第6章 空间力系和重心 ※ 空间任意力系的平衡方程 ※ 空间约束和约束反力 ※ 空间力系平衡问题举例 ※ 重心 ※ 结论与讨论

§6-1 空间汇交力系 1. 空间力的投影和分解    O x y F z 直接投影法 F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk

二次投影法 F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk y z O x F Fxy  

2. 空间汇交力系的合成与平衡条件(解析法) 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。 平衡条件 平衡方程

例 题 1 已知：图示起重三脚架，重物重量为20kN，三杆各长为2.5m，AO=BO=CO=1.5m。杆的重量不计。 求：各杆的所受的力。 120° 90° 150° A B C D O 已知：图示起重三脚架，重物重量为20kN，三杆各长为2.5m，AO=BO=CO=1.5m。杆的重量不计。 求：各杆的所受的力。 例 题 1 解：取销钉D为研究对象 60° A B C D P FAD FCD FBD O x y z θ 解出得 FAD=10.56 kN , FBD=5.28 kN ,FCD=9.14 kN

§6-2 力对点的矩和力对轴的矩 1. 力对点的矩 ★ 须用一矢量表征 MO(F) =Fh=2△OAB F MO(F) §6-2 力对点的矩和力对轴的矩 O A(x,y,z) B r F h y x z 1. 力对点的矩 MO(F) 空间的力对O点之矩取决于： （1）力矩的大小； （2）力矩的转向； （3）力矩作用面方位。 ★ 须用一矢量表征 MO(F) =Fh=2△OAB

O A(x,y,z) B r F h y x z MO(F) MO(F) 定位矢量

★ 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。 O x y z 2. 力对轴的矩 Mz(F) Mz(F) = MO(Fxy) =±Fxy h = ±2 △OAb B A F Fxy b Fz h ★ 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。 力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。 正负号的规定：从轴的正向往负向看，逆时针的矩为正。 或者：以右手大拇指为轴的正向，力矩转向与弯曲四指所指方向 一致者为正。 ☆ 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。

● 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。 3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系 Mz(F) (x,y,z)） Fxy Mz(F) = MO(Fxy) = ±2 △Oab ● 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。

求： MO(F) 例 题 2 已知：F、 a、b、、 解：(1) 直接计算

(2) 利用力矩关系

§6-3 空间力偶 空间力偶的定义 自由矢量 空间力偶的等效条件 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。 M (1) 力偶矩的大小； §6-3 空间力偶 空间力偶的定义 M (1) 力偶矩的大小； F A B (2) 力偶的转向； (3) 力偶作用面的方位。 M 自由矢量 空间力偶的等效条件 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。

空间力偶系的合成与平衡 合力偶矩矢： M=M1+M2+…+Mn=∑Mi 平衡条件 平衡方程

§6-4 空间任意力系的简化 主矢 主矩 FR ′ MO MO M3 F2 M1 F1 M2 F3 A C x z y O z B O x §6-4 空间任意力系的简化 x z y O z A B C F1 F2 F3 O x y O y x z 力线平移 M3 MO M1 M2 主矢 FR ′ MO 主矩

§6-5 空间任意力系的简化结果分析 ′ ′ ′ ′ 1. 空间任意力系简化为一合力偶的情形 ′ ● FR=0，MO≠0 §6-5 空间任意力系的简化结果分析 ● FR=0，MO≠0 ′ ● FR≠ 0，MO=0 ′ ● FR≠ 0，MO ≠0 ′ ● FR=0，MO=0 ′ 1. 空间任意力系简化为一合力偶的情形 ● FR=0，Mo≠0 ′ ★ 由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。

2. 空间任意力系简化为一合力的情形 · 合力矩定理 2. 空间任意力系简化为一合力的情形 · 合力矩定理 ● FR≠ 0，MO=0 ′ 合力的作用线通过简化中心 ● FR≠ 0，MO ≠0 且 FR ⊥ MO ′ o Mo o1 FR o1 FR ′ d o MO(FR)= FRd=MO=∑ MO(Fi) MO(FR)= ∑ MO(Fi) Mz(FR)= ∑ Mz(Fi)

3. 空间任意力系简化为力螺旋的情形 ● FR≠ 0，Mo ≠0 且 FR ∥ Mo ′ Mo O 力螺旋 O Mo O 右螺旋 左螺旋

′ 4. 空间任意力系简化为平衡的情形 ′ 原力系平衡 ● FR≠ 0，MO ≠0 ，且为一般状态 一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋 d O Mo  O Mo ′ 一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋 4. 空间任意力系简化为平衡的情形 ● FR=0，MO=0 ′ 原力系平衡

§6-6 空间任意力系的平衡方程 空间平行力系 平衡条件：FR = 0 Mo = 0 ′ 平衡方程: 平面任意力系

§6-7 空间约束类型 及其约束反力

（1）空间铰链： （2）径向轴承： （3）径向止推轴承： （4）空间固定端：

已知： Q=100kN，P=20kN，等边△ABC边长a=5m，HD＝l=3.5m， = 30° §6-8 空间力系平衡问题举例 已知： Q=100kN，P=20kN，等边△ABC边长a=5m，HD＝l=3.5m， = 30° 求：各轮的支持力。又当= 0°时， 最大载重Pmax是多少。 例 题 3 P A B,C D Q H z 30° FA FC FB 解: 取起重机为研究对象 C A B E H D y  x FA=19.3kN FB=53.9kN FC=46.8kN

当= 0°，由上式第一个方程得： 为确保安全，必须：FA≥0

MO.FR=(Mxi+Myj+Mzk) . (Xi+Yj+Zk) = MxX+MyY+MzZ 填空题：如图所示，沿长方体棱作用的三个相等的力。力系能简化一个力的条件为 ( )。 x y z F b a c O (A) a = b + c (B) a = b - c (C) a = c - b (D) a + b + c =0 分析：MO⊥FR时，可以简化为一个合力 力系能简化一个力的条件为： MO.FR=0 MO.FR=(Mxi+Myj+Mzk) . (Xi+Yj+Zk) = MxX+MyY+MzZ MO=F (b-c) i +F(-a) j MO.FR= F2 (b-c-a)=0 FR=F i+F j+F k

例 题 4 已知：a =300mm，b=400mm，c =600mm，R=250mm，r =100mm，P=10kN，F1= 2F2。 求：A、B处反力。 例 题 4 a b c A B P F1 F2 x z y R r FAx FAz FBx FBz 解：取系统为研究对象

§6-9 重心 1. 重心的概念及其坐标公式 PxC=P1x1+P2x2+…+Pnxn=∑Pixi 如果单位体积的重量为γ常量 Pi P §6-9 重心 1. 重心的概念及其坐标公式 z O x y P Pi C △Vi xC yC zC xi yi zi PxC=P1x1+P2x2+…+Pnxn=∑Pixi 如果单位体积的重量为γ常量 称这时的重心为体积重心

曲线：如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与长度l相比是很小的。 曲面：其厚度远远小于其表面积S，又称为薄壳结构 这种重心称为面积重心 曲线：如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与长度l相比是很小的。 这种重心称为线段重心 均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心

2. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心 例 题 5 求：半径为R，圆心角为2 的均质圆弧线的重心。 2. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心 y o  x A B dl  d 求：半径为R，圆心角为2 的均质圆弧线的重心。 例 题 5 解: 取圆心O为坐标原点

求：半径为R，圆心角为2 的均质扇形的重心。 例 题6  O A B x y  d 解: 取圆心O为坐标原点 半圆形的重心：

（2）用组合法求重心 例 题 7 (a) 分割法 求：Z形截面重心。 解: 建立图示坐标系 x1=-15, y1=45, s1=300 o x y C1 C2 C3 30mm 10mm （2）用组合法求重心 (a) 分割法 求：Z形截面重心。 例 题 7 解: 建立图示坐标系 x1=-15, y1=45, s1=300 x2=5, y2=30, s2=400 x3=15, y3=5, s3=300

例 题 8 (b)负面积法（负体积法） 求：图示截面重心。 解：建立图示坐标系，由对称性可知：yC=0 x y o ① ② ③ 20mm

例 题 9 求：若将图示均质梯形板在E点挂起，且使AD保持水平，BE等于多少。 解：建立如图的坐标系 x 求：若将图示均质梯形板在E点挂起，且使AD保持水平，BE等于多少。 例 题 9 x y A B E D a b 解：建立如图的坐标系 ① ② 要使AD保持水平，梯形板的重心应在y上，即xC＝0 把梯形分为三角形与矩形两部分 设 BE＝x 由 解出得

（3）用实验方法测定重心的位置 (a) 悬挂法 A FA FB E D A B C P P

(b) 称重法 第一步： F1 第二步： F2

思考题： 1. 空间平行力系简化的最终结果一定不可能为力螺旋。 1. 空间平行力系简化的最终结果一定不可能为力螺旋。 2. 根据力的平移定理，一个力平移后得到一个力和一个力偶，反之一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。 3. 作用于刚体上的任何三个相互平衡的力，必定共面。 4. 空间任意力系总可以用两个力来平衡。 5. 若空间力系各力作用线都平行于某一平面，则其最多的独立平衡方程有 个； 若各力的作用线都垂直于某平面，则其最多的独立平衡方程有 个； 若各力的作用线都与某一直线相交，则其最多的独立平衡方程有 个。

6. 沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等的力P，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则a、b、c应满足关系： 。 o x y z F1 F2 F3 o x y z F1 F2 F3 F4

结论与讨论 1. 力在空间直角坐标轴上的投影    O x y F z 间接投影法 y z O x F Fxy   直接投影法

2. 力矩的计算 O A(x,y,z) B r F h y x z （1）力对点的矩 MO(F) MO(F) =Fh=2△OAB

● 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。 （2）力对轴的矩 y z O x F Fxy A(x,y,z) Fz Fx Fy B a b O A B a b F Fxy h z Mz(F) = Mo(Fxy) = ± Fxyh = ±2△oab ● 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。

（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系 3. 合力矩定理 ● 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。 ● 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。 3. 合力矩定理 ● 力系的合力对任一点（或任一轴）之矩等于力系中各力对同一点（或同一轴）之矩的矢量和（代数和）。

4. 空间力偶及其等效条件 空间力偶的定义 自由矢量 空间力偶的等效条件 M (1) 力偶矩的大小； (2) 力偶的转向； 4. 空间力偶及其等效条件 空间力偶的定义 M (1) 力偶矩的大小； F A B (2) 力偶的转向； (3) 力偶作用面的方位。 M 自由矢量 空间力偶的等效条件 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。

5. 空间力系的简化与合成 主 矢 主 矩 最后结果 说 明 FR≠ 0 ′ FR= 0 平衡 合力偶 FR ⊥ MO 合力 FR ∥MO 5. 空间力系的简化与合成 主 矢 主 矩 最后结果 说 明 FR≠ 0 ′ FR= 0 MO = 0 MO≠0 平衡 合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关 FR ⊥ MO 合力 FR ∥MO 力螺旋 合力作用线离简化中心O的距离 力螺旋的中心轴通过简化中心 力螺旋的中心轴离简化中心O 的距离为 FR 与 MO 成  角

6. 空间任意力系的平衡方程 基本形式 空间汇交力系 空间平行力系 空间力偶系 平面任意力系

7. 重 心 重心的坐标公式