Ch2 空間中的平面與直線 2-2 空間中的直線 製作老師：趙益男/基隆女中教師 發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

甲、直線方程式 在空間中﹐當非零向量 與直線L平行時﹐ 我們稱 為直線L的一個方向向量﹒ 方向向量具有一個重要的性質： 但是這些方向向量都互相平行﹒ 課本頁次：82

甲、直線方程式 利用方向向量的性質﹐來推導通過點 且以 為方向向量之直線L的方程式﹒ 設 是L 上異於A的任意一點﹐  ∵  ﹐ t 為實數﹐ t ≠ 0 課本頁次：82

甲、直線方程式  (t為實數) 反之﹐滿足此式的點 都在直線L上﹒ 我們將 (t為實數) 稱為直線L的參數式﹐實數t 稱為參數﹒ 課本頁次：82

甲、直線方程式 直線的參數式 通過點 ﹐且以 為方向向量 之直線L的參數式為 (t為實數)﹒ 課本頁次：83

例1 求通過 ﹐且以 為方向向量 之直線的參數式﹒ 解： 直線的參數式為 (t為實數) 課本頁次：83

例1 (2) 求通過 ﹐ 兩點之 直線的參數式﹒ 解： ∵ 是直線的一個方向向量 ∴通過點 且以 為方向向量之 直線的參數式為 (t為實數) (2) 求通過 ﹐ 兩點之 直線的參數式﹒ ∵ 是直線的一個方向向量 解： ∴通過點 且以 為方向向量之 直線的參數式為 (t為實數) 註：直線參數式的表示法並不是唯一的！ 課本頁次：83

例1 (2) 求通過 ﹐ 兩點之 直線的參數式﹒ 解： (t為實數) 與 表同一條直線 課本頁次：83

練1 設通過A(2, –1,1), B(4,3,3)兩點的直線為L﹒ (1) 求L的參數式 解： 是L的一個方向向量 通過點 且以 為方向向量之 直線L的參數式為 (t為實數) 課本頁次：84

練1 設通過A(2, –1,1), B(4,3,3)兩點的直線為L (2)已知點C(0,h,k)在L上﹐求h, k的值 解： 得  t = –1, h= –5, k = –1 課本頁次：84

甲、直線方程式 設直線L的參數式為 (t為實數) 當a, b, c均不為0時﹐可得 即 我們稱此表示法為直線L的對稱比例式﹒ 課本頁次：84

直線的對稱比例式 通過點 ﹐且方向向量為 (其中 )之直線L的對稱比例式為 課本頁次：84

例2 (1) 求通過 ﹐ 兩點之直線對稱 比例式﹒ 解： 直線通過點A(2,1,3) 且 為直線的一個方向向量 ∴直線的對稱比例式為 (1) 求通過 ﹐ 兩點之直線對稱 比例式﹒ 解： 直線通過點A(2,1,3) 且 為直線的一個方向向量 ∴直線的對稱比例式為 課本頁次：85

例2 (2)求直線 的參數式﹒ 解： 令 (t為實數) (t為實數) 課本頁次：85

∴ a = –2, b = 4, x0 = 3, y0 = –1 練2 (1)已知通過A(1,3,2)與B(3, –1,0)兩點之直線的 對稱比例式為 求 a, b, x0, y0的值﹒ 解： (1)   a = – 2, b = 4 將A(1,3,2)代入   x0=3, y0= –1 ∴ a = –2, b = 4, x0 = 3, y0 = –1 課本頁次：85

∴直線的對稱比例式可表示為 練2 (2)求直線 (t為實數)的對稱比例式﹒ 解： (2) 直線通過點(1, –2,3)﹐ 且直線的方向向量可為(–2,3,–1)﹒ ∴直線的對稱比例式可表示為 課本頁次：85

∴交線L的參數式為 例3 求兩平面 和 之交線 L 的參數式﹒ 解： 令  由–得   將 代入 得 (t為實數) 課本頁次：86

∴交線L的參數式為 練3 求兩平面 和 之交線 L 的參數式﹒ 解： 令  由×2–得   將 代入 得 (t為實數) 課本頁次：86

的解就是直線的參數式﹐所以兩平面的交線 L 二面式 (1)求聯立方程式 的解﹐就是找 和 的交線﹒ 兩平面 因為當兩相異平面交於一直線時﹐聯立方程式 的解就是直線的參數式﹐所以兩平面的交線 L 也可以用聯立方程式 來表示﹐ 我們稱它為直線L的二面式﹒ 課本頁次：86

∵交線的方向向量與兩個平面的法向量均垂直﹒ 二面式 (2) 當我們知道直線的二面式時﹐可以用外積 求得直線的方向向量﹒ ∵交線的方向向量與兩個平面的法向量均垂直﹒ 課本頁次：86

例4 求直線 的一個方向向量﹒ 解： 設直線 L的方向向量  課本頁次：87

練4 直線 的參數式為 求b,c,z0的值﹒ 解： L的方向向量為 // ∵   b=1, c=5 課本頁次：87

練4 已知直線 的參數式為 ﹐ 求b,c,z0的值﹒ 解： 直線L通過點(1,2,z0) 點(1,2,z0)在平面 上 已知直線 的參數式為 ﹐ 求b,c,z0的值﹒ 解： 直線L通過點(1,2,z0) 點(1,2,z0)在平面 上 1+3×2 – z0=3  z0= 4 課本頁次：87

乙、直線與平面的關係 空間中直線 L和平面 E的相交情形有3種 (b) L與E恰交於一點P (c) L落在E上 (a) L與E平行 課本頁次：87

例5 討論直線 與三個平面 , , 的相交情形﹒ 解： 設 (t為實數) (1) 代入 得 ∴ L與 交於一點﹐且其交點為 課本頁次：88

∴L上任一點均在 上﹐即 L落在 上 例5 討論直線 與三個平面 , , 的相交情形﹒ 解： (t為實數) 設 (2) 代入 得 討論直線 與三個平面 , , 的相交情形﹒ 解： 設 (t為實數) (2) 代入 得  t為任意實數 ∴L上任一點均在 上﹐即 L落在 上 課本頁次：88

∴L上任一點均不在 上﹐即 L與 平行 例5 討論直線 與三個平面 , , 的相交情形﹒ 解： 設 (t為實數) (3) 代入 得 (不合) 討論直線 與三個平面 , , 的相交情形﹒ 解： 設 (t為實數) (3) 代入 得 (不合)  t沒有實數解 ∴L上任一點均不在 上﹐即 L與 平行 課本頁次：88

∴ L與 練5 求直線 與平面E : x + 2y – z = 6 的交點坐標﹒ 解： 設 (t為實數) 代入 得 的交點坐標為(0,2, –2)﹒ 課本頁次：88

∴E的方程式為 例6 求通過點A(1,1,–1)﹐且包含直線 之平面E的方程式﹒ 解： 令 是E的一個法向量  設E的方程式為 課本頁次：89

相交於一點﹐求包含L1與L2之平面E的方程式﹒ 練6 相交於一點﹐求包含L1與L2之平面E的方程式﹒ 已知兩直線 與 解： 是E的一個法向量 令  設E的方程式為 將L1上一點 (1,0,2)代入方程式得 ∴E的方程式為 課本頁次：89

空間中兩直線的關係分別為：平行﹑重合﹑交於一點 丙、直線與直線的關係 空間中兩直線的關係分別為：平行﹑重合﹑交於一點 或歪斜﹒利用直線的方向向量可以將兩直線的相交情 形﹐分成以下2類： 第一類：方向向量平行 第二類：方向向量不平行 當我們知道兩條直線的方程式時﹐該如何利用上面的 分類方法來判定兩條直線的相交情形呢？ 課本頁次：89

∵ L的方向向量 與 例7（向量平行的情況） 求直線 與二直線 ﹐ 的相交情形﹒ 解： 的方向向量 都平行 且(1,2,3)是 L上一點 求直線 與二直線 ﹐ 的相交情形﹒ 解： ∵ L的方向向量 與 的方向向量 都平行 且(1,2,3)是 L上一點 (1)將點(1,2,3)代入 ﹐得 (不合) 點(1,2,3)不在 上﹐∴直線 L 與 平行 課本頁次：90

∵ L的方向向量 與 例7（向量平行的情況） 求直線 與二直線 ﹐ 的相交情形﹒ 解： 的方向向量 都平行 且(1,2,3)是 L上一點 求直線 與二直線 ﹐ 的相交情形﹒ 解： ∵ L的方向向量 與 的方向向量 都平行 且(1,2,3)是 L上一點 (2)將點(1,2,3)代入 ﹐得 點(1,2,3)在 上﹐∴直線 L與 重合 課本頁次：90

練7 已知直線 與 重合﹐求 a, b, y0, z0的值﹒ 解：  a = –4 , b = 2 將點 (1,–1,0)代入 已知直線 與 解：  a = –4 , b = 2 將點 (1,–1,0)代入  ﹐ 得 y0 = 0, z0 = –3 ∴ a = –4, b = 2, y0 = 0, z0 = –3 課本頁次：90

例8（向量不平行的情況） 求直線 與二直線 ﹐ 的相交情形﹒ 解： (t為實數)﹐ (s為實數)﹐ 課本頁次：91

∴ L與 交於一點﹐且交點為(2,1,–3) 例8（向量不平行的情況） (t為實數)﹐ (s為實數)﹐ 設L與 的交點為P(x,y,z)  由解得 ﹐ 代入也滿足 ∴ L與 交於一點﹐且交點為(2,1,–3) 課本頁次：91

例8（向量不平行的情況） 求直線 與二直線 ﹐ 的相交情形﹒ 解： (t為實數)﹐ (r為實數)﹐ 課本頁次：91

∴L與 沒有交點﹐即L與 歪斜 例8（向量不平行的情況） (t為實數)﹐ (r為實數)﹐ 設L與 的交點為Q(x,y,z)﹐   由解得 ﹐ 代入得﹐–4=5 (不合) ∴L與 沒有交點﹐即L與 歪斜 課本頁次：91

練8 求二直線 與 的交點坐標﹒ 解： 設 L1 與 L2 的交點為 P(x,y,z) 求二直線 與 的交點坐標﹒ 解： (t為實數)﹐ (s為實數)﹒ 設 L1 與 L2 的交點為 P(x,y,z)   由解得 t = 1, s = 0﹐代入 也滿足﹐ ∴ L1與L2的交點為(3,–2,3) 課本頁次：92

演唱會需要投射兩道雷射燈光在舞臺處交會﹐ 例9 演唱會需要投射兩道雷射燈光在舞臺處交會﹐ 現設定空間坐標﹐一道雷射燈光由點(0,0,2)朝向點 (3,2,6)發射﹐另一道燈光則由點(0,4,k)沿著平行於x軸 的方向發射﹐試問：當k為何值時﹐兩道燈光會相交？ 又其相交的坐標為何？ 解： 一道雷射燈光由點(0,0,2) 朝向點(3,2,6)發射﹐ 其方向向量 課本頁次：92

另一道雷射燈光由點(0,4,k)沿著平行於x 軸的方向發射﹐ 例9 一道雷射燈光由點(0,0,2) 朝向點(3,2,6)發射﹐ 其方向向量 直線參數式為 (t是實數) 另一道雷射燈光由點(0,4,k)沿著平行於x 軸的方向發射﹐ 其方向向量 直線參數式為 (s是實數) 課本頁次：92

∴當k=10時﹐兩道燈光會相交﹐ 例9 兩道燈光相交的坐標滿足  t = 2, s = 6, k = 10 且其交點坐標為(6,4,10)﹒ 課本頁次：92

現設定空間坐標﹐已知雷射燈的位置恰在z軸上的P點﹐ 練9 大廳中有一個雷射燈﹒ 現設定空間坐標﹐已知雷射燈的位置恰在z軸上的P點﹐ P (0,0,k) 且其發射的燈光經由點Q(1,b,3)﹐ 到達地面 (xy平面) 的點R(2,4,0)﹒ Q(1,b,3) 求雷射燈距離地面的高度﹒ R(2,4,0) 解： 設P 點坐標為 (0,0,k)  設直線QR的參數式為 課本頁次：93

∴雷射燈距離地面的高度為6 練9 設直線QR的參數式為 將P點(0,0,k) 代入參數式  解得 t = –2, b =2, k =6 P Q(1,b,3) 將P點(0,0,k) 代入參數式 R(2,4,0)  解得 t = –2, b =2, k =6 ∴雷射燈距離地面的高度為6 課本頁次：93

丁、點到直線的距離 從直線 L外一點 P作垂線 PA與 L交於 A點﹐如下圖﹐ 可以利用向量 與 L的方向向量 垂直的性質﹐ 求得A點的坐標﹐進而算出 P 點到直線 L的距離 課本頁次：94

  ∴ A點的坐標為(–1,0,2) 例10 已知點P(3,2,6)﹐直線 L： ﹐ 且自P點作直線L的垂線與直線 L交於A點﹐求 解： 令 A點的坐標為 t為實數 ﹐  即    ∴ A點的坐標為(–1,0,2) 課本頁次：94

∴點P到直線L的距離為 例10 已知點P(3,2,6)﹐直線 L： ﹐ 且自P點作直線L的垂線與直線 L交於點A﹐求 解： ∴點P到直線L的距離為 課本頁次：94

且Q點是點P對直線L的對稱點﹐求Q點坐標﹒ 練10 已知點P(1,1,–2)﹐直線 ﹐ 且Q點是點P對直線L的對稱點﹐求Q點坐標﹒ 解： 從點 P(1,1,–2)作直線L的垂線PA與L交於A點 令A點為(5+2t, 6–3t, 3–2t)  (4+2t, 5–3t, 5–2t)•(2,–3,–2) = 0  t =1  A 點坐標為 (7,3,1) 設點 P 對直線 L 的對稱點 Q 的坐標為(x,y,z)  ∴Q點的坐標為 (13,5,4) 課本頁次：95

∴兩平行線 例11 求兩平行線L1和L2的距離﹒ 解： 在 上取一點P(1,1,–2)﹐ 從點 P作直線PA垂直 於A點﹐ A 點為 令 與  (4+2t, 5–3t, 5–2t)•(2,–3,–2) = 0  t =1  A 點坐標為 (7,3,1) ∴兩平行線 與 的距離為 | 課本頁次：95

∴兩平行線 練11 求兩平行線L1和L2的距離﹒ 解： 在 上取一點P(1,2,–1)﹐ 從點 P作直線PA垂直 於A點﹐ A 點為 令 與  (1+t, –1+2t, 4–2t)•(1,2,–2) = 0  t =1  A 點坐標為 (3,3,1) ∴兩平行線 與 的距離為 | 課本頁次：95

兩歪斜線之公垂線 求作兩條歪斜線 與 之公垂線 作法： 1. 作一平面 E包含 ﹐且與 平行﹒ 2. 將 投影到E上﹐ 得到直線 ﹒ 得到直線 ﹒ 3. 設 交於Q點. 與 4. 過點Q作一直線垂直 E且與 交於P點﹒ 則直線PQ 即為所求﹐且稱為 的公垂線﹒ 與 課本頁次：96

兩歪斜線之距離 ∵ ∴公垂線段 的長＝ 兩條歪斜線 與 之距離 與 上各任取一點的連接線段長 必大於或等於 兩歪斜線 的距離﹒ 與 ∴公垂線段 的長＝ 兩歪斜線 的距離﹒ 與 課本頁次：96

∴P的坐標為(1,0,–1)﹐Q的坐標為(3,1,1) 例12 直線 和 為兩歪斜線﹐求 (1) 與 之公垂線段的二端點坐標﹒ 解： 直線 和 為兩歪斜線﹐求 (1) 與 之公垂線段的二端點坐標﹒ 解： 設公垂線 L與 交於P點﹐與 交於 Q點 設 s為實數 , t為實數 ∴P的坐標為(1,0,–1)﹐Q的坐標為(3,1,1) 課本頁次：96

例12 直線 和 為兩歪斜線﹐求 (2) 與 的距離﹒ 解： 公垂線段 ∴ 與 的距離為3 課本頁次：96

練12 右圖一個平行六面體﹐ A(0,0,0), B(1,1,2), C(2,1,0), D(1,2,0),是四個頂點﹐設 h 是底面上的高 解： ∵高h 與兩歪斜線 AB 與 CD 的距離相等 ﹐ 設包含 且平行 的平面 E 的法向量為 , 則 取 , 故設平面 課本頁次：97

練12 右圖一個平行六面體﹐ A(0,0,0), B(1,1,2), C(2,1,0), D(1,2,0),是四個頂點﹐設 h 是底面上的高 解： 將C(2,1,0), 代入平面 E   ∴點A(0,0,0)到平面 E的距離為 (即為所求) 課本頁次：97

練12 右圖一個平行六面體﹐ A(0,0,0), B(1,1,2), C(2,1,0), D(1,2,0),是四個頂點﹐設 h 是底面上的高 解： ∵點A(0,0,0)到平面 E的距離為 ∴ h 的值為 課本頁次：97

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