用相频曲线测阻尼系数的探索 指导教师 陈乾 10105112 吉新程

“受迫振动的研究”实验 简介

“受迫振动的研究”实验 简介 系统做受迫振动的方程为 在小阻尼条件（ ）下，解为 稳定后成为简谐振动 其中振幅 相位差 在小阻尼条件（ ）下，解为 稳定后成为简谐振动 其中振幅 相位差 可以看出，振幅和相位差都和阻尼系数有关，而且通过计算可以知道阻尼系数越小，共振角频率越接近于系统的固有频率，共振振幅也越大。 因此，振动系统的阻尼系数 是描述这样一个振动系统振动规律的重要参数，因此有测量的必要。

书中给出的方法 系统的振幅 ，系统共振（ ）时，得到共振振幅 ，两式相除，并利用弱阻尼 时，共振峰附近 的近似处理，得到 系统的振幅 ，系统共振（ ）时，得到共振振幅 ，两式相除，并利用弱阻尼 时，共振峰附近 的近似处理，得到 这样，从幅频曲线上若读出 处对应的两个横坐标 ，带入上式便可得 ，这样也就计算出了阻尼系数

对书中方法的质疑 在得到最终表达式 的过程中，利用了弱阻尼 时，共振峰附近 的近似，但事实上，从实验的图线可以看出，对应 的 并不是很靠近共振峰，也就是说近似条件不能很好的满足。 于是我们打算探索新的更精确的计算阻尼系数 的方法。 2 1 r b = q

新方法的探索——猜想 书中的方法实际上利用了幅频曲线 中的信息来计算 。但，实验中得出的相频曲线同样含有 的信息。 书中的方法实际上利用了幅频曲线 中的信息来计算 。但，实验中得出的相频曲线同样含有 的信息。 因此，我们猜想，可以利用相频曲线 来计算阻尼系数 。

新方法的探索——模仿 在探索的初期，我们模仿书中的处理方法，也类似的计算 发现难以化简。考虑到 的数学表达式的特点，我们改成计算： 发现难以化简。考虑到 的数学表达式的特点，我们改成计算： 这样对于相频曲线中 的点，带入上式便可得到 ，似乎得到了新的方法！但操作时才意识到 ，根本无法读出满足 的点。

新方法的探索——改造 为了克服 发散的问题，我们试想可以计算 为了克服 发散的问题，我们试想可以计算 如此一来， 不会发散，就可以读数了。但此时的公式太复杂，无法得到关于 的简单的表达式。 此时，问题陷入了困境……

新方法的探索——反思 稍加思考就会发现，出现困难的原因在于我们照搬了书中的处理思想。其实书中计算 是因为 的表达式中有m这个不定参数，所以必须求比值以消去m。 而我们研究的相频曲线中的表达式中只有 无不定参数，何不直接从 入手呢？况且 一直趋于 ，并不含关于 的信息，因此不必像书上一样，计算 因此我们决定直接利用 的表达式计算

新方法的探索——试探 通过上面的分析，我们直接写出 的表达式： 将这个公式写成 的形式： 设 进一步化为： 通过上面的分析，我们直接写出 的表达式： 将这个公式写成 的形式： 设 进一步化为： 仿照书中方法，令 ，得 （负值舍去）。带入上式，化为 ，这样，读出 的点对应的 ，代入上式，即求得

新方法的探索——修正 读数时，又遇到了困难， 超出了本次实验记录的数据范围。其实这只是小问题，我们可以重新选择x，使其在范围之内。为了不盲目寻找，可以用待定系数法。令 （ ），得到 ，由 得到 ，综上得 。 但这只是一个范围，到底取什么样的数据点可以使得方法最优呢？

新方法的探索——优化 如何使计算结果更精确呢？下面略作分析： 将 代入 ，得到 其中 、 为定值，因此， 的计算误差由 的读数误差决定。 将 代入 ，得到 其中 、 为定值，因此， 的计算误差由 的读数误差决定。 下面定量化分析：对上式求全微分， ，可见在读数误差 不变时， 与 成反比。因此最好选这样的 ，使由 求得的x所对应的 尽量大，再考虑到本次实验中各原始数据（如 ）的记录范围，在本次实验中初步决定取 至此，问题已经解决，已经得出用相频曲线计算 的方法。

新方法的探索——总结 将用相频曲线求 的新方法步骤总结如下： 将用相频曲线求 的新方法步骤总结如下： 1 . 利用实验中测出的数据点作出相频曲线 取多个测量点（这里以两个为例），使其对应的 落在 中，读出 、 ， 、 。 2 . 将 和 分别代入公式 3 . 求得 、 ，取平均作为 的近似值。

实验验证 用实验测得的数据（此处省略）进行验证： X1=0.9650， 得 X2=1.0250， 得 用书中的方法求得

讨论 法一在求解时，运用了多处近似，且近似条件并不能很好地满足，而新方法没有作近似，理论上来说，应该更精确。 此方法仍有改进的空间，设想如下： (1)利用更具体的分析，得到更好的 ，可望得到更精确的结果。 (2)借助matlab，利用所有的数据，拟合出曲线 从而定出参数 。

总结 本文从质疑，到猜想，到模仿，反思等等，经历了完整的探索过程，最后得到了较理想的结果。 从中，我们体会到，在新方法的探索过程中，不能机械的模仿既有的成果，而是要批判的继承与发展。

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