高等数学提高班 (省专升本) 教师： 裴亚萍 数学教研室： 东校区 2118 电话：664312 长号：13867854314

教学内容 第一章 空间解析几何与 向量代数 第二章 级数

考核方式 平时成绩5０％＋期末成绩5０％ 平时成绩的构成： 出勤＋练习＋学习态度＋提问＋课堂纪律 期末成绩的构成： 　　期末笔试开卷成绩

教材： 《高等数学》 侯风波 主编（第二版） 高等教育出版社 教材： 《高等数学》 侯风波 主编（第二版） 高等教育出版社 　　　　　　　　　　　参考书： 1、《高等数学》（专升本）辅导教程 陈笑缘主编 高等教育出版社 2、《高等数学》 郭运瑞 主编 西南交通大学3、《应用数学基础》 张绪绪 主编 西安电子科技大学出版社 4、《应用数学基础》 赵益坤 主编 化工出版社 5、《高等数学》 同济大学数学教研室 主编 高等教育出版社

第一章 向量与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的点积与叉积 第三节 平面与直线

第一节 空间直角坐标系与向量的概念 一、空间直角坐标系 二、向量的基本概念及线性运算 三、向量的坐标表示

坐标系的构成 1. 数轴 一维空间 过原点 O 作一条数轴， x 轴 x y o o x 就构成一维坐标系。 2. 平面直角坐标系 二维空间 1. 数轴 一维空间 过原点 O 作一条数轴， x 轴 x y o 1 o x 就构成一维坐标系。 2. 平面直角坐标系 二维空间 过平面原点 O 作两条互相垂直的数轴， x 轴，y 轴 就构成平面直角坐标系。

一、空间直角坐标系 三维空间

空间直角坐标系 O 空间解析几何简介 空间直角坐标系（三维直角坐标系） （竖轴） O O （纵轴） （横轴） O 右 手 原 则

三个坐标平面分空间为八个卦限 （演示） O 八个卦限 三个坐标平面 Ⅲ Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅱ Ⅳ Ⅱ 平面 Ⅰ 平面 Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ

直角坐标系把平面分成四个部分。 o y x 第一象限 x>0,y>0 第一象限 x<0,y>0 Ⅱ Ⅰ 第一象限 x>0,y>0 第一象限 x<0,y>0 Ⅲ Ⅳ 第三象限 x<0,y<0 第四象限 x>0,y<0

第 I 卦限 x>0,y>0,z>0; Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅳ Ⅰ O z Ⅲ Ⅱ Ⅷ 第 Ⅲ卦限 x<0,y<0,z>0; 第 Ⅳ 卦限 x>0,y<0,z>0; 第Ⅴ卦限 x>0,y>0,z<0; 第Ⅵ卦限 x<0,y>0,z<0; 第Ⅶ卦限 x<0,y<0,z<0; 第Ⅷ 卦限 x>0,y<0,z<0.

练习：判断下列点分别是第几卦限的点 x y Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅳ Ⅰ O z Ⅲ Ⅱ Ⅷ 第六卦限的点 第五卦限的点 第四卦限的点 第七卦限的点

几种特殊点：原点(0,0,0); (x,0,0)即y=z=0 ， x 轴上的点 y轴上的点 (0,y,0)即x=z=0和 z轴上的点 Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅳ Ⅰ O z Ⅲ Ⅱ Ⅷ (x,0,0)即y=z=0 ， x 轴上的点 y轴上的点 (0,y,0)即x=z=0和 z轴上的点 (0,0,z)即x=y=0. xy平面上的点 (x,y,0)即z=0. yz平面上的点 (0,y,z)即x=0. zx平面上的点 (x,0,z)即y=0. P37 表2-1,2-2

在直角坐标系oxyz中,作出点 并指出所在挂限，说明它们之间的关系？ 练习： 解： 在第一卦限； 在第五卦限； 在第二卦限； 与 对称于xoy平面； 练习P43 1 与 对称于yoz平面； 与 对称于y轴.

已知点A (1 , 2 , 3)、B (1 , 2 , -3)、C（1，-2，-3） D（2，-3，6）E（-2，3，-6），问他们之间有何关系？ 练习 解： A (1 , 2 , 3)与B (1 , 2 , -3)对称于xy平面； A（1，2，3）与C（1，-2，-3）对称于x轴； B（1，2，-3）与C（1，-2，-3）对称于xz平面 D（2，-3，6）与E（-2，3，-6）对称于原点。

二、向量的基本概念及线性运算

例：

作业：

三、向量的坐标表示

练习： 已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， 求 a + b , a - b , 3a - 2b . 解 a + b a - b 3a - 2b

练习： 求平行与 a = { 1, 1 , 1}，的单位向量b 解

练习： 试证 A (4 , 1 , 9)、B (10 , -1 , 6)、C（2，4，3）为顶点的 △ABC 是等腰直角三角形. 解 由两点间距离公式可得 △ABC 是等腰直角三角形. 所以，

△AOB 的周长. 练习 已知 A (－3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5). 解 由两点间距离公式可得 由两点间距离公式 可得 所以， △AOB 的周长

第二节 向量的点积与叉积 一、向量的点积 二、向量的叉积

一、向量的点积(又称点乘、内积、数量积）

称为向量a 在向量 b 上的 定义 2 投影 ，记为ab , 即 ( b ) ( a ) 类似地 所以，两向量的数量积也可以用投影表示为 

例 1 已知 a = i + j， b = i + k， 求a  b, 及 ab . 解 由公式可得

练习 求 ai , aj 及 ak . 解 因为 i = 1 , 0 , 0 , j = 0 , 1 , 0 ， k = 0 , 0 , 1， 所以 正是 a 向量分别在 i， j，k 上的投影， 这就是说，向量 a 的坐标 ai，aj ，ak 为简便起见，今后我们常称它们依次是 a 在 x，y，z 轴上的投影.

向量 a = 4i + 3j + 7k垂直 例 2 求在 x y 坐标面上与 的单位向量. 因为它在 x y 坐标面上， 解 设所求的向量为 b =  x , y , z . 且与 a 垂直， 所以 z = 0 . 又因为 b 是单位向量 所以 即有 解之得 故所求向量

例 3 已知 M1 ( 1 , -2 , 3 )、M2 ( 4 , 2 , -1 )， 求 的模及方向余弦以及和向量 方向一致的单位向量. 解 由条件可得

例 4 设向量 a 的两个方向余弦为 求向量 a 的坐标. 可知 解 因为

因此 所以  =2 , 4 , 4 或  =2 , 4 ,－4 .

例 5 已知作用于一质点的三个力为 F1 = i－2k ， 求其合力F 的大小及方向角. F2 = 2i－ 3j + 4k ， F3 = j + k ， 解 因为 F = F1 + F2 + F3 所以，可得

查表可得 合力的三个方向角为 因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位，

二、向量的叉积(又称叉乘、外积、向量积、矢量积）

推导： 利用向量积的运算规律有：

将上式表示为： 为了便于记忆， 我们借用行列式记号， 可用下式表示为： “+” “—”

练习 解 由公式得

求以 A(2, －2 , 0)，B(－1, 0, 1 )，C (1, 1, 2 )为顶点的 △ABC 的面积. 例 6 解 由向量积的定义可知 △ABC 的面积 故 △ABC 的面积

练习： 求同时垂直于向量 和 若 a  b = c，则 c 同时垂直于a 和 b ， 解 由向量积的定义可知， 且 因此，与 c＝a  b 平行的单位向量应有两个： 和

练习： 已知 a + b + c = 0，求证 所以 a = - ( b + c ) , 从而 证明 因为 a + b + c = 0 ， 同理可证 所以有

由于两个向量 a，b 平行的充要条件是 a  b = 0， 定理: 两个非零向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零向量. 由于两个向量 a，b 平行的充要条件是 a  b = 0， 因此，可将 a，b 平行的充要条件表示为: 当 b1，b2，b3 全不为零时，有

我们约定相应的分子为零，例如: 当 b1，b2，b3中出现零时， 应理解为:

1.答：不一定是.因为 ,若 2. 80 3. B 不垂直，则 不是单位向量.

第三节 平面与直线 一、平面的方程 二、直线的方程

一、平面的方程

求过点(2, 1, 1)且垂直于向量 i + 2j + 3k 的平面方程 . 例 1 显然，所求平面的法向量 n = i + 2j + 3k ， 解 所以由公式可得该平面方程为 又因为平面过( 2, 1, 1 )， 即 x + 2y + 3z－7 = 0 .

且和平面 x - y + z + 1 = 0 垂直的平面方程. 例 2 求过点 M1( 1, 2, -1 ), M2( 2, 3, 1 ) 解 因为点 M1 ，M2 在所求平面上，所以向量 在该平面上， 且与已知平面的法向量 n1 = 1, 1, 1垂直. 故该平面的法向量 n1 M2 M1

由于该平面过点 M1(1, 2,－1)， 因此 即 为所求的平面的方程.

例 4 设一平面过 M1(1, 0, 2) 和 M2(1, 2, 2)， 且与向量 平行， 试求此平面的方程. 解 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 . 因为此平面过点 M 1，M2 ， 所以 ① ② 又由于所求平面与向量 　平行， 　因此它的法向量与 a 垂直， 即 ③ A + B + C = 0 解联立方程①、②、③，得 A = C，B =  2C，D = C， 所以有 消去 C ， 即为所求的平面方程为

三、两平面的夹角 设平面 1、2 的方程分别为 两平面法向量的夹角， 称为两平面的夹角. 它们的夹角为  . ④ 则平面1、2 垂直的充要条件是 A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0； 平行的充要条件是

与 2x + y + z  5 = 0 的夹角  . 例 6 求两平面 x  y + 2z + 3 = 0 解 由公式 ④ 得

点到平面的距离公式 平面外一点 平面 是平面上点到直线的距离公式的推广

练习 3. 求通过x轴和点(4 3 1)的平面的方程 解: 平面通过x轴 一方面表明它的法线向量垂直于x轴 即A0 另一方面表明 它必通过原点 即D0 因此可设这平面的方程为 ByCz0 又因为这平面通过点(4 3 1) 所以有 3BC0 或 C3B  将其代入所设方程并除以B (B0) 便得所求的平面方程为 y3z0

第五节 空间直线及其方程 一、空间直线的点向式方程 和参数方程 二、空间直线的一般方程 三、空间两直线的夹角

一、空间直线的点向式方程和参数方程 设直线 L 过点 M0(x0, y0, z0)， 设 M(x, y, z)是直线 L 上任意一点， 由两向量平行的充要条件可知 ① z L s M 方程组 ① 称为直线的点向式方程或标准方程 (当 m，n，p 中有一个或两个为零时， 就理解为相应的分子是零). M0 y x

若直线 L 的方程为 称为直线的参数方程，t 为参数.

M2(x2, y2, z2)的直线方程. 例 1 求过点 M1 (x1, y1, z1)， 解 设所求的直线方程为 由于直线过点 M1，M2 , 所以可取向量 故所求的直线方程为 为直线的方向向量 s . 称为直线的两点式方程.

二、空间直线的一般方程 表示这两个平面的交线， 方程组 称为空间直线的一般方程. 表示 z 轴所在的直线方程， 例如方程组 而 表示 y 轴所在的直线方程.

例 2 求过点 M( 2, 0, 3 )且垂直于平面  : 4x + y z + 5 = 0 的直线方程. 解 设所求的直线方程为 所以可取s = n， 由于直线垂直于平面  ， 即 s =  m , n , p  = 4 , 1 , 1 ， 故所求的直线方程为

且平行于两平面 3x y + 5z + 2 = 0 例 3 求过点(1, 3, 2) 及 x + 2y 3z + 4 = 0 的直线方程. 解 设所求的直线方程为 故直线的方向向量 s 垂直于两平面的法向量 因为所求直线平行于两平面， n1 =  3 , 1 , 5 及 n2 = 1 , 2 , 3 . 所以

因此所求的直线方程为 即

与平面 2x + y -z - 5 = 0 的交点. 例 4 显然 P 点的坐标应同时满足已知的直线方程与平面方程. 解 设所求交点为 P(x, y, z)， 解方程组 得 t = 4 ， 代入参数方程得 x = 3，y = 6，z = 5， 即交点 P 的坐标为(3, 6, 5).

化为点向式方程及参数方程. 例 6 将直线方程 即点(  2, 0, 0 )在直线上. 解 令 z = 0 代入原方程得 x = 2， y = 0， 因为 s 分别垂直于两平面的法向量 n1 = 1, 1, 2， n2 = 2,  1, 3. 所以

所以直线的点向式方程为 令上式等于 t， 得已知直线的参数方程为

例 7 一直线过点 M5, 0, 2， 且与直线 平行，求该直线方程. 所以它的方程为 解 因为所求直线过点(5, 0, 2)， 又因已知直线 的方向向量 s' 为：

即 s = m, n, p =2, 5, 11 ， 因此， 所求直线方程为

三、空间两直线的夹角 两直线方向向量的夹角称为两直线的夹角. 设直线 L1 和 L2 的方程为 那么 L1 和 L2 的夹角  的余弦为

两直线 L1，L2 垂直的充要条件是: 通常规定，  ∈[ 0 ,  ]. 易知 两直线 L1，L2 平行的充要条件是：

确定下列各方程组所表示的直线或直线与平面间的位置关系： 例 8 解 (3)直线 L3 // 平面 1; (4)直线 L4 在平面 2 上; (5)直线 L5⊥平面 3 .

例 9 求直线 L1 : 和 的夹角. 解 由公式可得 所以

三、两平面间、两直线间的位置关系

四、直线与平面的位置关系

点到平面的距离公式 平面外一点 平面 是平面上点到直线的距离公式的推广

例 5 求点 P(1, 1, 4)到直线 L： 的距离. s = 1, 1, 2，直线 L 上的点Q （2, 3, 4） 解法一

例 5 求点 P(1, 1, 4)到直线 L： 的距离. 过点 P 且垂直于直线 L 的平面  的法向量为 n = 1, 1, 2， 解法二 则平面方程为 ( x1 ) + ( y 1 ) + 2( z  4 ) = 0， 即 x + y + 2z 10 = 0 . ① 由于 L 的参数方程为 x = 2 + t， y = 3 + t， ② z = 4+ 2t，

将 ② 代入 ①， 得 6t + 3 = 0， 即 ③ 将 ③ 代入 ② 得交点 Q 的坐标为 所以点 P 到 L 的距离

点到平面的距离公式 平面外一点 平面 是平面上点到直线的距离公式的推广

解：（1） , （2） （a,b为常数）, （3） (c为常数), （4） . (a>0) 2.答：用一般式方程表示空间直线的表达式不唯一，因为过两平面相交直线的任意两个不同的平面的联立方程组均可表示这条直线. 直线 与 平行. 3. 在什么条件下，可以确定一个平面的方程？ 答：只要给出的条件能确定平面内的一点和垂直于平面的一个非零向量，即可确定一个平面的方程. 4. 在什么条件下，可以确定一条直线的方程？ 答：只要给出的条件能确定直线上的一点和平行于直线的一个非零向量，即可确定一条直线的方程.

5. 由直线的一般式方程化为直线的点向式方程的关键点及主要步骤是什么？ 答：关键点是确定直线的方向向量.主要步骤是：①定点，由一般式方程任取直线上一点；②定向，由两平面的法向量的叉积求得直线的方向向量，最后写出点向式方程. 6. 若平面方程为 ，则满足下列条件的平面有何特点，且作图形： （1）. (2). (3). (4). 答：（1)平面 过原点, （2）平面 By+Cz=0 过x轴, （3）平面 Cz+D=0平行于xoy坐标面, （4）平面z=0 即为xoy 坐标面.

  以上各题图形如下： ( 2) ( 4 ) ( 3 ) 7. 在直线 方程中有的分母为零时应如何理解？ 答：分母为零时，应理解为分子也为零.

第四节 曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念 二、母线平行于坐标轴的柱面 三、二次曲面

第四节 曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念 二、母线平行于坐标轴的柱面 三、二次曲面 四、旋转曲面 五、空间曲线及其在坐标面上的投影

一、曲面方程的概念

二、二次曲面

三、母线平行于坐标轴的柱面 其它柱面（几何演示） 柱面方程的特点：如果方程中不含 平面内一直线L沿着一定曲线C移动而形成的曲面叫做柱面， 如：平行于 Z 轴的直线沿着XOY平面内的椭圆 移动，而形成的曲面叫做椭圆柱面。 其方程为 x y o z 其它柱面（几何演示） 柱面方程的特点：如果方程中不含 变量 Z（ X 或 Y )，则母线平行于 Z ( X 或 Y )轴，柱面垂直于 XOY ( YOZ 或 XOZ )面 。

四、旋转曲面

五、空间曲线的一般方程 两个曲面的交线即为曲线，故空间 曲线的一般方程为 x y z o 如

二次曲面及截痕法 抛物面（几何演示） 椭球面（几何演示） 双曲面（几何演示）

六、曲面在坐标平面内的投影 例 求上半球面 与上半锥面 所围成的立体在 xoy 面内的投影区域。 解 两立体的交线为 即 例 求上半球面 与上半锥面 所围成的立体在 xoy 面内的投影区域。 解 两立体的交线为 即 交线在xoy面内的投影为 所以，所围成的立体在xoy面内的投影区域为

教学内容 第一章 空间解析几何与 向量代数（6课时） 第二章 多元函数的微分学（3课时） 第三章 多元积分学（9课时） 第一章 空间解析几何与 向量代数（6课时） 第二章 多元函数的微分学（3课时） 第三章 多元积分学（9课时） 第四章 级数（9课时）

二、直线的方程