圆心角、圆周角 本课内容 本节内容 2.2 ——2.2.2 圆周角

观察下图中的∠BAC，可以发现它的顶点A在圆上， 它的两边都与圆相交，像这样的角叫作圆周角. 我们把∠BAC 叫作 所对的圆周角， 叫作圆 周角∠BAC所对的弧.

圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们 从共青团团旗上的图案抽象出如下图所示的图形， 该图形中就有许多圆周角.

探究 分别测量下图中 所对的圆周角∠BAC和 圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？ 每位同学任画一个圆，并在圆上任取一条弧， 作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量出它们 的度数.你能得出同样的结论吗？由此你能发现 什么规律？

与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系.你能证明这个猜测吗？ 通过度量，我发现圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

下面我们来证明这个猜测是真的. 已知： 在⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC， 圆心角是∠BOC. 求证： ∠BAC = ∠BOC.

在画图时，可以发现圆心O与圆周角的位置关系有 以下三种情形： 情形一 圆周角的一边通过圆心. 如右图所示，圆O中， 圆心O在∠BAC的一边AB上. 由于OA=OC， 因此∠C=∠BAC， 从而∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC， 即 ∠BAC= ∠BOC.

情形二 圆心在圆周角的内部. 如右图，圆心O在∠BAC的内部. 作直径AD， 根据情形一的结果得 ∠BAD = ， ∠DAC = . 情形二 圆心在圆周角的内部. 如右图，圆心O在∠BAC的内部. A 作直径AD， 根据情形一的结果得 ∠BAD = ， ∠DAC = . 从而∠BAC =∠BAD+∠DAC D = ， = .

情形三 圆心在圆周角的外部. 如图，圆心O在∠BAC的外部. 你能证明∠BAC= ∠BOC吗？

结论 由此得到圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

动脑筋 如图，∠C1，∠C2，∠C3都是 所对 的圆周角，那么∠C1 = ∠C2 =∠C3吗？

在下图中，连接AO，BO，则∠C1， ∠C2，∠C3所对弧上的圆心角均为∠AOB. 由圆周角定理，可知∠C1 = ∠C2 =∠C3.

结论 由此得到以下结论： 在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等.

举 例 例2 如图所示，OA，OB，OC都是⊙O的半径， ∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和 ∠BAC的度数.

圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的 弧为 ， ∵ 解 ∠ACB= ∠AOB= 25°. ∴ 同理 ∠BAC = ∠BOC= 35°.

答：（1）、（2）是圆周角，（3）、（4）不是圆周角， 因（3）、（4）不满足圆周角定义，角顶点没在圆上. 练习 1.下图中各角是不是圆周角？请说明理由. （1） （2） （3） （4） 答：（1）、（2）是圆周角，（3）、（4）不是圆周角， 因（3）、（4）不满足圆周角定义，角顶点没在圆上.

解： ∵ 圆周角∠ACD与圆周角∠ABD所对的 弧均为 ， ∴ ∠ACD= ∠ABD= 95°. 2. 如图，在圆O中，弦AB与CD相交于点M. 若∠CAB = 25°， ∠ABD=95°， 试求∠CDB 和∠ACD 的度数. 圆周角∠ACD与圆周角∠ABD所对的 弧均为 ， ∵ 解： ∠ACD= ∠ABD= 95°. ∴ 同理 ∠CDB = ∠CAB= 25°.

解 ∵ AC∥OB，∠OBA=25°， ∴ ∠BAC= ∠OBA=25°. ∵ 圆周角∠BAC与圆心角∠BOC所对的 弧均为 ， ∴ 3. 如图， 点A，B，C 在⊙O 上， AC∥OB. 若∠OBA=25°， 求∠BOC的度数. 解 ∵ AC∥OB，∠OBA=25°， ∠BAC= ∠OBA=25°. ∴ 圆周角∠BAC与圆心角∠BOC所对的 弧均为 ， ∵ ∠BOC = 2∠BAC = 50°. ∴

动脑筋 在下图中，AB 是⊙O的直径，那么∠C1， ∠C2，∠C3的度数分别是多少呢？

因为圆周角∠C1，∠C2 ，∠C3所对弧上的圆心角是 ∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就 可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数. 因为A，O，B 在一条直线上，所以圆 心角∠AOB是一个平角，即∠AOB=180°. 故∠C1=∠C2=∠C3= ×180°= 90°.

在下图中， 若已知∠C1 = 90°， 它所对的弦AB 是直径吗？

结论 由此得到以下结论： 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.

举 例 例3 如图所示，BC是⊙O的直径，∠ABC=60°， 点D在⊙O上 .求∠ADB的度数.

BC为直径， ∵ 解 ∴ ∠BAC =90°. 又 ∠ABC= 60°， ∠C= 30°. ∴ ∠ADB与∠C都是 所对的圆周角， 又∵ ∴ ∠ADB = ∠C= 30°.

如图， A，B，C，D是⊙O上的四点， 顺次连接 A，B，C，D四点， 得到四边形ABCD， 我们把四边形 ABCD称为圆内接四边形. 这个圆叫作这个四边形的外接圆.

动脑筋 在下图的四边形ABCD 中， 两组对角∠A与∠C， ∠B与∠D有什么关系？

如下图所示， 连接OB，OD. ∵ ∠A所对的弧为 ， ∠C所对的弧为 ， 又 与 所对的圆心角之和是周角， ∴ ∠A+∠C= =180°. 由四边形内角和定理可知， ∠ABC +∠ADC = 180°.

结论 由此得到以下结论： 圆内接四边形的对角互补.

举 例 例4 如图， 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 已知∠BOD 为100°， 求∠BAD 及∠BCD 的度数.

圆心角∠BOD 与圆周角∠BAD 所对的弧 为 ， ∠BOD = 100°， ∵ 解 ∴ ∠BAD = ∠BOD = ×100 = 50°. ∵ ∠BCD +∠BAD = 180°. ∴ ∠BCD = 180°-∠BAD= 180°-50° = 130°.

练习 1. 如图， 在⊙O 中，AB是直径， C，D是圆上两点， 且AC =AD． 求证：BC=BD. 证明 连接CO、DO. ∴ ∠AOC=∠AOD. ∴ ∠COB=∠DOB. ∴ BC=BD.

2. 怎样运用三角板， 画出如图所示的圆形件表面上的直径， 并标出圆心， 试说明理由. 答：将直角三角板的直角顶点放在圆上，则三角板的 两边与圆的交点的连线是圆的直径，直径的中点 即为圆心.理由是“90°的圆周角所对的弦是直径” .

3. 如图，圆内接四边形ABCD 的外角∠DCE = 85°， 求∠A 的度数. ∵ ∠DCB+∠DCE=180°， ∴ ∠DCB=180°- ∠DCE=180°-85°=95°. 又∵ ∠A+∠DCB=180°， ∴ ∠A=85°. 解 这道题的结论是：圆内接四边形的外角等于它的内对角.

中考 试题 例 如图，在⊙O中，∠BOC=50°，OC∥AB，则∠BDC的度数为 . 75° ∵OC∥AB，∠BOC=50°， 解析 ∵OC∥AB，∠BOC=50°， ∴∠B=∠BOC=50°. 又∵圆周角A与圆心角BOC所对的弧同为弧BC， ∴∠A= ∠BOC=25°. ∵∠BDC是△ABD的一个外角. ∴∠BDC=∠A+∠B=25°+50°=75°. 故应填写75°.

结 束