线性多变量系统 选用教材： 郑大钟 线性系统理论 清华大学出版社 教学参考书：陈启宗著 线性系统理论与设计 科学出版社 选用教材： 郑大钟 线性系统理论 清华大学出版社 教学参考书：陈启宗著 线性系统理论与设计 科学出版社 何关钰著 线性控制系统理论 辽宁人民出版社

线性系统的时间域理论 线性系统的复频率域域理论 第一章 绪 论 第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第一章 绪 论 第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 线性系统的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合

第一章 绪论 1.1系统控制理论的研究对象 系统是系统控制理论的研究对象 第一章 绪论 1.1系统控制理论的研究对象 系统是系统控制理论的研究对象 系统:是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体” 系统具有如下3个基本特征: (1)整体性 (2)抽象性 (3)相对性 作为系统控制理论的研究对象,系统常常抽去了具体系统的物理,自然和社会含义,而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究. 在系统的定义中, 所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性 1/3,1/5

动态系统: 所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统——动力学系统 u y 系统变量可区分为三类形式 x 系统动态过程的数学描述 动态系统的分类 从机制的角度 从特性的角度 从作用时间 类型的角度 2/3,2/5

线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理. 若表征系统的数学描述为L 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用 ②模型类型的多样性 ③数学模型的基本性 ④建立数学模型的途径 ⑤系统建模的准则 3/3,3/5

1.2 线性系统理论的基本概貌 线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科 主要内容:数学模型→ 分析理论→ 综合理论 发展过程:经典线性系统理论,现代线性系统理论 主要学派: 状态空间法 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题 多变量频域方法 1/2,4/5

1.3 本书的论述范围 1：状态空间法 2：多项式矩阵法 2/2,5/5

第二章 线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间 第一部分: 线性系统时间域理论 线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法 第二章 线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间 系统动态过程的数学描述 1/4,1/50

例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述: (1).系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述: 复频率域描述即传递函数描述 (2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性. 2/4,2/50

一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 状态 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 所组成的一个列向量 状态空间 状态空间定义为状态向量的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数 几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定 3/4,3/50

状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n (2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n 4/4,4/50

2.2 线性系统的状态空间描述 描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。 电路系统状态空间描述的列写示例 以上方程可表为形如 1/7,5/50

机电系统状态空间描述的列写示例 上式可表为形如 2/7,6/50

连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构 连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 线性时变系统 3/7,7/50

连续时间线性系统的方块图 4/7,8/50

人口分布问题状态空间描述的列写示例 假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1% 设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全国人口数 写成矩阵形式 5/7,9/50

离散时间线性系统的状态空间描述 状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统 离散时间线性时变系统 6/7,10/50

状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图 7/7,11/50

2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为 向量函数 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统 非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统 对于线性系统 1/2,12/50

当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 时变系统和时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即 该系统称为时不变系统 若向量f,g显含时间变量t,即 该系统称为时变系统 连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统. 确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 2/2,13/50

2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 其传递函数描述 可以导出其状态空间描述为 1/18,14/50

结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述, 其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=n,即系统为真情形 设 2/18,15/50

可见 3/18,16/50

令 有 4/18,17/50

写成矩阵形式： (2)m<n,即系统为严真情形 5/18,18/50

结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=0情形 此时输入输出描述为: 选取n个状态变量 6/18,19/50

其对应的状态空间描述为: 7/18,20/50

(2)m≠0情形 此时输入输出描述为: a: 8/18,21/50

其对应的状态空间描述为: 其中 9/18,22/50

b: 改写为 令 10/18,23/50

结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为： 其极点即分母方程的根 为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出： (1) m<n，即系统为严真情形 对应的状态空间描述为 11/18,24/50

(2) m=n，即系统为真情形 令 对应的状态空间描述为： 12/18,25/50

例1 由方块图描述导出状态空间描述 设系统方块图如下，试列写其状态空间描述 指定状态变量组后，列写变量间的关系方程： 解 上图等效为 13/18,26/50

写成矩阵形式 例2 设单输入单输出系统的传递函数为 试列写其状态空间表达式。 14/18,27/50

解 可画出系统结构图如下 写出变量之间的关系 15/18,28/50

写成矩阵形式 16/18,29/50

也可以画出结构图为 e11 e13 e12 e2 e3 可写出系统的动态方程为 17/18,30/50

例3 设 画出结构图 动态方程为 18/18,31/50

2.5 线性时不变系统的特征结构 特征多项式 连续时间线性时不变系统 (1) 特征多项式 均为实常数 (2) 特征方程式 (3) 凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理 1/6,32/50

定义Φ（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式Φ（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即Φ（A）=0 (4) 最小多项式 的各个元多项式之间互质 定义Φ（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式Φ（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即Φ（A）=0 (5) 系统矩阵的循环性 如果系统矩阵A的特征多项式α(s)和最小多项式Φ（s）之间只存在常数类型的公因子k，即 则称系统矩阵A是循环的。 (6) 特征多项式的计算 2/6,33/50

① 基于迹计算的特征多项式迭代算法 ② 基于分解计算的特征多项式迭代算法 3/6,34/50

系统特征值就是使特征矩阵(sI－A)降秩的所有s值 (1) 特征值的代数属性 系统特征值就是使特征矩阵(sI－A)降秩的所有s值 (2) 特征值集 对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。 (3) 特征值的形态 特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数 (4) 特征值类型 系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型 4/6,35/50

代数重数σi 代表特征值集Λ中值为λi 的特征值个数 (5) 特征值的代数重数 代数重数σi 代表特征值集Λ中值为λi 的特征值个数 (6) 特征值的几何重数 (7) 特征值重数和类型的关系 对n 维线性时不变系统，若λi ∈A为单特征值，则其代数重数σi和几何重数αi之间必 有 特征向量和广义特征向量 5/6,36/50

对n维线性时不变系统，设λi为n×n维系统矩阵A的一个σi重特征值，则 (1) 特征向量的几何特性 (2) 特征向量的不唯一性 (3) 单特征值所属特征向量的属性 对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值{λ1、λ2、…λn}的相应一组特征向量{v1、v2、…vn}为线性无关，当且仅当特征值{λ1、λ2、…λn}为两两互异。 广义特征向量 对n维线性时不变系统，设λi为n×n维系统矩阵A的一个σi重特征值，则 6/6,37/50

2.6 状态方程的约当规范形 特征值为两两互异的情形 结论4 对n个特征值{λ1、λ2、…λn}两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=[v1、v2、…vn]，则状态方程 可通过线性非奇异变换 而化为约当规范形 包含复数特征值情形的对角线规范形（略） 1/3,38/50

对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值 特征值包含重值的情形 结论5 对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值 那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令 可将系统状态方程化为约当规范形： 2/3,39/50

其中，Ji为相应于特征值λi 的约当块： 3/3,40/50

2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵 传递函数矩阵 定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即 多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系： 称G(s)为系统的传递函数矩阵。 其中 1/4,41/50

传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的q×p有理分式矩阵。 当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的 (3) G(s)的特征多项式和最小多项式 (4) G(s)的极点 G(s)的极点定义为方程式 的根 2/4,42/50

设G(s)的首一化特征多项式为αG(s)，A的特征多项式为α(s)，若 G(s)基于(A,B,C,D)的表达式 考虑连续时间线性时不变系统 则 设G(s)的首一化特征多项式为αG(s)，A的特征多项式为α(s)，若 必有 若系统能控能观测，则 表G(s)的极点集合ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，则ΛG⊂Λ；若系统能控能观测，则ΛG=Λ 。 3/4,43/50

G(s)的实用计算关系式 结论7 令 则 4/4,44/50

2.8 线性系统在坐标变换下的特性 结论8 坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。 坐标变换的几何含义和代数表征 线性时不变系统状态空间描述为 引入坐标变换 则变换后系统的状态空间描述为 1/3,45/50

线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。 结论9 线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。 定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。 代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。 2/3,46/50

P(t)为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为 线性时变系统在坐标变换下的特性 结论10 对线性时变系统 引入坐标变换 P(t)为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为 3/3,47/50

2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵 设 子系统并联 两个子系统可以实现并联联接的条件 1/3,48/50

并联后 子系统串联 两个子系统可以实现串联联接的条件是： 串联后 2/3,49/50

子系统反馈联接 设 两个子系统实现输出反馈联接的条件是 反馈联接后 3/3,50/50

第三章 线性系统的运动分析 3．1 引言 从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。 解的存在性和唯一性条件 设系统状态方程 如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即： ②输入矩阵B(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即： 1/2,1/29

③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即： 条件②③可一步合并为要求B(t) u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。 2/2,2/29

3．2 连续时间线性时不变系统的运动分析 系统的零输入响应 令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程 结论1. 系统自治状态方程的解，具有以下形式 其中 若初始时间取为t0≠0则 1/12,3/29

（4）设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA 矩阵指数函数的性质 （4）设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA 则有 2/12,4/29

矩阵指数函数的算法 1：定义法 2：特征值法 1）若 则 2）若 则 3/12,5/29

3）若 其中 则 其中 4/12,6/29

例 5/12,7/29

例 6/12,8/29

3：有限项展开法 设λ1、λ2、…λn为A的n个互异特征值 而 从中可求出α1、α2、…αn 若λi为l重特征值，则相应的l个方程为 7/12,9/29

例 令 8/12,10/29

4：预解矩阵法 系统状态运动规律的基本表达式 设系统的状态空间描述为 有表达式 对初始时刻t0=0情形有表达式 9/12,11/29

基于特征结构的状态响应表达式 设系统的状态空间描述为 A的属于λ1λ2…λn线性无关右特征向量组 A的属于λ1λ2…λn线性无关左特征向量组 右特征向量矩阵 10/12,12/29

结论 左特征向量矩阵 显然 对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的矩阵指数函数eAt的表达式： 11/12,13/29

结论 对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的零输入响应x0u(t)零初态响应x0x(t)以及状态运动规律x(t)的表达式为： 12/12,14/29

3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵 设连续时间线性时不变系统，状态方程为： 基本解阵 矩阵方程 的解阵 称为连续时间线性时不变系统(1)的基本解阵。 其中H为任意非奇异实常阵 结论：(1). 基本解阵不唯一 (2). 由系统自治方程 的任意n个线性无关解为列可构成一个基本解阵。 (3).连续时间线性时不变系统(1)的一个可能的基本解阵为 1/7,15/29

称为连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵。 矩阵方程 的解阵ф(t-t0) 称为连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵。 结论： 1:连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵可由基本解阵定出 2:状态转移矩阵 ф(t-t0) 唯一，与基本解阵的选取无关。 3:状态转移矩阵的形式为 基于状态转移矩阵的系统响应表达式 2/7,16/29

状态转移矩阵的特性 3/7,17/29

假设初始条件为零，输入信号中，ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即： 3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵 线性时变系统的输出为： 假设初始条件为零，输入信号中，ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即： 则输出为 4/7,18/29

结论：对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，假设初始状态为零，则系统在任意输入u作用下的输出响应y(t)为 定义：表hi j(t-τ)为第j个输入端在时刻τ加以单位脉冲δ(t-τ)而所有其他输入为零时，在第i个输出端的脉冲响应，对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应 hi j(t-τ)为元构成的一个输出响应矩阵 结论：对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，假设初始状态为零，则系统在任意输入u作用下的输出响应y(t)为 5/7,19/29

结论：对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵H(t)和传递函数矩阵G(s)之间有如下关系： 脉冲响应矩阵和状态空间描述 结论：对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵H(t)和传递函数矩阵G(s)之间有如下关系： 结论：对连续时间线性时不变系统(A.B.C.D)，设初始状态为零，则系统的脉冲响应矩阵为 结论：①两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵 ②两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应”。 6/7,20/29

例 求脉冲响应矩阵 解 也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得 7/7,21/29

的解矩阵Ψ(t)称为基本解阵,其中H为任意非奇异实常值矩阵。 3.5连续时间线性时变系统的运动分析 状态转移矩阵 设连续时间线性时变系统，状态方程为 对连续时间线性时变系统，矩阵方程： 的解矩阵ф(t,t0)称为状态转移矩阵。 矩阵方程 的解矩阵Ψ(t)称为基本解阵,其中H为任意非奇异实常值矩阵。 1/3,22/29

②对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程 结论：①基本解阵不唯一 ②对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程 的任意n个线性无关解为列构成 ③对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵 结论：①状态转移矩阵为唯一 ② 2/3,23/29

结论：对连续时间线性时变系统，状态方程的解 状态转移矩阵的性质 系统的状态响应 结论：对连续时间线性时变系统，状态方程的解 脉冲响应矩阵 结论：对零初始状态的连续时间线性时变系统，脉冲响应矩阵 结论：对零初始状态的连续时间线性时变系统，其输出响应为： 3/3,24/29

3.6 连续时间线性系统的时间离散化 基本约定 1）对采样方式的约定 采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度△比采样周期T小得多。 2）对采样周期T大小的约定 满足Shamnon采样定理给出的条件 3）对保持方式的约定 零阶保持方式 基本结论 给定连续时间线性时变系统 则其在基本约定下的时间离散化描述为 1/3,25/29

①时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性 其中 结论 给定连续时间线性时不变系统 则其在基本约定下的时间离散化描述为 其中 结论 ①时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性 ②离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。 2/3,26/29

设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。 例： 线性定常系统的状态方程为 设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。 解 3/3,27/29

结论：离散时间线性时变系统状态转移矩阵为：Φ（k,m）=G(k-1)G(k-2)…G(m) 离散时间线性时不变系统状态转移矩阵为： 3．7 离散时间线性系统的运动分析 不管是时变差分方程，还是时不变差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系统状态方程，利用给定的或定出的上一采样时刻状态值，迭代地定出下一个采样时刻的系统状态。 定义：矩阵方程Φ(k+1)=G(k)Φ(k,m), Φ(m,m)=I的解阵Φ(k,m)称为离散时间线性时变系统x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的状态转移矩阵。 矩阵方程Φ(k+1)=GΦ(k) ,Φ(0)=I的解阵Φ(k),称为离散时间线性时不变系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的状态转移矩阵。 结论：离散时间线性时变系统状态转移矩阵为：Φ（k,m）=G(k-1)G(k-2)…G(m) 离散时间线性时不变系统状态转移矩阵为： 结论：①Φ(k,m)非奇异〈==〉G(i),I=m,m+1,…k-1均为非奇异 ②Φ(k)非奇异〈==〉G非奇异 ③对连续时间线性系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必为非奇异。 1/2,28/29

结论：离散时间线性时不变系统，脉冲传递函数矩阵为 结论：对离散时间线性时变系统，其解为： 对离散时间线性时不变系统，其解为 定义：对离散时间线性时不变系统 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) y(k)=Cx(k)+Du(k) 脉冲传递函数矩阵 定义为零初始条件下，满足 的一个q×p有理分式矩阵 结论：离散时间线性时不变系统，脉冲传递函数矩阵为 2/2,29/29

第四章线性系统的能控性和能观测性 4．1 能控性和能观测性的定义 定义 线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1> t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。 1/3,1/45

使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。 能控性，能达性定义 对连续时间线性时变系统 如果存在一个时刻 以及一个无约束的容许控制u(t) 使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。 如果存在一个时刻t1∈J,t1>t0,以及一个无约束的容许控制u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。 *对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性一般为不等价。 定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0∈J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。 2/3,2/45

和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。 定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。 定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0∈J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。 能观测性定义 对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J,如果存在一个时刻t1∈J，t1>t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。 该系统是不完全能观测的 由于 可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。 3/3,3/45

4．2 连续时间线性系统的能控性判据 结论1： 线性时变系统 在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵 为非奇异矩阵 证明 充分性 为非奇异时，系统能控 说明系统是能控的 1/8,4/45

是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。 必要性 反证法 是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。 由于 是奇异的，故 的行向量在[t0,t1]上线性相关，必存在非零的行向量α，使在[t0,t1]区间成立，若选择非零的初始状态x(t0)= αT,则 说明α=0,矛盾 2/8,5/45

完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵 结论2： 连续时间线性时不变系统： 完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵 为非奇异。 结论3：n 维连续时间线性时变系统 设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0∈J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使 3/8,6/45

对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 结论4 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 满秩，即rankQ c=n 结论5 n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为： rank[SI-A∶B]=n, 或 为系统特征值 结论6：n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值λi，使同时满足αTA= λi αT ， αTB=0 的左特征向量αT=0。 4/8,7/45

结论7：对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。 5/8,8/45

例 图示电路，判断系统能控性条件 解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为： 6/8,9/45

（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。 例 系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21}线性无关（即不为零）。 7/8,10/45

对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为： μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。 定义：令 对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为： μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。 结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数μ＝n。 结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为： 8/8,11/45

4．3 连续时间线性系统的能观测性判据 结论1： 线性时变系统在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵 为非奇异矩阵 结论2： 连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵 为非奇异。 1/5,12/45

n 维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义 结论3： 则系统在时刻t0∈J完全能观测的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使 2/5,13/45

对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵 结论4 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵 满秩，即rankQ o=n 结论5 n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为： 为系统特征值 或 结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足 的右特征向量 3/5,14/45

结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。 4/5,15/45

完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为 υ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数。 定义：令 完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为 υ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数。 结论9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为υ＝n。 结论10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是： 5/5,16/45

结论1 离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵 4.4 离散时间线性系统的能控性和能观性判据 时变系统的能控性和能观性判据 定义 离散时间线性时变系统 如果对初始时刻h∈Jk 和任意非零初始状态X(h)=X0都存在时刻l∈Jk,l>h和对应输入u(k),使输入作用下系统状态在时刻l∈Jk达到原点，即有X(l)=0,则称系统在时刻h完全能控； 如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻l∈Jk,l>h和对应输入u(k)，使输入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻l∈Jk达到Xl，则称系统在时刻h完全能达。 结论1 离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵 为非奇异 1/8,17/45

若系统矩阵G(k)对一个或一些k∈[h,l-1]奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。 结论2 若系统矩阵G(k)对所有 k∈[h,l-1] 非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能控的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵 为非奇异 若系统矩阵G(k)对一个或一些k∈[h,l-1]奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。 若系统矩阵G(k) 对所有k∈[h,l-1]非奇异，则系统能控性和能达性等价。 若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。 2/8,18/45

系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l >0，使格兰姆矩阵 时不变系统的能控性和能达性判据 结论3 离散时间线性时不变系统 系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l >0，使格兰姆矩阵 为非奇异。 若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻l >0，使格兰姆矩阵 为非奇异。若系统矩阵G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。 3/8,19/45

若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为 rankQkc=n。 系统完全能达的充分必要条件为矩阵 满秩 若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为 rankQkc=n。 若系统矩阵G奇异，rankQkc=n 为系统完全能控的一个充分条件。 结论5 对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制 则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。 若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。 若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。 4/8,20/45

例 设单输入线性离散系统的状态方程为 试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。 解 系统是能控的 5/8,21/45

无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。 令 若令 无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。 6/8,22/45

结论6 离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l∈Jk,l >h,使格兰姆矩阵 时变系统的能观测性判据 结论6 离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l∈Jk,l >h,使格兰姆矩阵 为非奇异 时不变系统的能观测性判据 结论7 离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l>0,使格兰姆矩阵 为非奇异 7/8,23/45

结论8 n 维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为 满秩 结论9 若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的初始状态 8/8,24/45

4.5 对偶性 定义：对连续时间线性时变系统 其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统 其中,状态X为n维行向量,协状态Ψ为n维行向量 输入u为p维列向量,输入η为q 维行向量 输出Y为q维列向量,输出φ为p 维行向量 结论10 :原构系统的状态转移矩阵 与对偶系统的状态转移矩阵 之间满足如下关系 1/2,25/45

结论11 设Σ为原构线性系统, Σd为对偶线性系统,则有 2/2,26/45

4.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 设连续时间线性时不变系统 对应的时间离散化系统 其中G=eAT H= A的特征值 结论12 如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。 证明 用反证法 设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则 rank[H、GH、G2H、…Gn-1H]=n 1/3,27/45

由于eAiT可用I、A、A2、…An-1线性表示，故 容易验证 为可交换阵，故 由于eAiT可用I、A、A2、…An-1线性表示，故 连续系统是能控的，矛盾。 本定理也可叙述为： 如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。 2/3,28/45

结论13 ：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是： 不是A的特征值。其中k为非零整数 结论14 对时间离散化，使采样周期T的值 则时间离散化系统能控的充分必要条件是 eATB为行线性无关 结论15 连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值λ1、λ2，不存在非零整数k，使 成立 对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。 3/3,29/45

4.7能控性、能观测性与传递函数的关系 结论16 如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消 结论17 单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。 结论18 单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。 证明：单输入、单输出系统动态方程为 如果A的特征值互不相同，则一定可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即： 1/4,30/45

状态方程可写为： 在初始条件为零的情况下，拉氏变换得 对输出方程拉氏变换 此式即为传递函数的部分分式 2/4,31/45

若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-λk，则说明fkγk=0，γk=0，fk ≠0系统是不能控的；fk=0，γk≠0，系统是不能观测的；γk=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkγk≠0（k=1、2、…n）系统是既能控又能观测的。 3/4,32/45

例 设单输入、单输出系统的传递函数 由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。 结论19 如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵 的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件） 结论20 如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵 的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件） 4/4,33/45

4．8能控规范形和能观测规范形：SISO情形 结论21：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。 定义 一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式： 则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形 1/5,34/45

结论22：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统 则通过变换矩阵 2/5,35/45

可将系统变换成能控规范形，即 导出 3/5,36/45

定义 一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式： 结论23：对完全能观测的n 维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换 导出 4/5,37/45

其中 5/5,38/45

4．9 能控规范形和能观测规范形MIMO情形 旺纳姆能控规范形，旺纳姆能观测规范形 龙伯格能控规范形，龙伯格能观测规范形 1/1,39/45

其能控性矩阵的秩为 r<n，选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异变换T-1 4．10连续时间线性时不变系统的结构分解 系统按能控性分解 设不能控系统的动态方程为 其能控性矩阵的秩为 r<n，选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异变换T-1 其中 1/6,40/45

经非奇异变换后，系统的动态方程写为 于是可得能控子系统动态方程为： 不能控子系统动态方程为 2/6,41/45

例 已知 试按能控性进行规范分解 解 系统不完全能控，取 不能控子系统动态方程为 能控子系统动态方程为 3/6,42/45

其能观测性矩阵的秩为l<n，选出其中l个线性无关行，再加任意n-l个行，构成非奇异变换T 系统按能观测性分解 设不能观测系统的动态方程为 其能观测性矩阵的秩为l<n，选出其中l个线性无关行，再加任意n-l个行，构成非奇异变换T 能观测子系统动态方程为 不能观测子系统动态方程为 4/6,43/45

设系统（A、B、C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令 系统按能控性和能观测性的标准分解 设系统（A、B、C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令 再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解 最后得到 5/6,44/45

经T-1变换后，系统的动态方程为 能控、能观测子系统动态方程为： 不能控、能观测子系统动态方程为 不能控、不能观测子系统动态方程为 6/6,45/45

第5章 系统运动的稳定性 5．1 外部稳定性和内部稳定性 定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即： 第5章 系统运动的稳定性 5．1 外部稳定性和内部稳定性 定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即： ‖u(t)‖≤β1<∞ 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ)所有元均满足关系式 证明 考虑SISO情形 充分性 1/4,1/18

采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使 必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使 可以取 有 矛盾 结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式 2/4,2/18

系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足： 结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。 定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即： 结论4：设n维连续时间线性时变自治系统 系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足： 结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统 内部稳定的充分必要条件为 或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。 3/4,3/18

结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。 若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。 内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。 若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。 4/4,4/18

5．2 李亚普诺夫意义下运动的稳定性的一些基本概念 李亚普诺夫第一方法：间接法 李亚普诺夫第二方法：直接法 自治系统：没有输入作用的一类动态系统 平衡状态：状态空间中满足 的一个状态 李亚普诺夫意义下的稳定 称自治系统 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，如果对任给一个实数ε>0，都对应存在另一位赖于ε和t0的实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)都满足不等式： ‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε ⑴稳定的几何解释 ⑵李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶时不变系统的稳定属性 ⑷李亚普诺夫意义下稳定的实质 1/2,5/18

不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。 渐近稳定 称自治系统 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果ⅰ) Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，ⅱ）对实数δ(ε,t0)>0和任给实数μ<0，都存在实数T(μ,δ,t0)>0使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤μ， 不稳定 称自治系统 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε， 不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。 不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。 为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。 对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定 2/2,6/18

X=0为系统平衡状态，若可构造对x和t具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件： 5．3李亚普诺夫第二方法的主要定理 结论7：对连续时间非线性时变自治系统 X=0为系统平衡状态，若可构造对x和t具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件： ⅰ）V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数α(‖x‖)和β(‖x‖)，α(0)＝0，β(0)＝0，使对所有t∈[t0,∞)有：β(‖x‖)≥V(x,t)≥α(‖x‖)＞0 ⅱ) V(x,t)对时间t的导数负定且有界。 ⅲ)当‖x‖→∞，有V(x,t) →∞ 则系统的原点平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。 结论8：对连续时间非线性时不变自治系统 X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件： ⅰ）V(x)为正定 ⅱ) 为负定 ⅲ)当‖x‖→∞，有V(x) →∞ 则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。 1/4,7/18

例 设系统状态方程为 坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解 取一正定的标量函数 为一负定的标量函数，且 系统是大范围渐近稳定的。 2/4,8/18

则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为一致渐近稳定。 结论9 [小范围渐近稳定性定理] 对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω和所有t∈[t0,∞)满足如下条件： V(x,t)为正定且有界； 为负定且有界； 则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为一致渐近稳定。 结论10[小范围渐近稳定性定理] 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω满足如下条件： V(x)为正定； 为负定 则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为渐近稳定 3/4,9/18

结论11 [小范围渐近稳定性定理] 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω∈满足如下条件： V(x)为正定； 为负半定 对任意非零x0∈Ω 则原点平衡状态x=0在Ω域内为渐近稳定 结论 12[不稳定性定理] 对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区域Ω，使对所有非零状态x∈Ω和所有t∈[t0,∞)满足如下条件： （ⅰ）V(x,t)为正定且有界； （ⅱ） 为正定且有界； 则系统原点平衡状态x=0为不稳定。 4/4,10/18

5．4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法 变量梯度法 设连续时间非线性时不变系统 Xe=0为系统孤立平衡状态， (1)设V(x)的梯度为 (2)设梯度▽V(x)对应于有势场，则旋度rot▽V(x)=0，即 (3)由 (4)由(2),(3)定出▽V(x) (5) 1/3,11/18

结论13：对连续时间线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。 (6)判断V(x)计算结果的正定性 克拉索夫斯基方法 设连续时间非线性时不变系统 Xe=0为系统孤立平衡状态， 系统雅可比矩阵 克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵B，使对称阵S（x）=BJ（x）+[ BJ（x）]T是负定的，那么平衡状态x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为： V（x）=f（x）TBf（x）如果 则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。 结论13：对连续时间线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。 2/3,12/18

为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。 例 确定平衡状态x=0的稳定性 解 取B=I 为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。 平衡状态x=0是大范围渐近稳定的 3/3,13/18

结论15[特征值判据] 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x=0是渐近稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部 5．5 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 线性时不变系统的稳定性判据 结论14[特征值判据] 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即x=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。 结论15[特征值判据] 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x=0是渐近稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部 结论16[李亚普诺夫判据] 对n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个n×n正定对称矩阵Q ，李亚普诺夫方程ATP+PA=-Q有唯一n×n正定对称解阵P。 结论17[李亚普诺夫判据推广形式] 对n维连续时间线性时不变系统和任给实数σ≥0，令矩阵A特征值为λi (A), i=1,2,…,n，则系统所有特征值均位于s平面的直线－σ＋jω左半开平面上，即成立Reλi (A)<-σ, i=1,2,…,n，的充分必要条件为，对任给一个n×n正定对称矩阵Q ，推广李亚普诺夫方程2σP＋ATP+PA=-Q 有唯一正定解阵P。 1/2,14/18

进一步，当且仅当对所有t0都存在独立实数β>0使上式成立，系统原点平衡状态xe=0为李亚普诺夫意义下一致稳定。 线性时变系统的稳定性判据 结论18 [基于状态转移矩阵的判据] 对连续时间线性时变系统，表Φ（t,t0）为系统状态转移矩阵，则系统原点平衡状态xe=0在时刻t0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，存在依赖于t0的一个实数β(t0)>0，使成立： ‖Φ(t,t0)‖≤β(t0)<∞, 进一步，当且仅当对所有t0都存在独立实数β>0使上式成立，系统原点平衡状态xe=0为李亚普诺夫意义下一致稳定。 结论19[基于状态转移矩阵的判据] 对连续时间线性时变系统，表Φ（t,t0）为系统状态转移矩阵，则系统唯一平衡状态xe=0在时刻t0是渐近稳定的充分必要条件为，存在依赖于t0的一个实数β(t0)>0，使同时成立： ‖Φ(t,t0)‖≤β(t0)<∞, 进一步，当且仅当对所有t0∈[0,∞]都存在独立实数β1>0和β2>0使成立： ‖Φ(t,t0)‖≤β1e-β2(t-t0） 系统原点平衡状态xe=0为一致渐近稳定。 2/2,15/18

5．6 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰减性能估计 对渐近稳定的连续时间线性时不变自治系统 衰减系数定义为 最小衰减系数 设 则 1/1,16/18

（ⅱ）表△V(x(k))＝V(x(k＋1))－V(x(k))，△V(x(k))为负定； （ⅲ）当‖x(k)‖→∞，有V(x(k)) →∞。 5．7 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据 结论20[大范围渐近稳定判据] 对离散时间非线性时不变自治系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k))，使对任意x(k)∈Ｒn满足： （ⅰ）V(x(k))为正定； （ⅱ）表△V(x(k))＝V(x(k＋1))－V(x(k))，△V(x(k))为负定； （ⅲ）当‖x(k)‖→∞，有V(x(k)) →∞。 则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。 结论21[大范围渐近稳定判据] 对离散时间非线性时不变系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k))，使对任意x(k)∈Ｒn满足： （ⅰ）V(x(k))为正定； （ⅱ）表△V(x(k))＝V(x(k＋1))－V(x(k))，△V(x(k))为负半定； （ⅲ）对由任意非零初始状态x(0) ∈Ｒn确定的所有自由运动x(k)的轨线，△V(x(k))不恒为零； （ⅳ）当‖x(k)‖→∞，有V(x(k)) →∞。 则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。 1/2,17/18

结论23[特征值判据] 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态是渐近稳定的充分必要条件为，G的全部特征值的幅值均小于1。 结论22[特征值判据] 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态即xe=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，G的全部特征值λi (G)（i=1,2,…,n）的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的特征值只能为G的最小多项式的单根。 结论23[特征值判据] 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态是渐近稳定的充分必要条件为，G的全部特征值的幅值均小于1。 结论24[李亚普诺夫判据] 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态渐近稳定的充分必要条件为，对任一给定n×n正定对称矩阵Q，离散型李亚普诺夫方程 GTPG-P=-Q 有唯一n×n正定对称解阵P。 结论25[扩展李亚普诺夫判据] 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态以实数σ>0为幂指数稳定，即G的特征值满足： ︱λi (G)︱<σ,0≤σ≤1, i=1,2,…,n 的充分必要条件为：对任一给定n×n正定对称矩阵Q，扩展离散型李亚普诺夫方程 （1/σ）2GTPG-P=-Q 有唯一n×n正定对称解阵P。 2/2,18/18

第六章线性反馈系统的时间域综合 6．1 引言 综合问题的提法 系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成 所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 性能指标的类型 1/1,1/40

6．2 状态反馈和输出反馈 状态反馈 设连续时间线性时不变系统 状态反馈下受控系统的输入为：u=--Kx+υ，K∈Rp×n，反馈系统∑xf的状态空间描述为： B ∫ C A K 结论1：对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。 1/3,2/40

输出反馈下受控系统输入u=--Fy+υ ,F∈Rp×q 设连续时间线性时不变系统 输出反馈下受控系统输入u=--Fy+υ ,F∈Rp×q B ∫ C A F 输出反馈系统的状态空间描述为： 结论2：对连续时间线性时不变系统，输出反馈保持能控性和能观测性。 2/3,3/40

反馈原理：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。 状态反馈和输出反馈的比较 反馈原理：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。 反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈。 改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈） 反馈实现上，输出反馈要优越于状态反馈。 解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器 扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。 3/3,4/40

6．3 状态反馈极点配置：单输入情形 极点配置定理 对单输入n 维连续时间线性时不变受控系统 系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为（A，b）完全能控。 极点配置算法 step1. 判别（A，b）能控性 step2.计算矩阵A特征多项式det(SI-A)=α(s)=Sn+αn-1Sn-1+…+α1S+α0 step3.计算由期望闭环特征值 决定的特征多项式 step4 1/4,5/40

step5 step6. Q=P-1 step7 Step8 .停止计算 2/4,6/40

例1 连续时间线性时不变状态方程为 期望闭环极点为 计算状态反馈阵K 解 容易判断 系统能控 计算由期望闭环极点组决定的特征多项式 3/4,7/40

计算 4/4,8/40

系统可通过状态反馈任意配置全部n个极点的充分必要条件为{A,B}完全能控。 6．4 状态反馈极点配置：多输入情况 极点配置定理： 对多输入n维连续时间线性时不变系统 系统可通过状态反馈任意配置全部n个极点的充分必要条件为{A,B}完全能控。 极点配置算法： 给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统{A,B}和一组任意期望闭环特征值 要求确定一个p×n状态反馈矩阵K，使 step1.判断A的循环性，若非循环，选取一个p×n实常阵K1，使 为循环；若循环，表 Step2:选取一个p×1实常量ρ，有b=Bρ使 为完全能控 Step3.对等价单输入系统 利用单输入情形极点配置算法，计算状态反馈向量k。 Step4.对A为循环，K＝ρk 对A为非循环，K＝ρk＋K1 1/2,9/40

结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反馈任意配置传递函数全部n个极点的同时，一般不影响其零点。 状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响 结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反馈任意配置传递函数全部n个极点的同时，一般不影响其零点。 结论：对完全能控n维多输入多输出连续时间线性时不变系统，状态反馈在配置传递函数矩阵全部n个极点同时，一般不影响其零点。 定义：设完全能控多输入多输出连续时间线性时不变系统 其传递函数矩阵G(s)=C(SI-A) -1 B, G(s)的极点为其特征方程式的根。 零点定义使得 的所有s值 2/2,10/40

6.5 输出反馈极点配置 结论：对完全能控连续时间线性时不变受控系统 采用输出反馈 一般不能任意配置系统全部极点。 6.5 输出反馈极点配置 结论：对完全能控连续时间线性时不变受控系统 采用输出反馈 一般不能任意配置系统全部极点。 结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统 采用输出反馈 只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外位置上。 1/1,11/40

6.6状态反馈镇定 所谓状态镇定问题就是：对给定时间线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型控制律 使所导出的状态反馈型闭环系统 为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。 结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为为渐近稳定 结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一个充分条件是系统完全能控 状态反馈镇定算法： Step1 判断(A.B)能控性，若完全能控，去Step4。 Step2 对(A.B)按能控性分解 Step3 对能控部分进行极点配置 Step4 计算镇定状态反馈矩阵 Step5 计算停止。 1/1,12/40

6.7状态反馈动态解耦 问题的提法： 设多输入多输出连续时间线性时不变系统 采用包含输入变换的状态反馈系统 B ∫ C A K L 1/9,13/40

使得所导出的闭环传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵 则系统状态空间描述为： 所谓动态解耦控制，就是寻找输入变换 和状态反馈矩阵 使得所导出的闭环传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵 系统的结构特征量 输出矩阵 传递函数矩阵 2/9,14/40

对连续时间线性时不变受控系统，结构特性指数定义为： 对连续时间线性时不变受控系统，结构特性向量定义为： 可解耦条件 结论：对方连续时间线性时不变受控系统，使包含输入变换状态反馈系统可实现动态解耦的充分必要条件是：基于结构特征向量组成的pхp矩阵E非奇异 3/9,15/40

则可导出包含输入变换状态反馈系统 这种解耦称为积分型解耦系统。 4/9,16/40

要求综合一个输入变换和状态反馈矩阵对{L,K},使系统实现动态解耦，并使解耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置。 解耦控制综合算法 给定n维方连续时间线性时不变受控系统 要求综合一个输入变换和状态反馈矩阵对{L,K},使系统实现动态解耦，并使解耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置。 Step1：计算受控系统(A,B,C)的结构特征量 Step 2：组成并判断矩阵E的非奇异性 若E为非奇异，即能解耦 若E为奇异，则不能解耦。 Step3： 5/9,17/40

Step 4：取 导出积分型解耦系统 Step5：判断 的能观测性，若不完全能观测，计算 Step6：引入线性非奇异变换 化积分型解耦系统为解耦规范型。 对完全能观测 6/9,18/40

7/9,29/40

Step7 求 Step8：对解耦规范型 选取 状态反馈矩阵 的结构 对完全能观测 对不完全能观测 8/9,20/40

Step9：根据指定期望极点组按单输入情形极点配置法，定出状态反馈矩阵 9/9,21/40

6.8状态反馈静态解耦 问题的提法： 设多输入多输出连续时间线性时不变受控系统 所谓静态解耦，就是综合一个输入变换和状态反馈矩阵对 使导出的包含输入变换状态反馈系统 及其传递函数矩阵 满足：i）闭环控制系统渐近稳定， 即 ii）闭环传递函数矩阵当S=0时为非奇异对角常阵，即有 1/2,22/40

可使方n维连续时间线性时不变受控系统实现静态解耦，当且仅当 可解耦条件 存在输入变换和状态反馈矩阵对L,K,其中 可使方n维连续时间线性时不变受控系统实现静态解耦，当且仅当 2/2,23/40

6．12 全维状态观测器 一：开环状态观测器 为了实现状态反馈，有时需要对状态进行估计，开环估计方法如下： 二：全维观测器 全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同 事实上，已知的信息为u（t）和y（t），只有当系统完全能观测时，才能从u（t）和y（t）及其导数的线性组合中获得状态向量x（t）的估计值此时存在状态观测器。 利用观测器实现状态反馈的系统为： 状态观测器 1/5,24/40

在观测器的设计中，为使 尽快地接近x（t），可利用y（t）和 之间的差作为误差反馈信息，观测器结构如下： B A C H 写出观测器动态方程为 原系统的状态方程： 定义状态向量的真实值与估计值之间的偏差为误差状态向量，即： 2/5,25/40

定理：若系统（A、B、C）是能观测的，其状态可用n维状态观测器进行估计 矩阵H可以按给定极点的位置来选择，所定极点的位置，将决定误差向量趋于零的速率。 3/5,26/40

试设计一个状态观测器，其中矩阵A-hc的特征值（观测器极点）为-10，-10。 例 设系统动态方程为 试设计一个状态观测器，其中矩阵A-hc的特征值（观测器极点）为-10，-10。 解 希望的特征多项式 观测器方程 4/5,27/40

原系统及其状态观测器结构图如下 5/5,28/40

6.13降维观测器 由于y可以直接提供一部分状态，故只需要估计其余的状态即可。 1：建立n-m维子系统动态方程 设A∈Rn×n，B∈Rn×r，C∈Rm×n，系统（A、B、C）能观测，令： 为一个n×n矩阵，D的选择应使Q可逆，考虑到 系统的动态方程为 1/6,29/40

可直接有y提供，只须估计 2：降维观测器设计 方程改写为 故降维观测器方程为 2/6,30/40

这是一个n-m维观测器，整个状态向量的估计值为： 令 这是一个n-m维观测器，整个状态向量的估计值为： 而系统原状态向量x的估计值为 3：H阵的选择 通过H阵的选择，使 的极点任意配置，极点的位置决定误差向量 衰减到零的速率，而 直接有y提供，不存在估值误差。 3/6,31/40

定理：有m个输出的任一m维能观测系统（A、B、C），可通过状态变换而写成如下形式： 其状态可用n-m维龙伯格观测器进行估计 （n-m）×m矩阵H可以选得使 的极点任意配置 极点的位置决定误差向量衰减到零的速率。观测器结构图如下： 4/6,32/40

希望的特征多项式为λ+10，故H=[10]，降维观测器为： 例 已知系统： 试构造一降维观测器 解 系统完全能观测 令 设降维观测器的特征值为-10，H=[h] 希望的特征多项式为λ+10，故H=[10]，降维观测器为： 5/6,33/40

原系统状态向量估计值为 原系统及其降维观测器如下 原系统 降维观测器 6/6,34/40

6.14带状态观测器的状态反馈系统 带状态观测器的状态反馈系统： （A、B、C） 状态观测器 K 现提出两个问题：1，用状态估计进行状态反馈和用x进行状态反馈对系统特性的影响是否一致，或者说系统的闭环传递矩阵是否一致？2，进行状态反馈设计时的K阵和观测器设计时的H阵能否分开设计？ 显然利用x进行状态反馈时，控制系统的传递矩阵为 状态估计进行状态反馈 1/6,35/40

为了计算传递矩阵，作坐标变换 变换前 变换后 考虑到当R、T可逆时，有 2/6,36/40

系统的传递矩阵与用x进行状态反馈时的传递矩阵相同。 传递矩阵为 系统的传递矩阵与用x进行状态反馈时的传递矩阵相同。 另外，系统的特征多项式 它由（A-BK）、（A-HC）的特征多项式的乘积组成，可见只要系统（A、B、C）能控、能观测，则可按极点配置的需要选择K，按观测器动态特性的需要H，两者可分开进行设计，这个原理称为分离定理 3/6,37/40

希望利用状态反馈使闭环极点为-4±j6，并求实现这个反馈的二维及一维观测器。 例 设系统的传递函数为 希望利用状态反馈使闭环极点为-4±j6，并求实现这个反馈的二维及一维观测器。 解 1：建立能观测标准形实现 系统也是能控的 2：求状态反馈阵K，设K=[k1，k2]，系统特征方程式： 希望的特征方程式 K=[2，40] 3：求二维观测器，设其极点为s1=s2=-10，H=[h1，h2]T 希望的特征方程式 H=[100，14]T 4/6,38/40

观测器方程 系统结构图 5/6,39/40

4：求一维观测器，设其极点为s1=-10，H=[h] 观测器方程 y u v - 系统结构图 6/6,40/40

第二部分 线性系统的复频率域理论 线性系统的复频率域理论，是以传递矩阵作为系统描述，并在复频率域内分析和综合线性时不变系统的一种理论和方法。

第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8．1 矩阵分式描述 矩阵分析描述实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表为两个多项式矩阵之“比”。 右MFD和左MFD 设p维和n维输出连续时间线性时不变系统其传递函数矩阵 为G(s)的一个右矩阵分式描述 为G(s)的一个左矩阵分式描述 其中 为多项式矩阵 1/4,1/16

把G(s)按各行通分，可以写出G(s)的左MFD 例如 上式即为G(s)的一个右MFD 把G(s)按各行通分，可以写出G(s)的左MFD MDF的特性 结论：对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD，规定 对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD，规定 对给定一个G(s)，其右MFD和左MFD在次数上一般不相等。 2/4,2/16

结论：对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左MFD为不唯一，且不同的MFD可能具有不同的次数。 结论：对qp传递函数矩阵G(s)，设 为其一个右MFD W(s)为pp非奇异多项式矩阵，令 则 也是G(s)的一个右MFD，且 若W(s)为单模矩阵，则 结论：对qp传递函数矩阵G(s)，设 为其一个左MFD， WL(s)为任一qq非奇异多项式矩阵。 则 也是G(s)的一个左MFD，且 若WL(s)为单模矩阵，则 3/4,3/16

结论：对qp传递函数矩阵G(s)，设 为其 一个右MFD和一个左MFD 则有 *最小阶MFD也不是唯一的 *称最小阶MFD为不可简约MFD 4/4,4/16

设多输入多输出连续时间线性时不变系统，传递函数矩阵G(s)为 8.2矩阵分式描述的真性和严真性 设多输入多输出连续时间线性时不变系统，传递函数矩阵G(s)为 1/3,5/16

结论： 定义 真性和严真性的判别准则 结论：对右MFD D(s)为pp阵且列既约 则 例 容易判断D(s)为列既约，且 可知 为真 2/3,6/16

* 若D(s)或DL(s)为非列既约或行既约，则引入一个单模矩阵，化D(s)或DL(s)为列既约或行既约，进行判断。 例 给定12右MFD D(s)为非列既约，尽管 但 非真 结论：对左MFD 为qq阵且行既约,则 * 若D(s)或DL(s)为非列既约或行既约，则引入一个单模矩阵，化D(s)或DL(s)为列既约或行既约，进行判断。 3/3,7/16

结论：对非真右MFD，N(s)D-1(s)，D(s) 为pp多项式矩阵，N(s)为qp多项式矩阵Q(s)和R(s)，使 8.3从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述 结论：对非真右MFD，N(s)D-1(s)，D(s) 为pp多项式矩阵，N(s)为qp多项式矩阵Q(s)和R(s)，使 且R(s)D-1(s)为非真N(s)D-1(s)导出的严真右MFD。 确定严真MFD的算法 Step1：计算给定N(s)D-1(s)的有理分式矩阵G(s) Step2：通过多项式除法，得 Step 3 Step4 其中R(s)D-1(s)为非真右MFD N(s)D-1(s)的严真部分，Q(s)为多项式矩阵部分。 1/3,8/16

结论：对非真左MFD，DL-1(s)NL(s)，唯一存在两个多项式矩阵 使 一类特殊情形的多项式矩阵除法问题 在连续时间线性时不变系统中，除式矩阵通常为sI-A 结论：对pp矩阵sI-A和多项式矩阵N(s)，唯一存在一个常阵Nr(A)和多项式矩阵Qr(s)满足 其中 显然Nr(A)(sI-A) -1为N(s)(sI-A) -1所导出的严真右MFD 2/3,9/16

结论：对qq矩阵sI-A和多项式矩阵NL(s)，唯一存在一个常阵NL(A)和多项式矩阵QL(s)满足 其中 显然(sI-A) -1 NL(A) 为 (sI-A) -1 NL(s)所导出的严真左MFD 3/3,10/16

8．4 不可简约矩阵分式描述 不可简约MFD实质上是系统传递函数矩阵的一类最简约MFD，通常也称为最小阶MFD。 定义： 右不可简约<=>D(s)和N(s)为右互质 左不可简约<=>DL(s)和NL(s)为左互质 不可简约MFD的基本特性 结论：对qp传递函数矩阵，其右不可简约MFD和左不可简约MFD均为不惟一 结论：设 为qp传递函数矩阵G(s)的任意两个右不可简约MFD， 则必存在单模阵U(s)满足： 1/3,11/16

为传递函数矩阵G(s)的任意两个左不可简约MFD 结论：设 为传递函数矩阵G(s)的任意两个左不可简约MFD 则必存在单模阵V(s)，满足 结论：传递函数矩阵G(s)的右不可简约MFD满足广义惟一性。 传递函数矩阵G(s)的左不可简约MFD满足广义惟一性。 结论：对qp传递函数矩阵G(s)的任一右不可简约MFD N(s)D -1 (s)和任一右可简约MFD ，必存在非奇异多项式矩阵T(s)，满足： 结论：对qp传递函数矩阵G(s)的任一左不可简约MFD DL -1 (s) NL(s) 和任一左可简约MFD ，必存在非奇异多项式矩阵TL(s)，满足： 2/3,12/16

结论：对qp传递函数矩阵G(s)的所有右不可简约MFD 必有：1，Ni(s)具有相同史密斯形 2，Di(s)具有相同不变多项式 结论：对qp传递函数矩阵G(s)的所有左不可简约MFD 必有：1，NLi(s)具有相同史密斯形 2，DLi(s)具有相同不变多项式 结论：对qp传递函数矩阵的任一左不可简约MFD，和任一右不可简约MFD 必有 3/3,13/16

` 8．5确定不可简约矩阵分式描述的算法 结论：对qp传递函数矩阵G(s)设 为任一右可简约MFD pp多项式矩阵R(s)为 的一个最大右公因子且为非奇异，取 为G(s)的一个右不可简约MFD。 ` 结论：对qp传递函数矩阵G(s)设 为任一左可简约MFD RL(s)为 的一个最大左公因子且为非奇异，取 为G(s)的一个左不可简约MFD。 1/1,14/16

传递函数矩阵的可简约MFD和不可简约MFD具有不惟一性。其惟一化的途径是对MFD分母矩阵限定为规范形而得到规范MFD。 8．6规范矩阵分式描述 传递函数矩阵的可简约MFD和不可简约MFD具有不惟一性。其惟一化的途径是对MFD分母矩阵限定为规范形而得到规范MFD。 埃尔米特形MFD 称qp的NH(s)DH-1(s)为传递函数矩阵G(s)的列埃尔米特形MFD，是指分母矩阵具有列埃尔米特形 其中：1） 为首1多项式 2）若 则 3）若 为含S多项式，则 1/2,15/16

为传递函数矩阵G(s)的行埃尔米特形MFD，是指分母矩阵 称qp的 为传递函数矩阵G(s)的行埃尔米特形MFD，是指分母矩阵 具有行埃尔米特形 其中：1） 为首1多项式 2）若 则 3）若 为含S多项式，则 结论：对qp传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右MFD具有相同列埃尔米特形MFD 其所有不可简约左MFD具有相同行埃尔米特形MFD 2/2,16/16

第9章 传递函数矩阵的结构特性 9．1史密斯-------麦克米伦形 称秩为r的有理分式矩阵为史密斯-------麦克米伦形，当且仅当具有形式 其中，1） 为互质，i=1,2,…,r 2）满足整除性 1/4,1/12

则必存在qq和pp单模矩阵U(s)和V(s)使变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为史密斯-------麦克米伦形 结论：对qp有理分式矩阵G(s)，设 则必存在qq和pp单模矩阵U(s)和V(s)使变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为史密斯-------麦克米伦形 史密斯-------麦克米伦形基本特性 结论：有理分式矩阵G(s)的史密斯-------麦克米伦形M(s)为惟一 结论：化有理分式矩阵G(s)为史密斯-------麦克米伦形M(s)的单模变换阵对{U(s),V(s)}不惟一。 结论：严格有理分式矩阵G(s)的史密斯-------麦克米伦形M(s)不具有保持严真属性，M(s)甚至可能为非真。 结论：对qq非奇异有理分式矩阵G(s) 其中a为非零常数 2/4,2/12

结论：对秩为r的qp传递函数矩阵G(s)，其史密斯-------麦克米伦形M(s)为 令 则M(s)表为右MFD 令 则M(s)表为左MFD 3/4,3/12

结论：对qp传递函数矩阵G(s)，其史密斯-------麦克米伦形为M(s)。单模变换阵对为{U(s),V(s)} 若取 则 为G(s)的不可简约右MFD 若取 则 为G(s)的不可简约左MFD 4/4,4/12

定义：对秩为r的qp传递函数矩阵G(s)，其史密斯-------麦克米伦形M(s)，则 9．2传递函数矩阵的有限零点和有限极点 定义：对秩为r的qp传递函数矩阵G(s)，其史密斯-------麦克米伦形M(s)，则 G(s)有限极点=M(s)中 的根，i=1,2,…,r G(s)有限零点=M(s)中 的根, i=1,2,…,r 定义：对qp传递函数矩阵G(s)，设 和 为G(s)的任一不可简约右MFD和任一不可简约左MFD，则 G(s)有限极点=det(D(s))=0根或 的根 G(s)有限零点= 的s值或 的s值 定义：对qp传递函数矩阵G(s)，设其状态空间描述为(A,B,C)，且(A,B)全能控，(A,C)完全能观测，则有： G(s)有限极点= 的根 G(s)有限零点=使 降秩的s值 1/2,5/12

结论：对qp严真传递函数矩阵G(s)，其能控和能观测状态空间描述为(A,B,C)，z0为任一零点，则对满足关系式 的所有非零初始状态x0和输入 系统输出具有阻塞作用，即其能引起的系统输出y(t)强制恒为零。 2/2,6/12

9．3传递函数矩阵的结构指数 对qp传递函数矩阵G(s)， 有限零点和有限极点的集合。 那么，若对任一 导出对应的rr对角矩阵 则称 的一组结构指数 1/3,7/12

=正整数<=>G(s)在S= 有 个零点 例 定出 的结构指数 史密斯----麦克米伦形为 G(s)极点零点集合 =正整数<=>G(s)在S= 有 个零点 =负整数<=>G(s)在S= 有 个极点 =0 <=>G(s)在S= 0 处无零点和极点 2/3,8/12

结论：传递函数矩阵在非极点零点处的结构指数必恒为零。 结论：G(s)在 极点重数= 中负指数之和绝对值 结论：G(s)在 零点重数= 中正指数之和 结论：传递函数矩阵在非极点零点处的结构指数必恒为零。 结论：对qp传递函数矩阵G(s)设 则G(s)的史密斯-----麦克米伦形M(s)为 上式表明，一旦定出G(s)各个极点零点及其结构指数组，便可构造出G(s)的史密斯---麦克米伦形M(s)。 3/3,9/12

则直接基于G(s)的史密斯---麦克米伦形M(s)不能定义G(s)在无穷远处的极点和零点，若引入变换 9．4传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点 确定s=∞处极点零点的思路 对qp传递函数矩阵G(s), 则直接基于G(s)的史密斯---麦克米伦形M(s)不能定义G(s)在无穷远处的极点和零点，若引入变换 则有G（s）在s=∞处的极点/零点=H(λ)在λ=0处的极点/零点。 结论：对qp传递函数矩阵G(s)，设 再基于变换 由G(λ-1)导出H(λ) 引入单模变换阵。导出其史密斯----麦克米伦形 则有 G(s)在s=∞处的极点重数= 中 的 根重数i=1,2,…,r G(s)在s=∞处的零点重数= 中 的 根重数i=1,2,…,r 1/3,10/12

例： 设 史密斯-------麦克米伦形 基于此，可以定出 G(s)在s=∞处极点重数=2 G(s)在s=∞处零点重数=1 2/3,11/12

无穷远处的结构指数 对qp传递函数矩阵G(s) 则G(s)在s=∞处结构指数 在λ=0处结构指数 3/3,12/12

第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 10．1实现的基本概念和基本属性 定义10．1[实现]对真或严真连续时间线性时不变系统，称一个状态空间描述 或简写为(A,B,C,E)是其传递函数矩阵G(s)的一个实现，如果两者为外部等价即成立关系式： C (sI－A) -1 B+E=G(s) 结论10．1[实现维数]传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,E)的结构复杂程度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数，即有 实现维数=dimA 结论10．2[不惟一性]传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,E)满足强不惟一性。即对传递函数矩阵G(s)，不仅其实现结果为不惟一，而且其实现维数也为不惟一。 结论10．3[最小实现]最小实现定义为传递函数矩阵G(s)的所有实现(A,B,C,E)中维数最小的一类实现。实质上，最小实现就是外部等价于G(s)的一个结构最简状态空间模型。 1/5,1/39

结论10．4[实现间关系]对传递函数矩阵G(s)，其不同实现间一般不存在代数等价关系，但其所有最小实现间必有代数等价关系。 结论10．6[实现形式]传递函数矩阵G(s)的实现形式取决于其真性或严真性属性。当G(s)为严真，其实现对应地具有形式(A,B,C)即E=0；当G(s)为真，其实现对应地具有形式(A,B,C,E)即E≠0，且有 其他实现构造 设状态空间描述(A,B,C,E)为传递函数矩阵G(s)的一个实现，dimA=n，则对任一nn非奇异阵T，状态空间描述(TAT-1，TB，CT-1，E)必也为G(s)的一个同维实现。 2/5,2/39

能控类实现和能观测类实现是两类基本的典型实现 定义10．2[能控类实现] 称状态空间描述(A,B,C,E)为传递函数矩阵G(s)的一个能控类实现，当且仅当 C(sI－A) -1 B+E=G(s) (A,B)能控且有指定形式 定义10．3[能观测类实现]称状态空间描述(A,B,C,E)为传递函数矩阵G(s)的一个能观测类实现，当且仅当 C(sI－A) -1 B+E=G(s) (A,C)能观测且有指定形式 最小实现是传递函数矩阵G(s)的一类最为重要的实现。最小实现是G(s)的所有实现中结构为最简的实现，即从外部等价的角度实现中不包含任何多余的部分，因此通常也称最小实现为不可简约实现。 [最小实现判据] 结论10．8设(A,B,C)为严真传递函数矩阵G(s)的一个实现，则其为最小实现的充分必要条件是 (A,B)完全能控，(A,C)完全能观测 3/5,3/39

结论10．9[最小实现广义惟一性]严真传递函数矩阵G(s)的最小实现为不惟一但满足广义惟一性。即若(A,B,C)和 为G(s)的任意两个n维最小实现，则必可基此构造 出一个nn非奇异常阵T使成立： 实现的最小维数 结论10．10[实现最小维数] 对严真传递函数矩阵G(s)，表其为幂级数表达式： 为马尔柯夫(Markov)参数矩阵，并基此组成汉克尔(Hankel)矩阵 则G(s)的状态空间实现的最小维数为 nmin=rankH 4/5,4/39

结论10．11[实现最小维数] 对qp传递函数矩阵G(s)，rankG(s) =r，其史密斯—麦克米伦形为 其中，U(s)和V(s)为qq和pp单模阵。那么，G(s)的状态空间实现的最小维数为 5/5,5/39

不失一般性，考虑真标量传递函数g(s)，并通过严真化先将其表为常数e和严真有理分式n(s)/d(s)之和，即有 10.2标量传递函数的典型实现 不失一般性，考虑真标量传递函数g(s)，并通过严真化先将其表为常数e和严真有理分式n(s)/d(s)之和，即有 那么，对g(s)的各类典型实现就归结为对严真传递函数n(s)/d(s)导出相应的实现，而常数e为各类实现中的输入输出直接传递函数。 1/5,6/39

结论10．12[能控规范形实现] 标量传递函数g(s)的严真部分n(s)/d(s)的能控规范形实现具有形式： 几点讨论 真标量传递函数g(s)的能控规范形实现 实现形式惟一性 维数非最小性 (Ac，bc，cc)为最小实现条件 2/5,7/39

结论10．18[能观测规范形实现] 标量传递函数g(s)的严真部分n(s)/d(s)的能观测规范形实现具有形式： 几点讨论 真标量传递函数g(s)的能观测规范形实现 实现形式惟一性 维数非最小性 (Ac，bc，cc)为最小实现条件 结论10.24[对偶性] 严真标量传递函数n(s)/ d(s)的能控规范形实现（Ac，bc，cc）和能观测规范形实现（A0，b0，c0）满足对偶关系，即有 A0= AcT，b0= ccT，c0= bcT 3/5,8/39

结论10.25[并联形实现] 设传递函数g(s)及其严真部分n(s)/ d(s)，极点为λ1(μ1重)，λ2（μ2重），…λm(μm重)， 表 则严真传递函数n(s)/ d(s)的并联形实现为 4/5,9/39

则严真传递函数n(s)/ d(s) 的串联形实现为 几点解释 并联形实现为约当型规范形实现 并联形实现在构成上的难点 对极点中包含共轭复数情形的处理 表n(s)/ d(s)为 则严真传递函数n(s)/ d(s) 的串联形实现为 几点解释 (1)串联形实现的优点 (2)串联形实现在构成上的难点 (3)对极零点中包含共轭复数情形的处理 5/5,10/39

10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现：能控形实现和能观测形实现 考虑以有理分式矩阵描述给出的真qp传递函数矩阵G(s) G(s)=(gij(s))，i=1,…,q j=1,…,q 进而，表G(s)为“严真qp传递函数矩阵”和“qp常阵E”之和，即 G(s)=(gij(s))=(eij)+(gijsp(s))=E+Gsp(s) 且有E=G(∞)。 再表Gsp(s)诸元即G(s)诸元的最小公分母d(s)为 d(s)=sl+αl-1sl-1+…+α1s+α0 基此，严真qp传递函数矩阵Gsp(s)可进而表为 其中，Pk(k=0,1,…,l-1)为qp常阵 1/3,11/39

结论10.35[能控形实现]对以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩阵Gsp(s)，其能控形实现具有形式 2/3,12/39

结论10.36[能观测形实现] 对以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩阵Gsp(s)，其能观测形实现具有形式 3/3,13/39

10.4基于矩阵分式描述的典型实现：控制器实现和观测器形实现 右MFD的控制器形实现 不失一般性，考虑qp右MFD 和D(s)为qp和pp的多项式矩阵，设为D(s)列既约 首先，对真 导出其严真右MFD。为此，通过矩阵除法，可以得到 其中，qp常阵E为“商阵”，qp多项式矩阵N(s)为“余式阵”。基此，将上式右乘D-1(s)，可以导出 下面的问题就是，对qp严真右MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约 构造其控制器形实现。 1/22,14/39

Cc(sI－Ac) -1 Bc= N(s)D-1(s) (AC,BC)为完全能控且具有特定形式 (1)控制器形实现的定义 定义10.4[控制器形实现]对qp严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，表列次数δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，称一个状态空间描述 为其控制器形实现，其中 如果满足 Cc(sI－Ac) -1 Bc= N(s)D-1(s) (AC,BC)为完全能控且具有特定形式 2/22,15/39

D(s)=DhcSc(s)+DLcΨC(s) N(s)=NLcΨC(s) 其中 结论10.37[构造(AC,BC,CC)的结构图]对qp严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，表列次数δciD(s)=kci,i=1,2,…,p， 再引入列次表达式： D(s)=DhcSc(s)+DLcΨC(s) N(s)=NLcΨC(s) 其中 Dhc为D(s)的列次系数，且detDhc≠0 DLc为D(s)的低次系数阵 NLc为N(s)的低次系数阵 3/22,16/39

那么，基此可导出构造(AC,BC,CC)的结构图 称Ψc(s)Sc-1(s)为核心右MFD u y u0 y0 图10.5 结论10.38[构造(AC,BC,CC)的思路]给定qp严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，则在图10.5所示构造(AC,BC,CC)的结构图基础上，对(AC,BC,CC)的构造可分为两步进行：首先，对核心右MFDΨc(s)Sc-1(s)构造实现(Ac0,Bc0,Cc0),称其为N(s)D-1(s)的核实现。进而，用核实现置换图10.5所示结构图中的核心右MFD，再通过结构图化简导出N(s)D-1(s)的控制器形实现。 4/22,17/39

积分链组的输出ych取为各个积分链的输出构成的向量 (3)核实现(Ac0,Bc0,Cc0)的构造 先来引入积分链组模型。相对于qp右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，列次数δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，其积分链组的组成如图所示。图中，为使组成表达整齐起见，已经非实质性地假定列次数满足非降性，即成立kc1≤kc2≤…≤kcp。 积分链组的输入uch取为 积分链组的输出ych取为各个积分链的输出构成的向量 5/22,18/39

6/22,19/39

相对于qp右MFD N(s)D-1(s)的积分链组模型，取状态Xch﹑输出Ych和输入uch为 结论10.40[积分链组的状态空间描述] 相对于qp右MFD N(s)D-1(s)的积分链组模型，取状态Xch﹑输出Ych和输入uch为 7/22,20/39

8/22,21/39

D(s)=DhcSC(s)+DLcΨc(s) N(s)=NLcΨc(s) （4）控制器形实现的构造 结论10.42[控制器形实现] 对真qp右MFD，其严真右MFD为N(s)D-1(s)，D(s)列既约，列次数δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，再引入列次表达式： D(s)=DhcSC(s)+DLcΨc(s) N(s)=NLcΨc(s) 且知核MFDΨc(s)Sc-1(s)的实现为(Ac0,Bc0,Cc0)，则严真N(s)D-1(s)的控制器形实现(AC,BC,CC)的系数矩阵为 Ac= Ac0－Bc0Dhc-1DLc，Bc= Bc0Dhc-1，Cc=NLc 而真右MFD的控制器形实现为(AC,BC,CC,E) Bc0 ∫ Cc0 NLc D-1hc D-1hcDLc Ac0 9/22,22/39

定出给定2×2右MFD N(s)D-1(s)的控制器形实现(Ac,Bc,Cc)，其中 例10．1 定出给定2×2右MFD N(s)D-1(s)的控制器形实现(Ac,Bc,Cc)，其中 容易判断，D(s)为列既约，且N(s)D-1(s)为严真，进而，定出列次数 kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=3 基此，又可定出 10/22,23/39

核实现 可导出控制器形实现 11/22,24/39

控制器形实现的性质 结论10.43[控制器形实现] 对严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，由核实现(Ac0,Bc0,Cc0)的结构所决定，其控制器形实现(AC,BC,CC)具有形式： 12/22,25/39

(2)控制器形实现和列次表达式在系数阵间的对应关系 结论10.44[对应关系] 对严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，控制器形实现系数矩阵(AC,BC,CC)和D(s)列次表达式系数阵之间具有直观关系 Ac的第i个*行＝－Dhc-1DLc的第i行 Bc的第i个*行＝Dhc-1的第i行 其中，i=1,2,…,p。 例10．2 定出给定2×2右MFD N(s)D-1(s)的控制器形实现(Ac,Bc,Cc)，其中 容易判断，D(s)为列既约，且N(s)D-1(s)为严真，进而，定出列次数 kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=3 13/22,26/39

基此，又可定出 结论10.45[不完全能观测属性] 对严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约的控制器形实现(AC,BC,CC)，(AC,BC)为完全能控，但(AC,CC)一般为不完全能观测。 14/22,27/39

det(sI-Ac)=(detDhc) -1 detD(s) dim(Ac)=deg(det D(s)) 结论10.46[系数矩阵间关系] 对严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，其控制器形实现(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系数矩阵之间具有关系： 结论10.47[系数矩阵行列式间关系] 对严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，其控制器形实现(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系数矩阵行列式之间具有关系： det(sI-Ac)=(detDhc) -1 detD(s) dim(Ac)=deg(det D(s)) 结论10.48[实现和N(s)关系] 对严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，其控制器形实现(AC,BC,CC)和MFD分子矩阵N(s)之间具有关系 结论10.49[联合能控能观测条件] 对严真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既约，其控制器形实现(AC,BC,CC) 联合能控和能观测的一个充分条件为，对所有s∈ξ，qp矩阵N(s)为列满秩即rankN(s)=p 15/22,28/39

导出严真左MFD，引入矩阵左除法可以得到 考虑真qp左MFD 为多项式矩阵， 为既约行列式。为对真 导出严真左MFD，引入矩阵左除法可以得到 其中，DL-1 (s)NL(s)为严真左MFD。下面的问题就是，对qp严真左MFD DL-1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，构造观测器形实现 定义10.5[观测器形实现]对qp严真左MFD DL-1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，表行次数δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q，则称一个状态空间描述 16/22,29/39

DL(s)=Sr(s)Dhr+Ψr(s)DLr (2)核实现(A00 B00 C00) 对严真DL-1 (s)NL(s),行次数δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q,引入行次数表达式 DL(s)=Sr(s)Dhr+Ψr(s)DLr NL(s)= Ψr(s) NLr 其中 Dhr为DL(s)的行次系数矩阵，且detDhr≠0 DLr为DL(s)的低次系数阵 NLr为N(s)的低次系数阵 17/22,30/39

严真DL －1 (s)NL(s)的观测器形实现(A0,B0,C0)的系数矩阵关系式为 结论10.51[核实现]对qp左MFD DL-1 (s)NL(s)，其核心MFD Sr-1 (s)Ψr(s)的实现即DL-1 (s)NL(s)的核实现为 严真DL －1 (s)NL(s)的观测器形实现(A0,B0,C0)的系数矩阵关系式为 A0=A00－DLr(s)Dhr-1C00 B0=NL , C0=Dhr-1C00 18/22,31/39

结论10.53[观测器形实现] 对严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0)具有形式： 观测器形实现的性质 结论10.53[观测器形实现] 对严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0)具有形式： 19/22,32/39

A0的第j个*列=－DLrDhr-1的第j列 C0的第j个*列=Dhr-1的第j列 j=1，2，…，q。 结论10.54[对应关系] 对严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，观测器形实现(A0,B0,C0)系数矩阵和DL(s)列次表达式系数矩阵之间具有直观关系： A0的第j个*列=－DLrDhr-1的第j列 C0的第j个*列=Dhr-1的第j列 j=1，2，…，q。 结论10.55[不完全能控属性] 对严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，则其观测器形实现(A0,B0,C0)中，(A0，C0)为完全能观测，但(A0，B0)一般为不完全能控。 20/22,33/39

det(sI-A0)=(detDhr) -1 detDL(s) 结论10.56[系数矩阵间关系] 对严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0) 和DL－1 (s)NL(s)在系数矩阵之间具有直观关系： 结论10.57[系数矩阵行列式间关系] 对严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0) 和DL－1 (s)NL(s)在系数矩阵的行列式之间具有直观关系： det(sI-A0)=(detDhr) -1 detDL(s) dim(A0)=deg detDL(s) 结论10.58[实现和NL(s)关系] 对严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0) 和MFD 的分子矩阵NL(s)之间具有关系： 21/22,34/39

结论10.59[联合能控能观测条件] 对严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0) 联合能控和能观测的一个充分条件为，对所有s∈ξ，qp矩阵NL(s)为行满秩即rank NL(s)=q。 结论10.60[对偶性]设(A0,B0,C0)为“严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约”的观测器形实现，(Ac,Bc,Cc)为“严真右MFD N(s) D－1 (s) ，D(s)列既约”的控制器形实现，则(A0,B0,C0)和(Ac,Bc,Cc) 形式为对偶，即 A0(=)AcT ，C0(=)BcT 22/22,35/39

10.5基于矩阵分式描述的典型实现：能控性形实现和能观测性形实现 基于矩阵分式描述的实现按“右或左MFD”和“分母矩阵列既约或行既约”共有四种可能的组合。上节已就“右MFD N (s) D－1 (s)，D (s)列既约”和“左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约”构造“控制器形实现”和“观测器形实现”。本节讨论“右MFD N (s) D－1 (s)，D (s)列既约”和“左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s)列既约”构造对应的“能控性形实现”和“能观测性形实现”。 1/1,36/39

最小实现也称为不可简约实现。最小实现是传递函数矩阵的维数最小即结构最简约的一类实现。 10.6不可简约矩阵分式描述的最小实现 最小实现也称为不可简约实现。最小实现是传递函数矩阵的维数最小即结构最简约的一类实现。 结论10.78[不可简约右MFD最小实现] 对qp严真右MFD N (s)D－1 (s)，设n=deg detD(s),表(Ac,Bc,Cc)为“N (s) D－1 (s)，D (s)列既约”的 n维控制器形实现，则有 (Ac,Bc,Cc)为最小实现 <=> N (s) D－1 (s)不可简约 表(Aco,Bco,Cco)为“N (s) D－1 (s)，D (s)行既约”的 n维能控性形实现，则有 (Ac0,Bc0,Cc0) 为最小实现 <=> N (s) D－1 (s)不可简约 需要指出，尽管上述结论为由右MFD确定最小实现提供了一条易于计算的途径，但这并不意味着由右MFD的最小实现只可能有控制器形或能控形的形式。下面，给出右MFD的最小实现的更具普遍性的结论。 结论10.79[不可简约右MFD最小实现] 对qp严真右MFD N (s)D－1 (s)，D (s)列或行既约，表(A，B，C)为其任意形式的n维实现，n=deg detD(s)，则有 (A，B，C)为最小实现 <=> N (s)D－1 (s)不可简约 1/3,37/39

最小实现维数＝MFD分母矩阵行列式的次数 结论10.80[不可简约左MFD最小实现] 对qp严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，设n=deg detDL(s),表(A0,B0,C0)为“DL－1 (s)NL(s)，DL(s)行既约”的 n维观测器形实现，表(A0b,B0b,C0b)为“DL－1 (s)NL(s)，DL(s)列既约”的 n维能观测性形实现，则有 (A0,B0,C0)为最小实现 <=> DL－1 (s)NL(s)不可简约 (A0b,B0b,C0b) 为最小实现 <=> DL－1 (s)NL(s)不可简约 结论10.81[不可简约左MFD最小实现] 对qp严真左MFD DL－1 (s)NL(s)，DL(s) 行或列既约，表 其任意形式的n维实现，n=deg detDL(s)，则有 为最小实现 <=> DL－1 (s)NL(s)不可简约 结论10.82[狭义惟一性]尽管严真不可简约右MFD 或严真不可简约左MFD 的最小实现为不惟一，但其特定形式最小实现则为惟一，如控制器形最小实现、观测器形最小实现、能控性形最小实现和能观测性形最小实现等。 结论10.83[不惟一性]对严真传递函数矩阵G(s)，由不可简约MFD的不惟一性所决定，上述基于MFD的特定形式最小实现也为不惟一。 结论10.84[维数惟一性]对严真传递函数矩阵G(s)，不管表为哪种类型的不可简约MFD，也不管导出的为哪种类型的最小实现，最小实现的维数均为相同，且有 最小实现维数＝MFD分母矩阵行列式的次数 2/3,38/39

结论10.85[代数等价性] 对严真传递函数矩阵G(s)或矩阵分式描述MFD，其各种形式的最小实现之间为代数等价。 频率途径为： 严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约 =>导出不可简约MFD，分母矩阵列既约或行既约 =>导出“控制器形实现/能控性形实现”或“观测器形实现/能观测器性形实现” =>所得实现为最小实现，且维数等于分母矩阵行列式的次数 时间域途径为： =>导出能控能观测部分(Ac0，Bc0，Cc0) =>导出能观测能控部分(Ac0，Bc0，Cc0) =>最小实现即为(Ac0，Bc0，Cc0) 3/3,39/39

第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述 11.1 多项式矩阵描述 11.1 多项式矩阵描述 多项式矩阵描述(polynomial matrix descriptions)简称为PMD，是对线性时不变系统引入的具有更广普遍性的一类内部描述 多项式矩阵描述的形式 现在，推广讨论一般形式的多输入多输出线性时不变系统，定义 那么，可以导出系统的多项式矩阵描述为 PMD和其他描述的关系 结论11.1[PMD的传递函数矩阵] 对线性时不变系统，由给出的PMD的传递函数矩阵G(s)为 G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s) 1/6,1/22

结论11.2[状态空间描述的PMD] 给定线性时不变系统的状态空间描述： 其中，E(p)为多项式矩阵，p=d/dt为微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系统的非真性。那么，状态空间描述的等价的PMD为 其中， 为n×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为 P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s) 结论11.3[MFD的PMD] 给定q×p线性时不变系统的右MFD N(s)D-1(s)+E(s)和左MFD DL-1(s)NL(s)+E(s)，其中N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)为严真MFD，E(s)为多项式矩阵。那么，等价于N(s)D-1(s)+E(s)的PMD为 其中， 为p×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为 P(s)=D(s), Q(s)=I, R(s)=N(s), W(s)=E(s) 2/6,2/22

等价于DL-1(s)NL(s)+E(s)的PMD为 其中， 为q×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为 P(s)=DL(s), Q(s)=NL(s), R(s)=I, W(s)=E(s) 不可简约PMD 不可简约PMD是线性时不变系统的最为基本和应用最广的一类PMD。 定义11.1[不可简约PMD] 称(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约PMD,当且仅当{ P(s),Q(s)}左互质，{ P(s),R(s)}右互质 把可简约PMD化为不可简约PMD是复频率域方法中经常面临的一个问题。 3/6,3/22

{ P(s),R(s)}右互质，{ P(s),Q(s)}非左互质 情形Ⅰ { P(s),R(s)}右互质，{ P(s),Q(s)}非左互质 结论11.5[构造不可简约PMD] 对“{ P(s),R(s)}右互质，{ P(s),Q(s)}非左互质”型可简约PMD，表m×m多项式矩阵H(s)为非左互质{ P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，再取 则可简约PMD的一个不可简约PMD为 情形Ⅱ { P(s),R(s)}非右互质，{ P(s),Q(s)}左互质 结论11.6[构造不可简约PMD] 对“{ P(s),R(s)}非右互质，{ P(s),Q(s)}左互质”型可简约PMD，表m×m多项式矩阵F(s)为右互质{ P(s),R(s)}的任一最大右公因子，再取 即有 则可简约PMD的一个不可简约PMD为 4/6,4/22

{ P(s),R(s)}非右互质，{ P(s),Q(s)}非左互质 情形Ⅲ { P(s),R(s)}非右互质，{ P(s),Q(s)}非左互质 结论11.7[构造不可简约PMD] 对“{ P(s),R(s)}非右互质，{ P(s),Q(s)}非左互质”型可简约PMD，表m×m多项式矩阵H(s)为非左互质{ P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，取 m×m多项式矩阵 为 的任一最大右公因子，取 则可简约PMD的一个不可简约PMD为 5/6,5/22

结论11.8[不可简约PMD不唯一性] 设(P(s),Q(s),R(s),W(s))为线性时不变系统的一个不可简约PMD,P(s)为m×m多项式矩阵，Q(s)、R(s)和W(s)为m×p、q×m和q×p多项式矩阵。表U(s)和V(s)为任意两个m×m单模阵，取 则 也为系统的一个不可简约PMD 6/6,6/22

考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述即PMD为 11.2 多项式矩阵描述的状态空间实现 PMD的实现 考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述即PMD为 其中，P(s)为m×m多项式矩阵；Q(s)、R(s)和W(s)为m×p、q×m和q×p多项式矩阵。 定义11.2[PMD的实现] 称状态空间描述 为PMD （P(s),Q(s),R(s),W(s)）的一个实现，如果两者的传递函数矩阵为相等，即成立： R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)=C(sI-A)-1B+E(s) 其中，E(s)=E(p)︱p=s 注 PMD的实现具有强不唯一性，即不仅实现的结果不唯一，且实现的维数也不唯一。 1/1,7/22

11.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性与能观测性 11.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性与能观测性 左互质性与能控性 考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述为 其中，P(s)为m×m多项式矩阵，Q(s)、R(s)和W(s)为m×p、q×m和q×p多项式矩阵。系统的状态空间描述即PMD的一个实现为 其中，A为n×n常阵，B和C为n×p和q×n常阵，E（p）为q×p多项式矩阵。下面，给出能控性和左互质性间关系的结论 结论11.16[左互质性和能控性] 对线性时不变系统的PMD及其状态空间实现，有（P(s),Q(s)）左互质〈==〉(A,B)完全能控 结论11.17[右互质性和能观测性] 对线性时不变系统的PMD及其状态空间实现有（P(s),R(s)）右互质〈==〉(A,C)完全能观测 1/4,8/22

结论11.19 [MFD右互质性和能观测性] 考虑线性时不变系统的右MFD 结论11.18[不可简约PMD的最小描述性] 对线性时不变系统，如同称（A,B）完全能控和（A,C）完全能观测的状态空间描述（A,B,C,E(p)）为最小描述一样，也称(P(s),Q(s))左互质和(P(s),R(s))右互质的不可简约PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))为最小描述。 结论11.19 [MFD右互质性和能观测性] 考虑线性时不变系统的右MFD 为严真，其能控类实现为 其中，dim(Ac)=deg detD(s)。则有 {D(s),N(s)}右互质〈==〉(Ac,Cc)完全能观测 2/4,9/22

结论11.20 [MFD左互质性和能控性] 考虑线性时不变系统的左MFD 为严真，其能观测类实现为 其中，dim(A0)=deg detDL(s)。则有 {DL-1(s),NL(s)}左互质〈==〉(A0,B0)完全能控 结论11.21[状态空间描述的互质性] 考虑线性时不变系统，其状态空间描述为（A,B,C,E(p)），传递函数矩阵G(s)的关系式为 G(s)=C(sI-A) -1 B+E(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s) 则由PMD左右互质性和状态空间描述能控性能观测性的等价关系，可知 {sI-A,B}左互质〈==〉(A,B)完全能控 {sI-A,C}右互质〈==〉(A,C)完全能观测 3/4,10/22

结论11.22 [SISO系统互质性] 考虑单输入单输出即SISO线性时不变系统，表其传递函数g(s)为 其中，P(s)为m×m多项式矩阵，r(s)和q(s)为1×m和m×1多项式项量， W(s)为多项式，φ(s)为P(s)的最小多项式。则有 {P(s),r(s)}右互质〈==〉φ(s)和r(s)H(s)不含相消因子 {P(s),q(s)}左互质〈==〉φ(s)和H(s)q(s)不含相消因子 {P(s),r(s)}和{P(s),q(s)}均互质〈==〉g(s)严真部分不含零点－极点对消 4/4,11/22

11.4 传输零点和解耦零点 PMD的极点 考虑线性时不变系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其传递函数矩阵为 G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s) 定义11.3 [PMD的极点] 对PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，定义： PMD的极点＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的极点 结论11.23 [PMD的极点] 表（A,B,C,E(p)）为PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))的一个最小实现，则有 PMD的极点＝“det(sI-A)=0”的根 结论11.24 [PMD的极点] 若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约，则有 PMD的极点＝“detP(s)=0的根” 定义11.4 [PMD的传输零点] 对PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其传递函数矩阵为G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)，则定义： PMD的传输零点＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的零点 1/2,12/22

结论11.25 [PMD的传输零点] 表（A,B,C,E(p)）为PMD(P(s),Q(s), R(s)，W(s))的任一最小实现，则有 结论11.26 [PMD的传输零点] 若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约，则有PMD 的传输零点＝使 降秩的s值 2/2,13/22

其中，P(s)为m×m非奇异多项式矩阵；Q(s)、R(s)和W(s)为m×p、q×m和q×p多项式矩阵。进而，表上式为增广变量方程形式，有 11.5 系统矩阵 考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述为 其中，P(s)为m×m非奇异多项式矩阵；Q(s)、R(s)和W(s)为m×p、q×m和q×p多项式矩阵。进而，表上式为增广变量方程形式，有 定义11.8 [PMD系统矩阵] 线性时不变系统PMD的系统矩阵定义为其增广变量方程（11.143）的系数矩阵，即 结论11.35 [状态空间描述系统矩阵] 线性时不变系统状态空间描述的系统矩阵为 1/4,14/22

结论11.36 [MFD系统矩阵] 对q×p线性时不变系统的 MFD，右N(s)D-1(s)的系统矩阵为 左DL -1 (s)NL(s)的系统矩阵为 结论11.37[判断不可简约性] 线性时不变系统PMD的系统矩阵为S(s)，有 PMD不可简约〈==〉S(s)的前m行和前m列分别满秩， 结论11.38 [PMD的极点零点] 线性时不变系统PMD的系统矩阵为S(s)，若PMD为不可简约，则有 PMD的极点＝使S(s)左上方m×m块矩阵降秩s值 PMD的传输零点＝使S(s)降秩s值 2/4,15/22

定义11.9 [PMD增广系统矩阵] 线性时不变系统PMD的增广系统矩阵定义为 通常，一个线性时不变系统的不同类型描述的系统矩阵在维数上为不同。进而，同一类型不同描述的系统矩阵在维数上也常为不同。增广系统矩阵正是为克服由此而引起的不便而在系统矩阵基础上导出的一类广义系统矩阵。 定义11.9 [PMD增广系统矩阵] 线性时不变系统PMD的增广系统矩阵定义为 其中，β为正整数且可按需要任取 结论11.42 [不可简约性相同] 对线性时不变系统的系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)，有Se(s)不可简约〈==〉S(s)不可简约 结论11.43[互质性相同] 对线性时不变系统的系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)，有{Pe(s),Qe(s)}左互质〈==〉{P(s),Q(s)}左互质 {Pe(s),Re(s)}右互质〈==〉{P(s),R(s)}右互质 3/4,16/22

结论11.44 [极点和传输零点相同] 对线性时不变系统的不可简约系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)，有 Se(s)的极点＝S(s)的极点 Se(s)的传输零点＝S(s)的传输零点 结论11.45[解偶零点相同] 对线性时不变系统的可简约系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)，有 Se(s)的输入解偶零点＝S(s)的输入解偶零点 Se(s)的输出解偶零点＝S(s)的输出解偶零点 结论11.46[传递函数矩阵相同] 线性时不变系统的系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)具有相同的传递函数矩阵，即有 Re(s)Pe-1(s)Qe(s)+W(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s) 结论11.47[分母矩阵行列式相同] 线性时不变系统的系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)具有相同的分母矩阵行列式，即有 detPe(s)=detP(s) 结论11.48[特性关系属性相同] 对线性时不变系统，引入增广系统矩阵Se(s)代替系统矩阵S(s)以讨论不同描述间关系，不会损失不同描述在特性上的关系属性，如互质性、能控性能观测性、稳定性等。 4/4,17/22

11.6 严格系统等价 对线性时不变系统，考虑相同输入和相同输出的两个PMD的系统矩阵S1(s)和S2(s)，它们既可属于同一系统也可属于不同系统，并表S1(s) 和S2(s)分别为 其中，Pi(s)为mi×mi非奇异多项式矩阵，Ri(s)、Qi(s)和Wi(s)为mi×p、q×mi和q×p多项式矩阵，i=1,2。进而，不妨设m1＝m2＝m。 定义11.10[严格系统等价] 称两个PMD型系统矩阵S1(s) 和S2(s)为严格系统等价，当且仅当存在m×m单模阵U(s)和V(s)，以及q×m和m×p多项式矩阵X(s)和Y(s)，使成立： 并且，记为S1(s)～S2(s) 1/5,18/22

2:严格系统等价变换式一类特定的左右单模变换 3:严格系统等价变换满足对称性、自反性和传递性 三点说明: 1:严格系统等价式一种变换关系 2:严格系统等价变换式一类特定的左右单模变换 3:严格系统等价变换满足对称性、自反性和传递性 对称性：若S1(s)～S2(s)，则S2(s)～S1(s)。 自反性：S1(s)～S1(s)。 传递性：若S1(s)～S2(s)，S2(s)～S3(s)，则S1(s)～S3(s)。 严格系统等价变换的性质 线性时不变系统的两个PMD型系统矩阵S1(s)和S2(s)，若S1(s)～S2(s)即严格系统等价，则两者分母矩阵P2(s)和P1(s)具有等同的不变多项式，即有 detP2(s)=β0detP1(s) 其中，β0为非零常数 严格系统等价变换下传递函数矩阵保持不变 2/5,19/22

严格系统等价变换下系统同类实现在维数和特征多项式上的等同性 对线性时不变系统，表两个多项式矩阵描述 其系统矩阵为S1(s)和S2(s)，再令 （A1,B1,C1,E1(p)）＝PMD1的任一能控类或能观测类实现 （A2,B2,C2,E2(p)）＝PMD2的任一能控类或能观测类实现 若S1(s)～S2(s)即严格系统等价，则两个同类实现具有相同维数和相同特征多项式，即有 dim(A1)= dim(A2) det(sI-A1)=det(sI-A2) 3/5,20/22

左互质性和右互质性在严格系统等价变换下的不变性 对线性时不变系统，PMD的互质性在严格等价变换下保持不变 若S1(s)～S2(s)即严格系统等价，则有 {P2(s),Q2(s)}左互质〈==〉{P1(s),Q1(s)}左互质 {P2(s),R2(s)}右互质〈==〉{P1(s),R1(s)}右互质 能控性和能观测性在严格系统等价变换下的不变性 “状态空间描述代数等价”和“系统矩阵严格系统等价”的等价性 对线性时不变系统，表两个状态空间描述为 （A1,B1,C1,E1(p)）和（A2,B2,C2,E2(p)） 系统矩阵为 则有（A2,B2,C2,E2(p)）代数等价（A1,B1,C1,E1(p)）〈==〉S2(s)～S1(s) 4/5,21/22

传递函数矩阵的所有不可简约MFD的严格系统等价 对线性时不变系统的q×p传递函数矩阵G（s），且不要求为严真，则G(s)的所有不可简约MFD必都为严格系统等价 结论11.57[不可简约PMD的严格系统等价] 对线性时不变系统的q×p传递函数矩阵G（s），G(s)的所有不可简约MFD为严格系统等价 严格系统等价描述在结构性质和运动行为上的等同性 由严格系统等价性保证，在不可简约的前提下，线性时不变系统的三类描述即状态空间描述、右或左MFD以及PMD在用于系统的分析和综合时的结果为完全等价，不会出现丢失系统结构信息的情况。 5/5,22/22

第12章线性时不变系统的复频率域分析 12.1并联系统的能控性和能观测性 并联系统 并联系统是以“输入相同”和“输出相加”为特征的一类组合系统 首先，给出对子系统的两个基本假定。一是，S1和S2可由其传递函数矩阵G1(s)和G2(s)完全表征，即其相应的状态空间描述为完全能控和完全能观测。二是，子系统传递函数矩阵Gi(s)，i=1,2为qi×pi有理分式矩阵。且表为不可简约右和左MFD： Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1(s)NLi(s)，i=1,2 S1 S2 u=u1=u2，y=y1+y2 p1=p2=p，q1=q2=q 结论12.1[能控性条件] 由线性时不变子系统S1和S2组成的并联系统Sp，若取 G1(s)=不可简约右MFD N1(s)D1-1(s) G2(s)=不可简约右MFD N2(s)D2-1(s) 则有 Sp完全能控<=>{D1(s)，D2(s)}左互质 1/2,1/15

结论12.2[能观测性条件] 线性时不变子系统S1和S2组成的并联系统Sp，若取 G1(s)=不可简约左MFD DL1-1(s) NL1(s) G2(s)=不可简约左MFD DL2-1(s) NL2(s) 则有 Sp完全能观测<=>{DL1(s)，DL2(s)}右互质 结论12.3[不可简约性条件] 由线性时不变子系统S1和S2组成的并联系统Sp， 若取G1(s)和G2(s)为“不可简约右MFD N1(s)D1-1(s)与N2(s)D2-1(s)”和“不可简约左MFD DL1-1(s) NL1(s)与DL2-1(s)NL2(s)”，则有 Sp不可简约，即可用G1(s)+G2(s)完全表征<=>{D1(s)，D2(s)}左互质，{DL1(s)，DL2(s)}右互质 结论12.4[能控性和能观测性条件] 由线性时不变子系统S1和S2组成的多输入多输出并联系统Sp，则Sp保持完全能控和完全能观测的一个充分条件是，q×p传递函数矩阵G1(s)和G2(s)不包含公共极点。 结论12.6[能控性和能观测性条件] 由线性时不变子系统S1和S2组成的单输入单输出并联系统Sp，则Sp保持为完全能控和完全能观测的充分必要条件是，标量传递函数g1(s)和g2(s)不包含公共极点。 2/2,2/15

串联系统是由子系统按串联方式顺序联接的组合系统 12.2串联系统的能控性和能观测性 串联系统是由子系统按串联方式顺序联接的组合系统 首先，对子系统引入两个基本假定。一是，S1和S2可由其传递函数矩阵G1(s)和G2(s)所完全表征，即其状态空间描述为完全能控和完全能观测。二是，Gi(s)，i=1,2,为qi×pi有理分式矩阵，且表为不可简约右和左MFD： Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1NLi(s)，i=1,2 进而，由子系统的S1－S2串联特征，可以给出系统组成上的相应约束条件为 S1 S2 u u1 y1 u2 y2 y u=u1，y1=u2，y=y2 p1=p，q1=p2，q2=q 结论12.7[能控性条件] 由线性时不变子系统S1和S2组成的串联系统ST，若取 G1(s)=不可简约右MFD N1(s)D1-1(s) G2(s)=不可简约右MFD N2(s)D2-1(s) 则有 ST完全能控<=>{D2(s)，N1(s)}左互质 1/4,3/15

结论12.8[能控性条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取 G1(s)=不可简约右MFD N1(s)D1-1(s) G2(s)=不可简约左MFD DL2-1(s)NL2(s) 则有 ST完全能控<=>{ DL2(s)，NL2(s)N1(s)}左互质 结论12.9[能控性条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取 G1(s)=不可简约左MFD DL1-1(s)NL1(s) G2(s)=不可简约右MFD N2(s)D2-1(s) 则有 ST完全能控<=>{ DL1(s) D2(s)，NL1(s)}左互质 结论12.10[能观测性条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取 G1(s)=不可简约左MFD DL1-1(s) NL1(s) G2(s)=不可简约左MFD DL2-1(s) NL2(s) 则有 ST完全能观测<=>{DL1(s)，NL2(s)}右互质 2/4,4/15

结论12.11[能观测性保持条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取 G1(s)=不可简约左MFD DL1-1(s) NL1(s) G2(s)=不可简约右MFD N2(s)D2-1(s) 则有 ST完全能观测<=>{DL1(s) D2(s)，N2(s)}右互质 结论12.12[能观测性保持条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取 G1(s)=不可简约右MFD N1(s) D1-1(s) G2(s)=不可简约左MFD DL2-1(s)NL2(s) 则有 ST完全能观测<=>{D1(s)，NL2(s)N1(s)}右互质 结论12.13[能控性条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的多输入多输出串联系统ST，设p=p1≥q1=p2，传递函数矩阵G1(s)为满秩，则ST保持完全能控的一个充分条件是，没有G2(s)极点等同于G1(s)传输零点 3/4,5/15

结论 12.15[能观测性条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的多输入多输出串联系统ST，设p2=q1≤q2=q，传递函数矩阵G2(s)为满秩，则ST保持完全能观测的一个充分条件是，没有G1(s)极点等同于G2(s)传输零点。 结论12.17[能控性条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的单输入单输出串联系统ST，则ST保持完全能控的充分必要条件是，没有g2(s)极点为g1(s)零点所对消。 结论12.18[能观测性条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的单输入单输出串联系统ST，则ST保持完全能观测的充分必要条件是，没有g1(s)极点为g2(s) 零点所对消。 结论12.19[完全表征条件] 由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的单输入单输出串联系统ST，则ST可用g2(s)g1(s)完全表征的充分必要条件是，g1(s)和g2(s)没有极点零点对消现象。 4/4,6/15

结论12.22[状态反馈系统的MFD] 复频率域结构图表征的线性时不变状态反馈系统，闭环传递函数矩阵的右MFD为 12.3状态反馈系统的能控性和能观测性 结论12.21[状态反馈系统复频率域形式] 对线性时不变受控系统，状态反馈系统复频率域结构基本形式如图所示，并被采用作为复频率域方法中分析和综合状态反馈的基本模型。 Dhc-1 Ψ(s)S-1(s) NLc Dhc-1DLc K 结论12.22[状态反馈系统的MFD] 复频率域结构图表征的线性时不变状态反馈系统，闭环传递函数矩阵的右MFD为 GK(S)=N(s)DK-1(s) 闭环分母矩阵DK(s)为 DK(s)=DhcS(s)+(DLc+K)Ψ(s) D-1(s) N(s) KΨ(s) 1/2,7/15

结论12.23[能控性] 复频率域结构图表征的线性时不变状态反馈系统∑K和开环受控系统∑0有 ∑K完全能控<=>∑0完全能控 2/2,8/15

det[I+G1(s)G2(s)]∣s=∞ =det[I+G2(s)G1(s)]∣s=∞ ≠0 12.4输出反馈系统的能控性和能观测性 考虑图示结构组成的线性时不变输出反馈系统∑F。首先对输出反馈系统∑F引入三个基本约定：(i)子系统S1和S2为真或严真，且可由传递函数矩阵G1(s)和G2(s)分别完全表征。(ii)为保证输出反馈系统∑F传递函数矩阵的真性或严真性，令 det[I+G1(s)G2(s)]∣s=∞ =det[I+G2(s)G1(s)]∣s=∞ ≠0 (iii) 对输出反馈系统∑F中包含的串联系统，表 S1 S2 进而，由输出反馈的联接特征，可以导出系统组成上的约束关系式为 u1=u－y2，y=y1=u2 结论12.27[∑F的传递函数矩阵] 对线性时不变输出反馈系统∑F，有 GF(s)=G1(s)[I+G2(s)G1(s)] -1 GF(s)=[I+G1(s)G2(s)] -1 G1(s) 1/2,9/15

结论12.28[完全能控条件] 线性时不变输出反馈系统∑F， 有 ∑F完全能控<=>S12完全能控 有 ∑F完全能控和完全能观测<=>g2(s)极点和g1(s)零点间不存在对消 结论12.33[能控和能观测条件] 多输入多输出线性时不变输出反馈系统∑F， 若对子系统S2有G2(s)=F(常阵)，则有 ∑F完全能控<=>S1完全能控 ∑F完全能观测<=>S1完全能观测 2/2,10/15

∑DFBIBO稳定<=>∑DF渐近稳定 12.5直接输出反馈系统的稳定性分析 系统运动的稳定性可以区分为两种基本类型，“内部稳定性”和“外部稳定性”，前者就是渐进稳定性，后者即为有界输入有界输出稳定性或BIBO稳定性 考虑图所示的线性时不变直接输出反馈系统∑DF，其特点是反馈通道中子系统的传递函数矩阵G2(s)=I。通常，也称直接输出反馈系统为单位输出反馈系统。进而。约定子系统S1可由传递函数矩阵G1(s)完全表征，G1(s)为方的真有理分式矩阵，det[I+G1(s)]︱s=∞ ≠0。 G1(s) 结论12.34 [两类稳定等价性] 线性时不变直接输出反馈系统∑DF，子系统S1可由G1(s)完全表征，则有 ∑DFBIBO稳定<=>∑DF渐近稳定 1/2,11/15

结论12.35 [特征多项式] 线性时不变直接输出反馈系统∑DF，子系统S1由G1(s)完全表征，△1(s)为G1(s)的特征多项式，则有 ∑DF的特征多项式<=>β△1(s) det[I+G1(s)] 其中，β为非零常数 结论12.36 [稳定条件] 线性时不变直接输出反馈系统∑DF，若G1(s)以有理分式矩阵表征，则有 ∑DF为渐近稳定和BIBO稳定<=>“△1(s) det[I+G1(s)]＝0根”均具有负实部 其中，△1(s)为G1(s)的特征多项式。 结论12.37 [稳定条件] 线性时不变直接输出反馈系统∑DF，若G1(s)以不可简约右MFD N1(s)D1-1(s)表征，则有 ∑DF为渐近稳定和BIBO稳定<=>“det[D1(s)+N1(s)]＝0根”均具有负实部 结论12.38 [稳定条件] 线性时不变直接输出反馈系统∑DF，若G1(s)以不可简约左MFD DL1-1(s)NL1(s)表征，则有 ∑DF为渐近稳定和BIBO稳定<=>“det[DL1(s)+NL1(s)]＝0根”均具有负实部 2/2,12/15

具有补偿器的输出反馈系统简表为∑CF。∑CF是更为一般的形式的输出反馈系统，其构成如图所示。 12.6具有补偿器的输出反馈系统的稳定性分析 具有补偿器的输出反馈系统简表为∑CF。∑CF是更为一般的形式的输出反馈系统，其构成如图所示。 G1(s) G2(s) 同样，对∑CF引入如下三个基本约定 子系统S1和S2为完全能控和完全能观测，即可由其传递函数矩阵G1(s)和G2(s)完全表征，且G1(s)和G2(s)为q×p和p×q真有理分式矩阵。 子系统S1和S2采用有理分式矩阵和不可简约MFD描述： Gi(s)=不可简约右MFD Ni(s)Di-1(s) =不可简约左MFD DLi-1(s)NLi(s) 为保证∑CF的传递函数矩阵GCF(s)为真，设det[I+G1(s)G2(s)]︱s=∞ ≠0 1/3,13/15

结论12.39 [等价条件] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统∑CF，表 若满足“S12完全能控，S21完全能观测”条件，则有 ∑CF渐近稳定<=>∑CF BIBO稳定 若不满足“S12完全能控，S21完全能观测”条件，则有 ∑CF渐近稳定=>∑CF BIBO稳定 结论12.40[特征多项式] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统∑CF，表 ∑CF状态空间描述＝{ACF，BCF，CCF，ECF} S1状态空间描述＝{A1，B1，C1，E1} S2状态空间描述＝{A2，B2，C2，E2} 则有 ∑CF的多项式＝det(sI－ACF)＝β△1(s)△2(s)det[I+G1(s)G2(s)] 结论12.41[渐近稳定条件] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统∑CF，若G1(s)和G2(s)以有理分式矩阵表征，则有 ∑CF渐近稳定<=>“△1(s)△2(s)det[I+G1(s)G2(s)]＝0根”均具有负实部 2/3,14/15

结论12.41[渐近稳定条件] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统∑CF，若G1(s)和G2(s)以有理分式矩阵表征，则有 ∑CF渐近稳定<=>“△1(s)△2(s)det[I+G1(s)G2(s)]＝0根”均具有负实部 结论12.42[渐近稳定条件] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统∑CF，若G1(s)和G2(s)以不可简约左MFD DL1-1(s) NL1(s)和不可简约右MFD N2(s)D2-1(s)表征，则有 ∑CF渐近稳定<=>“det[DL1(s)D2(s)+NL1(s)N2(s)]＝0根”均具有负实部 结论12.43[渐进稳定条件] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统∑CF，若G1(s)和G2(s)以不可简约右MFD N1(s)D1-1(s)和不可简约左MFD DL2-1(s) NL2(s)表征，则有 ∑CF渐近稳定<=>“det[DL2(s)D1(s)+NL2(s)N1(s)]＝0根”均具有负实部 结论12.45[特殊∑CF稳定条件] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统∑CF，若子系统S2的传递函数矩阵G2(s)＝F(常阵)，则由结论12.41～结论12.43给出的∑CF为渐近稳定的条件也是∑CF为BIBO稳定的充分必要条件 3/3,15/15