＝（ ）2＋a2 a2＝（ ）2－ ( )2 ＝7－3＝4 因為a＞0，所以a＝2。

(2) b2＝52＋72＝25＋49＝74 因為b＞0，所以b＝ 。

(3) 72＝22＋c2 c2＝72－22＝49－4＝45 因為c＞0，所以c＝ ＝ 。

(4) d 2＝32＋72＝9＋49＝58 因為d＞0，所以d＝ 。

(5) e2＝42＋42＝16＋16＝32 因為e＞0， 所以e＝ ＝

(6) 92＝62＋f 2 f 2＝92－62＝81－36＝45 因為f ＞0， 所以f ＝ ＝

2.已知一直角三角形的斜邊長為8，一股長為5，求另一股長。 設另一股的長為x，由勾股定理知x2＋52＝82，得 x2＝82－52＝64－25＝39 因為x＞0，故得x＝ 。

3.已知一直角三角形的斜邊長為41，一股長為40，求另一股長。 設另一股的長為x，由勾股定理知x2＋402＝412，得 x2＝412－402＝1681－1600＝81 因為x＞0，故得x＝ ＝9。

4.已知一直角三角形的兩股長分別為 、5，求斜邊長。 設斜邊的長為x，由勾股定理知 x2＝（ ）2＋52＝11＋25＝36 因為x＞0，故得x＝6。

5.已知一直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊的長。 設第三邊的長為x， (1)若第三邊為斜邊，則由勾股定理知 x2＝32＋42＝9＋16＝25 因為x＞0，故得x＝5。 (2)若第三邊不為斜邊，則由勾股定理知x2＋32＝42，得 x2＝42－32＝16－9＝7 因為x＞0，故得x＝ 。

6.如右圖，兩個相同的綠色直角三角形（兩股長分別為a、b，斜邊長為c）與一個藍色的等腰直角三角形（腰長為c）拼成一個梯形，請問： 示） (2)藍色三角形的面積＝ ____________ 。（以c 表示）

(3)由「梯形面積＝藍色三角形的面積＋兩個綠色三角形的面積」列出算式，並將它展開、化簡，可以得到什麼式子？ ＝ ＋2‧ ‧ab （a＋b）2＝c2＋2ab a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab a2＋b2＝c2 C2

7.虎克船長在無人島上埋藏寶藏，他先在A地紮營，然後向東走15公里到達B地，藏了第一批珠寶；再由B地向南走8公里到達C地，藏了第二批珠寶；之後，疲倦的虎克船長由C地走直線回到A 地。虎克船長共走了多少公里？ 因為 ＞0，所以 ＝ ＝17。 虎克船長共走了 （公里）

8.求下列各小題中，坐標平面上兩點間的距離： (1) A（6,－3）、B（－2,－3） (2) C（2,－1）、D（5, 3）

(3) E（5,－3）、F（－2, 21） (4) G（1, 1）、H（2, 3）

畢氏數 在前面的課程中，我們學會了勾股定理：直角三角形兩股長的平方和等於斜邊長的平方，即a2＋b2＝c2。我們把滿足a2＋b2＝c2的正整數a、b、c稱做畢氏數(Pythagorean triples)，畢氏學派證明了有無限多組畢氏數存在。

畢達格拉斯提出一組直角三角形三邊長的公式：兩股長分別為2n＋1與2n2＋2n，斜邊長為2n2＋2n＋1，其特點是斜邊與其中一股的差為1。柏拉圖提出了另一組公式：兩股長分別為2n與n2－1，斜邊長為n2＋1，此時斜邊與其中一股之差為2。

若直角三角形兩股長分別為u2－v2與2uv（u、v 為正整數，且u＞v），運用第1章所學的乘法公式，我們可得 ＝（u4－2u2v2＋v4）＋4u2v2 ＝u4＋2u2v2＋v4 ＝（u2）2＋2（u2）（v2）＋（v2）2 ＝（u2＋v2）2

將u、v 分別用不同的正整數代入，即可得到許多組畢氏數。例如： 用u＝2，v＝1 代入可得u2－v2＝22－12＝4－1＝3 2uv＝2 × 2 × 1＝4 u2＋v2＝22＋12＝4＋1＝5 即直角三角形三邊長為3、4、5。

同學們可以想想看，課本例題中的直角三角形三邊長，是將u、v 分別用哪些正整數代入u2－v2、2uv 與u2＋v2 而得的畢氏數呢？