第26讲　解直角三角形的应用 考点知识精讲 中考典例精析 举一反三 考点训练

考点一 解直角三角形的应用中的相关概念 1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角． 3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角． 水平距离l

注意：东北方向指北偏东 方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东． 4．方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角． 45°

考点二 直角三角形的边角关系的应用 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案．

(1)(2011·贵阳)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( ) A．3 (1)(2011·贵阳)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( ) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 【点拨】本组题重点考查解直角三角形的应用及有关概念.准确掌握直角三角形的两锐角间的关系,三边之间的关系和边角关系是解题的关键.

(2011·芜湖)如图所示，某校数学兴趣小组的 同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先 在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方 向后退20 m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°，求该古塔BD的高度.( ≈1.732，结果保留一位小数)

答案：C 2．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m．如果在坡度为0 答案：C 2．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为( ) A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m 答案：A

答案：A 4．如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5° 答案：A 4．如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°. (1)求坡高CD； (2)求斜坡新起点A与原起点B的距离(精确到0.1米)． 答案：(1)2.1米 (2)13.5米

5．如图所示，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？(参考数据： ≈1.732) 答案：AC≈27.32＞25，所以轮船不会触礁

解直角三角形的应用 训练时间：60分钟 分值：100分 解直角三角形的应用 训练时间：60分钟 分值：100分

一、选择题(每小题4分，共40分)

A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 【答案】D

2．(2010中考变式题)如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长为(　　)

【答案】B

3．(2010中考变式题)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50 m，则小岛B到公路l的距离为______m．(　　)

【答案】B　

4．(2011·潍坊)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( ) A.甲 B．乙 C．丙 D．丁 放出风筝线长 140 m 100 m 95 m 90 m 线与地面夹角 30° 45° 60°

【答案】D　

5．(2010中考变式题)某人沿着坡度i＝1∶1的山坡走了500米，这时他的垂直高度上升了( ) 【答案】D

6．(2012中考预测题)如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3米，路基高为4米，则路基的下底宽是( ) A．15米 B．12米 C．9米 D．7米

【答案】A

7．(2011·莆田)如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处．若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为(　　)

8．(2010中考变式题)如图，在高为h的建筑物顶部看一个旗杆顶(旗杆高出建筑物顶)，仰角为30°，看旗杆与地面的接触点，俯角为60°，则旗杆的高为(　　)

【答案】A

9．(2012中考预测题)如图，在高为2 m，倾斜角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要(　　)

【答案】C

10．(2010中考变式题)如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( ) A．9米 B．28米

【答案】D　

二、填空题(每小题4分，共20分) 11．(2010中考变式题)如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是________米．(精确到0.1米) 【答案】11.2

【答案】75°

【答案】13.9 14．(2011·荆州)如图所示，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.

【答案】13

15．(2012中考预测题)如图是一台起重机的示意图，它的机身AM高为20. 5米，吊杠AB的长是36 15．(2012中考预测题)如图是一台起重机的示意图，它的机身AM高为20.5米，吊杠AB的长是36.7米，吊杠与水平方向的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作的最大高度为________米，最远水平距离是________米．(精确到0.1米) 【解析】最大高度为：20.5＋36.7×sin80°≈56.6(米)，最远水平距离为36.7×cos30°≈31.8(米)． 【答案】56.6 31.8

三、解答题(共40分) 16．(12分)(2011·成都)如图所示，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶到C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程BC.(计算过程和结果均不取近似值)

17．(14分)(2011·贵阳)某过街天桥的设计图是梯形ABCD(如图所示)，桥面DC与地面AB平行，DC＝62米，AB＝88米．左斜面AD与地面AB的夹角为23°，右斜面BC与地面AB的夹角为30°，立柱DE⊥AB于E，立柱CF⊥AB于F，求桥面DC与地面AB之间的距离(精确到0.1米)．

18．(14分) (2011·潍坊)今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示，斜坡AB的长为1 040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°.已知A点海拔121米，C点海拔721米． (1)求B点的海拔； (2)求斜坡AB的坡度．

【答案】解：(1)如图所示，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足． ∵在C点测得B点的俯角为30°， ∴∠CBD＝30°.