Ch1空間向量 1-1空間概念

甲、直線與直線的關係 空間中兩直線L1與L2的相交情形﹐可分兩類﹐ 共有4種可能﹒ (一)當L1與L2 在同一平面時： 課本頁次：2

甲、直線與直線的關係 空間中兩直線L1與L2的相交情形﹐可分兩類﹐ 共有4種可能﹒ (一)當L1與L2 在同一平面時： (2) L1與L2 恰交於一點P L1 L2 P L1與L2 恰交於一點P 課本頁次：2

甲、直線與直線的關係 空間中兩直線L1與L2的相交情形﹐可分兩類﹐ 共有4種可能﹒ (一)當L1與L2 在同一平面時： 課本頁次：2

甲、直線與直線的關係 空間中兩直線L1與L2的相交情形﹐可分兩類﹐ 共有4種可能﹒ (二)當L1與L2 不在同一平面時： 課本頁次：3

甲、直線與直線的關係 歪斜線 當空間中兩相異直線L1與L2既不相交也不平行時﹐ 稱此二直線L1 ﹐L2 為歪斜線﹒ 課本頁次：3

例1 ∴選(3)(4) 右圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線AE 歪斜？ (1)直線AB (2)直線DH (3)直線FG (4)直線FH C B A E D F (1)直線AB (2)直線DH (3)直線FG (4)直線FH 解： (1) ×： 直線AB與直線AE相交於A點 (2) ×： 直線DH與直線AE平行 (3) ○： 直線FG和直線AE歪斜 (4) ○：直線FH和直線AE歪斜 ∴選(3)(4) 課本頁次：3

練1 右圖是一個八面體﹐ABCD為一正方形 問：下列哪些直線與直線AD歪斜？ (1)直線 CD (2)直線 BC (3)直線 CF (4)直線 FB 解： (1) × ：直線CD與直線AD交於D點 (2) × ：直線 BC與直線AD平行 (3) ○：直線 CF與直線AD歪斜 (4) ○：直線 FB與直線AD歪斜 ∴選(3)(4) 課本頁次：3

乙、直線與平面的關係 決定一平面的條件： (1) 不共線三點 A C B 不共線三點 A, B, C 課本頁次：4

乙、直線與平面的關係 決定一平面的條件： (2)一直線與線外一點 E P L 一直線L與線外一點P 課本頁次：4

乙、直線與平面的關係 決定一平面的條件： (3)兩相交直線 E L2 L1 兩相交直線L1與L2 課本頁次：4

乙、直線與平面的關係 決定一平面的條件： (4)兩平行直線 E L1 L2 兩平行直線L1與L2 課本頁次：4

乙、直線與平面的關係 空間中一直線L與一平面E的相交情形： (1)L與E不相交,我們稱L與E平行 L E L與E平行 課本頁次：4

乙、直線與平面的關係 空間中一直線L與一平面E的相交情形： (2)L與E恰交於一點P L E P L與E恰交於一點P 課本頁次：4

乙、直線與平面的關係 空間中一直線L與一平面E的相交情形： (3)L落在E上 E L L落在E上 課本頁次：4

直線與平面垂直的定義 當直線L與平面E相交於P點﹐而且E上通過P點 的每一條直線均與L垂直時﹐稱L與E垂直﹐ 並以L  E表示﹒ L E 課本頁次：5

直線與平面垂直 若平面E 上兩相異直線L1, L2均與L垂直﹐則平面E上 其他通過P點的直線就會與L垂直﹐即L與E垂直﹒ L L1 E L2 課本頁次：5

例2 右圖是一個長立方體, , , 求 的長﹒ 解： 課本頁次：5

練2 ∵ 右圖是一個邊長為 2 的正立方體﹐ 的長﹒ O 是底面的中心﹐A 為頂點﹐求 解： 且 是直角三角形  2 又 得 是直角三角形 ∴ 課本頁次：6

丙、平面與平面的關係 空間中兩個平面E1與E2有以下3種相交的情形： (1)E1與E2不相交﹐我們稱平面E1與E2平行 E2 E1 課本頁次：6

丙、平面與平面的關係 空間中兩個平面E1與E2有以下3種相交的情形： (2)E1與E2交於一直線L ﹐我們稱L為E1與E2的交線 L 課本頁次：6

丙、平面與平面的關係 空間中兩個平面E1與E2有以下3種相交的情形： (3)E1與E2重合 E1 E2 E1與E2重合 課本頁次：6

丙、平面與平面的關係 二面角： 在空間中兩個相異平面E1與E2交於一直線L時 E1 E2 L 課本頁次：7

丙、平面與平面的關係 二面角： 在空間中兩個相異平面E1與E2交於一直線L時 以L為分界截取圖形 E1 E2 L 課本頁次：7

丙、平面與平面的關係 二面角： 在L上任取一點P ﹐並由P點分別在E1與E2上作兩條 和L垂直的射線PQ,PR ﹐QPR的大小為 （0o<  < 180o）為此二面角的大小﹒ 註： QPR的大小不因為P點的選取位置而有所不同 E1 Q L E2 R P 課本頁次：7

丙、平面與平面的關係 二面角： 交於一直線之兩平面有兩個不同大小的二面角﹐ 這兩個夾角互為補角 當兩平面E1與E2的夾角為直角時﹐稱E1與E2互相垂直﹐ 以E1⊥E2表示 課本頁次：7

丙、平面與平面的關係 四面體 當一個立體圖形有四個面﹐且每一個面都是 三角形時﹐我們稱此立體圖形為四面體﹒ 課本頁次：7

丙、平面與平面的關係 正四面體 若四面體的每一個面都是正三角形時﹐則 稱此四面體為正四面體﹒ 課本頁次：7

丙、平面與平面的關係 正四面體 沿著虛線折起 課本頁次：7

丙、平面與平面的關係 正四面體 ABCD為一個正四面體﹐當從頂點A對底面BCD作 垂線 交底面於H點時﹐稱 為正四面體的高 沿著虛線折起 課本頁次：7

例3 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： 課本頁次：8

例3 ∵△BCD是正三角形H亦為△BCD的重心 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： H為△BCD的外心 ∵△BCD是正三角形H亦為△BCD的重心 課本頁次：8

例3 ∵△BCD是正三角形H亦為△BCD的重心 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： H為△BCD的外心 ∵△BCD是正三角形H亦為△BCD的重心 設M為 中點 課本頁次：8

例3 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： (1) 正四面體的高 課本頁次：8

例3 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： (2) 的值 ∴ 課本頁次：8

練3 右圖是一個各邊長皆為2的四角錐﹐ ABCD是一個正方形 (1)求高 的長 解： H為正方形的中心 ∴高 課本頁次：9

練3 ∴ 右圖是一個各邊長皆為2的四角錐﹐ ABCD是一個正方形 (2)二側面ABE與ADE所夾的 兩面角為 ﹐求cos 的值 解： 取 M (2)二側面ABE與ADE所夾的  兩面角為 ﹐求cos 的值 解： 的中點M  取 △BMD中 且 ∵∠BMD = ∴ 課本頁次：9

丁、三垂線定理 設直線AB垂直平面E於B點﹐且L是平面E上一條直線 課本頁次：9

丁、三垂線定理 設直線AB垂直平面E於B點﹐且L是平面E上一條直線 若直線BC垂直L於C點﹐則直線AC也垂直L於C點 課本頁次：9

丁、三垂線定理 ∴△ACP是一個直角三角形﹐即直線AC垂直L於C點 證： 在L上取異於C的一點P ∠ABC =∠ABP =∠BCP = 90o ∴△ACP是一個直角三角形﹐即直線AC垂直L於C點 課本頁次：9

D是L上一點﹐如圖所示﹒ 若直線 BC垂直 L於 C點﹐ 且 ﹐ 則 的長度為何？ 例4 設直線AB 垂直平面E 於點B﹐ 且 L是平面 E上一條直線﹐ D是L上一點﹐如圖所示﹒ 若直線 BC垂直 L於 C點﹐ 且 ﹐ 則 的長度為何？ 解： 由三垂線定理﹐得直線 AC垂直 L於 C點﹐ △ACD是一個直角三角形 ∴ 課本頁次：10

練4 ∴ 設直線AB垂直平面E於B點﹐ L是平面E 上一條直線﹐且D是L上一點﹐如圖所示﹒若直線BC垂直L於C點﹐且 ,則 的長度為何﹖ ,則 的長度為何﹖ 解： 由三垂線定理得直線AC垂直L於C點﹐ ∴ 課本頁次：10

長度分別為15與20公尺的兩面圍牆立於地面上﹐它們的高度都是5公尺﹐而且互相垂直﹐如下圖 所示： 例5 長度分別為15與20公尺的兩面圍牆立於地面上﹐它們的高度都是5公尺﹐而且互相垂直﹐如下圖 所示： C B A 有一隻貓咪趴在兩牆相交的頂點 C處﹐注視著 從一牆之牆角A沿著直線跑到另一牆之牆角B的 老鼠﹒問： (1)在整個注視的過程中﹐貓咪與老鼠的最近距離 是幾公尺？ (2)已知通過A,B,C三點的面與地面的夾角為 ﹐ 求sin的值﹒ 課本頁次：11

例5 C 解： D A H B 從兩牆相交的底點D作AB的垂線DH﹐ 連接CH 三垂線定理可知：直線CH垂直於直線AB 課本頁次：11

例5 解： 直角三角形ADB 面積 課本頁次：11

例5 解： 在直角三角形CHD中﹐ ∴(1) 貓咪與老鼠的最近距離為13(公尺) 課本頁次：11

例5 解：  (2) ∵ 及 通過A, B, C三 點的面與地面的夾角 =∠CHD ∴ 課本頁次：11

練5 ∴塔頂到河流的最短距離為17公尺 如圖﹐在8公尺高的塔頂上﹐俯望成直線狀 的河流﹒已知塔底中心到河流的最近點是15公尺﹐ 求塔頂到河流的最短距離﹒ 設河流所在的直線為L 解： P ⊥L ∵ 且  ⊥L ﹐ L Q ∴塔頂到河流的最短距離為17公尺 課本頁次：12

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