材料力学 第七章 弯曲应力

第七章 弯曲应力 §7–1 引言 §7–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §7–3 梁横截面上的剪应力 第七章 弯曲应力 §7–1 引言 §7–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §7–3 梁横截面上的剪应力 §7–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 §7–5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心 §7–6 考虑材料塑性时的极限弯矩

弯曲应力 §7－１ 引言 1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 内力 剪力Q 剪应力t 弯矩M 正应力s

弯曲应力 2、研究方法 平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况) 平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况) P1 P2 例如： 纵向对称面

弯曲应力 P P a a 纯弯曲(Pure Bending): A B 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。 Q x x M

弯曲应力 §7－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 中性层 纵向对称面 中性轴 一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力 （一）变形几何规律： （一）变形几何规律：　　　　　　　　 1.梁的纯弯曲实验 b d a c 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。 a b c d M

弯曲应力 2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。　 横截面上只有正应力。　 （可由对称性及无限分割法证明）

弯曲应力 4. 几何方程： ) OO1 dq r x y a b c d A B A1 B1 O1 O

弯曲应力 （二）物理关系：　　　　　　　　 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。 sx （三）静力学关系：　　　　　　　　

弯曲应力 （对称面） … …(3) EIz 杆的抗弯刚度。

弯曲应力 （四）最大正应力：　　　　　　　　 … …(5) D d = a b B h H

弯曲应力 例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）1——1截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。 Q=60kN/m A B 1m 2m 1 30 180 1 2 120 z y M1 Mmax x M + 解：画M图求截面弯矩

弯曲应力 Q=60kN/m A B 1m 2m 1 求应力 180 30 1 2 120 z y M1 Mmax x M +

弯曲应力 Q=60kN/m A B 1m 2m 1 180 30 1 2 120 M1 Mmax 求曲率半径 x M +

弯曲应力 §7－3 梁横截面上的剪应力 一、 矩形截面梁横截面上的剪应力 dx x 1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力 相等。 图a y Q(x)+d Q(x) M(x) 图b Q(x) dx 2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡 M(x)+d M(x) s x y z s1 t1 t b 图c

弯曲应力 dx x 图a y Q(x)+d Q(x) M(x) 图b Q(x) dx M(x)+d M(x) z t1 x b t s s1 由剪应力互等 Q(x) dx M(x)+d M(x) s x y z s1 t1 t b 图c

弯曲应力 Q t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。 二、其它截面梁横截面上的剪应力 1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为： 其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；

弯曲应力 Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 ①工字钢截面： Af —腹板的面积。 ; » max A Q t f ; » max A Q t f 结论： 翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin 故工字钢最大剪应力

弯曲应力 ② 圆截面： ③ 薄壁圆环： Q e ④槽钢： e x y z P Q e h

弯曲应力 §7-4 梁的正应力和剪应力强度条件 • 梁的合理截面 一、梁的正应力和剪应力强度条件 1、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。 s M Q t t s

弯曲应力 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲） s M Q t t s 2、正应力和剪应力强度条件： 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：

弯曲应力 校核强度： Œ  设计截面尺寸： Ž 设计载荷： 4、需要校核剪应力的几种特殊情况： 、校核强度：  设计截面尺寸： Ž 设计载荷： 4、需要校核剪应力的几种特殊情况： 梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。

弯曲应力 q=3.6kN/m 例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。 B A L=3m Q – + x 解：画内力图求危面内力 x M +

弯曲应力 q=3.6kN/m 求最大应力并校核强度 Q – + x x M + 应力之比

弯曲应力 4 P1=9kN 1m P2=4kN A B C D 例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？ x 2.5kNm -4kNm M 解：画弯矩图并求危面内力 A1 A2 A3 A4 y1 y2 G 画危面应力分布图，找危险点

弯曲应力 x 2.5kNm -4kNm M A1 A2 A3 A4 y1 y2 G 校核强度 A3 A4 y1 y2 G T字头在上面合理。

英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 弯曲应力 二、梁的合理截面 （一）矩形木梁的合理高宽比 R b h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为

弯曲应力 其它材料与其它截面形状梁的合理截面 强度：正应力： 剪应力： 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D z a

弯曲应力 z D 0.8D a1 2a1 z

弯曲应力 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 工字形截面与框形截面类似。

弯曲应力 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图： 2、根据材料特性选择截面形状 s G z

弯曲应力 （二）采用变截面梁 ，如下图： 最好是等强度梁，即 P x 若为等强度矩形截面，则高为 同时

§7-5 非对称截面梁的平面弯曲 • 开口薄壁截面的弯曲中心 弯曲应力 §7-5 非对称截面梁的平面弯曲 • 开口薄壁截面的弯曲中心 几何方程与物理方程不变。 P x y z O

弯曲应力 依此确定正应力计算公式。 剪应力研究方法与公式形式不变。 弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。 （如前述坐标原点O） P x y z O

非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。 弯曲应力 非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。 Q e e x y z P s M 槽钢： P

弯曲应力 弯曲中心的确定: C C (1)双对称轴截面，弯心与形心重合。 (2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。 C (3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。 (4)求弯心的普遍方法： Qy e C

全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。 弯曲应力 §7-6 考虑材料塑性时的极限弯矩 ss ss s e ss 塑性极限分布图 理想弹塑性材料的s-e图 弹性极限分布图 全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。 （一）物理关系为：　　　　　　　　

弯曲应力 （一）物理关系为：　　　　　　　　 y z x ss Mjx 横截面图 正应力分布图 （二）静力学关系：　　　　　　　　

弯曲应力 y z x ss Mjx 横截面图 正应力分布图

弯曲应力 例4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之 比。 解：

本章结束