第四章 直线与平面、两平面的相对位置 内 容 提 要 §4-1 直线与平面平行 • 两平面平行 §4-2 直线与平面的交点 • 两平面的交线 第四章 直线与平面、两平面的相对位置 内 容 提 要 §4-1 直线与平面平行 • 两平面平行 §4-2 直线与平面的交点 • 两平面的交线 §4-3 直线与平面垂直 • 两平面垂直 §4-4 点、线、面综合题举例

1、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的平行问题。 2、如果直线与平面及两平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线。 本章重点讨论的三个问题： 1、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的平行问题。 2、如果直线与平面及两平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线。 3、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的垂直问题。 返回

§4-1 直线与平面平行 • 两平 面平行 一、直线与平面平行 若一直线平行于某平面上的任一直线，则该直线与平面平行。 据此可以解决: §4-1 直线与平面平行 • 两平 面平行 一、直线与平面平行 若一直线平行于某平面上的任一直线，则该直线与平面平行。 据此可以解决: A B C E F a b c e f D d 1. 作直线平行于已知平面 2. 作平面平行于已知直线 3. 判断直线是否于平面平行

例题4.1 试过点N作水平线MN平行于ΔABC平面 X O 分析 作图 d’ m’ 1. 在ΔABC平面上任作一水平线BD 2. 过点N作直线MN平行与直线BD 直线 MN 即为所求 m d

例题4.2 试过点A作平面ΔABC平行于直线MN X O 分析 作图 1. 作直线AC∥MN c’ 2. 过点A任作直线AB b ΔABC 即为所求 c

例题4.3 试判断直线EF是否平行于平面ΔABC 分析 f’ 作图 b’ d ’ 在ΔABC平面上任作一辅助线CD,且使c’d’∥e’f’(或cd∥ef) X O a’ b 2. 求出ΔABC上的CD直线的另一投影cd(或c’d’) d c f 因ef不平行cd故EF不平行与 ΔABC e a

线面平行的特殊情况 当直线与投影面垂直面平行时,则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的那个投影平行,且在平面有积聚性的那个投影面上反映直线与平面间的真实距离。 N A E B M 当直线与平面同时垂直与同一投影面时,该直线必与该平面平行,且在它们垂直的那个投影面上反映它们之间的真实距离。 F b m a C e (f) c n

a’ e’ b’ n’ m’ f’ X O c’ b m a e (f) n c

§4-1 直线与平面平行 • 两平 面平行 一、直线与平面平行 二、平面与平面平行 §4-1 直线与平面平行 • 两平 面平行 一、直线与平面平行 二、平面与平面平行 若一平面内两相交直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则这两平面相互平行。 A B C A1 B1 C1 P Q 据此可以解决: 1. 作平面平行于已知平面 2. 判断两是否平面平行

例题4.4 试作ΔEFG∥ΔABC平面 b’ a b c e a’ c’ X O f f’ g m’ n’ 分析 作图 e’ g’ n m 在ΔABC内作直线AM∥EF,MN∥FG(am∥ef,mn∥fg) n 2. 求出AM ,MN的正面投影 3. 过f’作e’f’∥a’m’、f’g’∥m’n’,则ΔEFG即为所求 m

例题4.5 判断ΔEFG与ΔABC平面是否平行 b’c’平行g’f’ 但bc 不平行gf X O f’ c’ g’ b’ e’ a’ g b

例题4.5 判断ΔEFG与ΔABC平面是否平行 因此，ΔEFG与ΔABC平面不平行 b’c’平行g’f’ 但bc 不平行gf X O b’a’平行g’e’ 但ba 不平行ge g b a f 因此，ΔEFG与ΔABC平面不平行 c e

例题4.6 判断两平面是否平行 f’ b’ d’ g’ e’ a’ c’ h’ c e a h f d b g

例题4.7 判断两平面是否平行 c’ a’c’平行d’f’ 但ac 不平行df f ’ b’ e’ a’ d’ e a f d b c

例题4.7 判断两平面是否平行 因此两平面不平行 c’ f ’ b’ e’ a’ d’ e a f d b c a’c’平行d’f’ 例题4.7 判断两平面是否平行 c’ a’c’平行d’f’ 但ac 不平行df f ’ b’ e’ a’ d’ b’c’平行d’e’ 但bc 不平行de e a f d 因此两平面不平行 b c

面面平行的特殊情况 若两平行平面同时垂直于同一投影面,则它们在该平面上的积聚性投影必然相互平行,且反映两平行平面之间的真实距离。 G A F B E b C H a e c f h

g’ a’ f’ b’ e’ h’ c’ g e b a f h c

§4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 直线与平面相交,必有一个交点,它是直线与平面的共有点。 §4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 直线与平面相交,必有一个交点,它是直线与平面的共有点。 平面与平面相交,必有一个交线,它是两平面的共有线。 求解交线的方法: 1. 作出交线上的两个共有点 2. 作出交线上的一个共有点及交线的方向 求作交点或交线的过程: 1. 求出交点或交线的投影 2. 判别可见性

§4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 一、利用积聚性求交点和交线 1. 一般位置直线与特殊位置平面相交

b’ a’ c’ b a c e’ f’ e f F A K B E b C k f a e c

y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，EK正面投影可见 b’ a’ c’ b a c e’ f’ e f 作图步骤 1. 利用积聚性求出K点水平投影k 2. 利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k ’ k’ 1’(2’) 3. 判别可见性 y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，EK正面投影可见 2 1 k

y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，EK正面投影可见 a’ b’ c’ b a c e’ f’ e f k k’ 作图步骤 1. 利用积聚性求出K点水平投影k 2. 利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k ’ 3. 判别可见性 y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，EK正面投影可见 1’(2’) 2 1

§4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 一、利用积聚性求交点和交线 1. 一般位置直线与特殊位置平面相交 §4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 一、利用积聚性求交点和交线 1. 一般位置直线与特殊位置平面相交 2. 特殊位置直线与一般位置平面相交

b’ 分析 EF在正面的投影有积聚性，故交点K的正面投影必与EF的正面投影重合，利用面上取点的方法可求出交点K的水平投影 d’ e’(f’) k’ c’ a’ f 作图 c a k d e b

a’ b’ c’ a c e’(f’) e f k k’ d’ d

§4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 一、利用积聚性求交点和交线 1. 一般位置直线与特殊位置平面相交 §4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 一、利用积聚性求交点和交线 1. 一般位置直线与特殊位置平面相交 2. 特殊位置直线与一般位置平面相交 3. 特殊位置平面与一般位置平面相交

2. 利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k ’，l’ V X O A B C E D F c a b e f d a’ b’ c’ b a c e’ f’ e f d d’ k’ l’ K L 1’(2’) k l k l 1 2 作图步骤 1. 利用积聚性求出KL的水平投影kl 2. 利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k ’，l’ 3. 判别可见性

k l a’ b’ c’ b a c e’ f’ e f d d’ k’ l’

§4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 一、利用积聚性求交点和交线 二、利用辅助平面求交点和交线 1. 一般位置直线与特殊位置平面相交 §4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 一、利用积聚性求交点和交线 1. 一般位置直线与特殊位置平面相交 2. 特殊位置直线与一般位置平面相交 3. 特殊位置平面与一般位置平面相交 二、利用辅助平面求交点和交线 一般位置直线与一般位置平面相交

作图 判别可见性 Z1＞ZM, AK的水平投影ak可见 YⅡ＞YⅢ, AK的正面投影a’k’不可见 e’ F A a’ 2’(3’) n’ d d’ a b f e b’ a’ e’ f’ F E D B A 2’(3’) n’ m’ M N 1’ M k’ 作图 3 判别可见性 m 1 k Z1＞ZM, AK的水平投影ak可见 YⅡ＞YⅢ, AK的正面投影a’k’不可见 2 n

作图 判别可见性 Z1＞ZM, AK的水平投影ak可见 YⅡ＞YⅢ, AK的正面投影a’k’不可见 e’ F A a’ 2’(3’) n’ d d’ a b f e b’ a’ e’ f’ F E D M N B A m n n’ m’ k’ k 作图 判别可见性 1 1’ Z1＞ZM, AK的水平投影ak可见 2’(3’) 2 YⅡ＞YⅢ, AK的正面投影a’k’不可见 3

§4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 一、利用积聚性求交点和交线 二、利用辅助平面求交点和交线 三、利用辅助投影求交点和交线 §4-2 直线与平面相交 • 两平 面相交 一、利用积聚性求交点和交线 1. 一般位置直线与特殊位置平面相交 2. 特殊位置直线与一般位置平面相交 3. 特殊位置平面与一般位置平面相交 二、利用辅助平面求交点和交线 一般位置直线与一般位置平面相交 三、利用辅助投影求交点和交线 一般位置平面与一般位置平面相交

b’ f’ l’ d’ 作图步骤 c’ a’ n’ e’ c d f d1’ n a l a1’ n1’ b e c1’ e1’ f1’ 1. 将△ABC变换为铅垂面 n’ 2. 求出交线的辅助投影l1’ n1’ 3. 求出交线的正面投影和水平投影 4. 判别可见性 d1’ n l a1’ n1’ c1’ e1’ f1’ l1’ b1’

b’ f’ l’ d’ c’ a’ n’ e’ c d f d1’ n a l a1’ n1’ b e c1’ e1’ f1’ l1’ 3’ 1. YⅠ＞YⅡ, AB的正面投影可见 1’(2’) 2. ZⅢ＞ZⅣ, DF的水平投影可见 4’ 3 (4) 2 1

b’ f’ k’ n’ d’ c’ a’ n’ k’ e’ c d f d1’ n a k a1’ n1’ b e c1’ e1’ f1’ 3’ f’ n’ k’ d’ c’ 1’(2’) 4’ n’ a’ k’ e’ d c 3 (4) 2 f d1’ n a k a1’ 1 n1’ b e c1’ e1’ f1’ k1’ b1’

例一 求作两平面的交线并判断可见性 a’ e’ h’ f’ 1’ 3’ b’ c’ d’ g’ 2’ d g a 2 c 3 e f h b

n m c b a a’ b’ c’ m’ n’ 1’ 例二 求作两平面的交线并判断可见性 2’

§4-3 直线与平面垂直 • 两平 面垂直 一、直线与平面垂直 若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。 据此可以解决: §4-3 直线与平面垂直 • 两平 面垂直 一、直线与平面垂直 若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。 据此可以解决: 1. 作直线垂直平面或平面垂直直线 2. 判断线面是否垂直 作 图 举 例:

若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。 k’ l’ k l

若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。

例题1：平面由Δ BDF给定，试过定点K作平面的法线。 h’ 在△BDF上作正平线DC和水平线AB c’ 2. 作k’h’ ⊥d’c’; kh ⊥ab a’ a F C A H h B c K D 返回

例题2：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。 DC为正平线 , 判断m’n’是否垂直d’c’ e’ f’ e f 2. 在平面内作水平线EF , 判断mn是否垂直ef 直线MN不垂直给定平面

例题3：试过定点S作一平面垂直于已知直线EF。 n’ N F f’ M E m’ s’ S e’ X O n e s 过S点分别作正平线 SN 、 水平线SM, 使 水平SN⊥EF SM⊥EF m f

§4-3 直线与平面垂直 • 两平 面垂直 一、直线与平面垂直 二、平面与平面垂直 §4-3 直线与平面垂直 • 两平 面垂直 一、直线与平面垂直 二、平面与平面垂直 若一直线垂直于定平面则包含该直线的所有平面都垂直于该平面。 据此可以解决: 1. 作平面垂直平面 2. 判断面面是否垂直 实质问题是作面垂直

例题4：平面由Δ BDF给定，试过定点K作平面垂直Δ BDF 。 h’ m’ c’ a’ a h m c

例题5：判断 Δ DEF 、 Δ GHK是否与 Δ ABC垂直。 m’ b’ k’ h’ e’ c’ g b f m h a d h e Δ DEF ⊥Δ ABC Δ GHK⊥Δ ABC c

§4-4 点线面综合题举例 画法几何问题，归纳起来大体分为定位问题和度量问题两大类。 （1） 题意分析 §4-4 点线面综合题举例 画法几何问题，归纳起来大体分为定位问题和度量问题两大类。 （1） 题意分析 分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，明确求解的几何元素或几何量。 （2） 空间分析 轨迹分析法 逆推法 （3） 投影作图 （4） 解答分析

例题1 过点K作直线KS平行于三角形ABC并与直线EF相交。 (1) 过K作平面平行三角形ABC s (2) 求出EF与辅助平面的交点S (3) 连KS即为所求

例题1 过点K作直线KS平行于三角形ABC并与直线EF相交。 M N A C B E F K S

例题2：求交叉两直线AB和CD的公垂线MN。

d c b a a’ d’ b’ c’ 分 析 B A N K E D C M A B C D N M a b c( d ) n m

d c b a a’ d’ b’ c’ X n’ m’ X2 m2 n2 m n c2 a2 b2 X1 c1’ d1’ m1’ a1’

例题3：求三角形ABC及BCD两平面之间的夹角。 θ d’ a’ X a c d b

d b a d’ c’ b’ a’ c X X1 a1’ c1’( b1’) d1’ θ

a’ b c d’ c’ b’ d a X X2 c1’ (d1’) b1’(a1’) e1’ 例题4 以DC为直角边作等腰直角△CDE(∠CDE=90)且与ABCD平面垂直。 a’ b c d’ c’ b’ d a X X2 c1’ (d1’) b1’(a1’) e1’

例题5：已知等边三角形ABC , 点C在H面上 , 求此三角形的两面投影。 V b a b’ a’ X a’ b’ c’ A B C

b’ a’ X c’ b a b a c 1. 求边AB的实长 2. 求边AC的水平投影 3. 求边BC的水平投影 4. 求c , c’并连线 c’ b a a b c