Chapter 2 聯立線性方程式與矩陣 授課教師：李金鳳(Amy Lee) Msn/Email：lcf@cyut.edu.tw 電話：04-23323000#4293 研究室：T2-1030
2.1 緒言 線性方程式組 (systems of linear equations) 出現在多數線性模式 (linear model) 中。根據以往解題的經驗，發現方程式的解僅與該方程式的係數有關，求解的過程也僅與係數的運算有關，只要係數間的相關位置不改變，未知數是否寫出並不影響求解過程，因此可以採用分離係數法，而且聯立線性方程式的係數可以依照其在方程式中出現的順序排成矩陣形式。以矩陣代表聯立線性方程式不但簡明並且方便，同時矩陣的性質可以幫助我們瞭解聯立方程式的解集合。
2.2 線性模式 線性模式是數學模式中最為常用的模式之一。所謂「線性模式」，例如線性方程式
2.3 線性方程式
線性方程式的變數 (1)不作變數相乘 (2)變數不作平方根，僅以一次方出現 (3)不涉及三角函數 (4)不涉及指數／對數函數
2.4 線性方程式的解 請先看下頁應用
x > y否則會失速！ y x 此為聯立方程式 此為化簡後的聯立方程式
此為聯立方程式的解
且k代入5k-4=1 <>3故k=1時，讓該方程組無解
2.5 高斯消去法
m n 階(order)實數矩陣(matrix) A 2.6 矩陣的定義 有n個行 有 個列 m m n 階(order)實數矩陣(matrix) A
m-1 為簡便計，m n 矩陣常以符號 A = [aij]mn， 或更簡單的[aij]來表示。在矩陣 A 中第 i 列、 第 j 行位置的 aij 稱為矩陣 A 的(i, j)元素 (element, or entry)。
下面我們介紹幾種具有特殊型態的矩陣。設A為 m n 矩陣： 若m = 1，矩陣 A 只有一列，稱為列矩陣(row matrix)或列向量(row vector)。如 A = [3, 2, 1]。若 n = 1 時，則稱 A 為行矩陣(column matrix)或行向量(column vector)。
當 m = n 時，矩陣 A 稱為 n 階方陣(square matrix of order n)。其中對角線元素a11, a22, ……, ann 構成主對角線(main diagonal)。 若 n 階方陣中，對角線之外的元素皆為0，即aij = 0，當 i j ，則稱此矩陣為對角矩陣(diagonal matrix)。
若對角矩陣 A 中對角線元素皆為1，則稱 A 為單位矩陣(identity matrix)。通常以符號 In 表之。 若對角矩陣 A 中，對角線元素皆相等，即 aii = c, i = 1,…, n，則稱矩陣 A 為純量矩陣 (scalar matrix)。
若 n 階方陣 A 中，aij = 0，當 i > j 時，則 A 稱為上三角矩陣(upper triangular matrix)。
若 aij = 0，當 i > j 時，則稱 A 為下三角矩陣(lower triangular matrix)，例如 元素皆為 0 的矩陣稱為零矩陣(zero matrix)，以符號 O 或 Om n 表之。
2.7 矩陣的運算 2.7.1 二矩陣的相等
2.7.2 二矩陣的相加
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2.7.3 矩陣的倍數-純量乘積 (scalar multiplication )，k 稱為純量
2.8 轉置矩陣 也就是將原矩陣行列互換，則得轉置矩陣
2.9 二矩陣的相乘
乘法運算(matrix multiplication) 若 A = [aij] 為 m n 矩陣，B = [bij] 為 n p 矩陣，則 A 和 B 的乘積(product) C = [bij] 為 m p 矩陣，其中
若以符號表示，可寫成 C = AB 第 j 行
矩陣的乘法非常重要，要練習純熟
矩陣乘法不具交換性 例子: A= B= 則AB 22 BA 33 1 2 0 -3 1 1 2 1 0 4 2 3
矩陣AB=0未必A=0或B=0
矩陣不滿足消去律
再談轉置矩陣的乘法
2.10 聯立線性方程式的矩陣表示
求得A=? b=?
2.11 再論高斯消去法
基本列運算 (elementary row operation)
2.12 逆矩陣
2.13 線性方程式的應用