24.3 正多边形和圆 A B C D E

观察下列图形他们有什么特点？

思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢? 一 .正多边形定义 四条边相等，四个角相等（900）。 三条边相等，三个角相等（60度）。 正三角形 正方形 一 .正多边形定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形 叫做正n边形。 思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢? 菱形, 矩形都不是正多边形

正n边形与圆的关系 弧相等 —多边形是正多边形 1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆. 2.怎样由圆得到多边形呢？ D A 思考1: 把一个圆4等分, 并依次连 接这些点,得到正多边形吗?? B C 弦相等（多边形的边相等） 弧相等 圆周角相等（多边形的角相等） —多边形是正多边形

定理1：把圆分成n（n≥3）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的内接正多边形. 思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点, 得到正多边形吗?? A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA B E ∴AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ∵BCE=CDA=3AB C D ∴∠A=∠B 同理∠B=∠C=∠D=∠E 定理1：把圆分成n（n≥3）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的内接正多边形. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上 ∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.

定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切 思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切 线的交点为顶点的多边形是正多边形吗?? 证明：连结OA、OB、OC，则： ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等 的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA ⌒ A T P E B O Q S C D R 定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形. 又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。

. 二. 正多边形有关的概念 E D F O C 正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心. 半径R 中心角 正多边形的半径: 二. 正多边形有关的概念 E F C D 正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心. 半径R . O 中心角 正多边形的半径: 外接圆的半径 边心距r 正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角. 正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.

1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_____ 圆与________圆的圆心。 外接 内切 2. OB叫正△ABC的_____, 它是正△ABC的______圆 的半径。 　　　　　 半径 外接 　.O 边心距 3. OD叫作正△ABC______, 它是正△ABC的______ 圆的半径。 内切 B D C 4. ∠BOC是正△ABC的________角; 中心 60 ∠BOC=_____度; ∠BOD=_____度. 120

中心 边心距 .O E 5、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的____________ 6、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的___________ 边心距 A D .O B E C

边心距 内切 中心 72度 .O 7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的________， 8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的_______角， 它的度数是________ 72度 D C E .O A B F

∠AOB 60度 .O 9、图中正六边形ABCDEF的中心角是_______; 它的度数是_________; 什么数量关系？为什么？　 E D F .O C A B

× × 1、判断题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ） 2、证明题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。 × × A F B E C D

3.求证：正五边形的对角线相等。 证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE A 已知：ABCDE是正五边形，求证：DB=CE B E 证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。 D C

2个全等的直角三角形 E F C D . 中心角 边心距把△AOB分成 . O R a A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.

相等 正n边形的一个内角的度数是____________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的大小关系是________. 相等

三、正多边形的有关计算 完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：

例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1平方米). F A D E . . O R r B C P

F A D E . . O R=4 r B C P ∴亭子的周长 L=6×4=24(m)

四、正多边形的性质及对称性 3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。 1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等 4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。

小结： 1、怎样的多边形是正多边形？ 2、怎样判定一个多边形是正多边形？ ①各边相等 ②各角相等 的多边形叫做正多边形。

五.拓展练习 1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________ 2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________ 3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心距是________ 4．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的内接正六边形边长为__________． 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；边心距为________．

6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此正多边形是( ) A．正三角形 B、正方形 C．正六边形 D正十二边形 7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D 4个 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定

9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（ ） A．36° B、 18° C．72° D．54° 10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ） A、 11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是( )

停 六.画正多边形的方法 (4)用量角器作五角星； 1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆 (1) 正四、正八边形的尺规作图 (2) 正六、正三 、正十二边形的尺规作图 (3)按照一定比例,画一个停车让行的交通标 志的外缘 (4)用量角器作五角星；