平行線的意義 截線與截角 平行的判別 平行的應用 自我評量

在國小時，我們已知道平行線有下列特性： (1) 兩平行線永不相交。

(2) 在紙片上有兩條平行線，旋轉這張紙片，當 其中一條直線成鉛直時，另一條直線也會鉛 直。

(3) 兩平行線之間每條垂直線段的長度都相等。

(4) 一直線如果垂直於平行線中的一條直線，必 定垂直於平行線中的另一條直線。

一般而言： 若平面上的兩條直線同時與另一條直線垂直，則這兩條直線是平行線，我們稱這兩直線互相平行。 為了方便，可用符號「//」表示「平行」。例如，兩直線 L1、L2 平行時，記作「L1 // L2」，讀作「L1 平行於 L2 」，也可記作「 L2 // L1 」，讀作「L2 平行於 L1 」。

1.如右圖，直線 L 為線對稱圖形 的對稱軸， B、D分別為 A、C 的對稱點。檢查對稱點的連 線 、 是否為平行線？並說明理由。

因為對稱點的連線與對稱軸垂直， 所以 L ⊥ 且 L ⊥ 。 由平行線的定義可知 // 。

2.準備一張紙，先在紙張上摺出一條直線， 接著利用平行線的定義，在紙張上摺出另一 條與原摺線平行的摺線。 設先摺出的直線為L1，再依序摺出L⊥L1 及 L2⊥ L（ L1 與 L2 不重合）， 則可得 L2 // L1。

如圖4-1，L1、L2為同時與L垂直的平行線，A、B 為垂足，則稱 為 L1、L2 兩平行線的距離。L3、L4、L5 為與L1垂直的任意直線（D、F、H 為垂足），且分別交L2 於C、E、G 三點。

在圖4-1 中，因為四邊形ABCD有三個內角為直角，且四邊形的內角和為360°，所以∠1＝360°－90°× 3＝90°，因此L3⊥L2且四邊形ABCD 為長方形。同理可推得∠2＝∠3＝90°，故四邊形ABEF 及 ABGH均為長方形。 因為長方形的對邊等長，所以 、 、 的長度均與 相等，即 ＝ ＝ ＝ 。

透過上面的說明，我們可以再次確認「若一直線垂直於兩平行線中的一條直線，必定也垂直於平行線中的另一條直線」且「兩平行線間的距離處處相等」的特性。

在圖4-2中，我們知道當L1//L2，且L⊥L1時，L與L2亦垂直，也就是∠1＝∠2（＝90°）。但如果L與L1不垂直，如圖4-3，此時∠1 與∠2 是否仍然相等呢？

為了方便研究這個問題，當直線L與直線L1、L2相交於不同的兩點時 ( 如圖4-4與圖4-5)，我們稱直線L為直線L1、L2的截線，而所形成的八個角（∠1、∠2、∠3、⋯⋯、∠7、∠8）都稱為截角。

這些截角以共同的頂點來看，可分為∠1、∠2、∠3、∠4及∠5、∠6、∠7、∠8兩組，依相關位置可區分為三類： (1) 同位角：在這兩組截角中，∠1 和∠5的開口都 在右上方，我們稱∠1和∠5是同位角 ；同樣地，∠2和∠6、∠3 和∠7、 ∠4 和∠8都是同位角。 (2) 同側內角：∠2 和∠5 在L 的同一邊，且在L1 、L2 兩直線的內側，我們稱∠2 和 ∠5是同側內角；同樣地，∠3 和 ∠8 也是同側內角。

(3) 內錯角：∠2 和∠8 在L1、L2兩直線的內側，且 內錯角；同樣地，∠3和∠5也是內錯 角。

如右圖，直線L 為L1、L2 的截線，請問︰ (1)∠3 的同位角為哪一個角？ (2)∠3 的內錯角為哪一個角？ (3)∠3 的同側內角為哪一個角？ ∠7 ∠5 ∠6

接著我們繼續探討圖4-3中，∠1、∠2 兩個同位角是否相等的問題，及其他截角的關係。

1 截角的關係 如右圖，直線 L1、L2 為同時與直線M 垂直的平 行線，且交 M 於D、E 兩點，截線L 分別交 M、 L1、L2 於 A、B、C 三點，已知 ∠1＝50°，請 問： ∠2 、∠3、⋯⋯、∠7、∠8 各截角的度數分別是多少？ (2) 同側內角∠2、∠7與∠4 、∠5 的和分別是多少？

(1) ∠BAD＝180°－（∠1＋∠ADB） ＝180°－（50°＋90°）＝40° ∠2＝180°－（∠CAE＋∠AEC） ＝180°－（40°＋90°）＝50° ∠3＝180°－∠1＝180°－50°＝130° ∠4＝180°－∠2＝180°－50°＝130° 解 三角形的內角和＝180°

∠5＝∠1＝50° ∠6＝∠2＝50° ∠7＝∠3＝130° ∠8＝∠4＝130° (2) ∠2＋∠7＝50°＋130°＝180° 　 ∠6＝∠2＝50° 　 ∠7＝∠3＝130° ∠8＝∠4＝130° 對頂角相等 (2) ∠2＋∠7＝50°＋130°＝180° ∠4＋∠5＝130°＋50°＝180°

如右圖，直線L1 、L2為同時與直線 M 垂直的平行線，且交 M於D、E兩點，截線L分別交M、L1、L2 於A、B、C三點，已知∠1＝x°，請仿照例題 1 的計算方式，回答下列問題：. (1) ∠2＝ 度，∠3＝ 度， ∠4＝ 度，∠5＝ 度， ∠6＝ 度，∠7＝ 度， ∠8＝ 度。 (用含 x 的式子表示) x 180-x 180-x x x 180-x 180-x

(2) ∠2＋∠7＝ 度， ∠4＋∠5＝ 度。 180 180

根據例題1及隨堂練習的結果，請問： (1) 「∠1 與∠2」、「∠3 與∠4」、「∠5 與∠6」、「∠7 與∠8」 這四組同位角有 什麼關係？ (2)「∠2 與∠5」、「∠4 與∠7」這兩組內錯 角有什麼關係？ 這四組同位角都分別相等。 這兩組內錯角都分別相等。

(3)「∠2 與∠7」、「∠4 與∠5」這兩組同側內角有什麼關係？ 這兩組同側內角的和都是180°。

由動動腦我們可以發現： 兩平行線被一直線所截時，它們的同位角會相等，內錯角也會相等，而同側內角會互補。

如右圖，L1//L2，M 是L1、L2 的一條截線，∠1＝115°，求∠2。 2 同位角 如右圖，L1//L2，M 是L1、L2 的一條截線，∠1＝115°，求∠2。 解 因為L1// L2，且∠1、∠2 是同位角， 所以 ∠2＝∠1＝115°。 兩平行線被一直線所截的同位角相等

1.如右圖，L1// L2，M 是 L1、L2 的一條截線， ∠1＝60°，求∠2。 因為L1//L2，且∠1、∠2 是同位角， 所以∠2＝∠1＝60°。(平行線的同位角相等)

2.柯西在公園的小路玩滑板，滑行路線如下圖所示，其中甲、乙、丙是三條筆直的道路，且甲、乙兩道路平行。已知∠1＝80°，求∠2。 因為甲//乙， 且∠1、∠2 是同位角， 所以∠2＝∠1＝80°。 (平行線的同位角相等)

3 內錯角與同側內角 如右圖，L1//L2，M 是 L1、L2 的一條截線，∠1＝98°，求∠2、∠3。

因為 L1 // L2 且 ∠1、∠2 是內錯角， 所以 ∠2＝∠1＝98°。 平行線的內錯角相等 解 因為 L1 // L2 且 ∠1、∠2 是內錯角， 所以 ∠2＝∠1＝98°。 因為 L1 // L2 且∠1、∠3 是同側內角， 所以 ∠1＋∠3＝180°， 98°＋∠3＝180°， ∠3＝82°。 平行線的內錯角相等 平行線的同側內角 互補

1.如右圖，L1//L2，M 是L1、L2 的一條截線， ∠1＝79°，求∠2、∠3。

因為L1//L2，且∠1、∠2 是內錯角， 所以∠2＝∠1＝79°。(平行線的內錯角相等) 又∠1、∠3 是同側內角， 所以∠1＋∠3＝180°。(平行線的同側內角互補) 79°＋∠3＝180°，∠3＝101°

2.小梅在做勞作時，把一條有平行邊的紙帶，如下圖剪成有直線的邊緣。已知∠1＝96°，求∠2。

因為紙帶有平行邊，且∠1、∠2 是同側內角， 所以∠1＋∠2＝180°。(平行線的同側內角互補) 96°＋∠2＝180°，∠2＝84°

我們知道兩平行線被一直線所截時，它們的同位角會相等。反過來說，如果兩直線被一直線所截出的同位角相等，此兩直線是否平行呢？

4 平行的判別 如右圖，直線L⊥L1於 D 點，且交 L2 於 E 點，截線M分別交 L、 L1、L2 於 A、B、C 三點，同位角∠1、∠2 均為60°。 (1) 求∠3。 (2) 請問直線L1 與L2 是否平行？

(1) 因為△ABD 的內角和為180°， 所以∠1＋∠BAD＋∠BDA＝180° 60°＋∠BAD＋90°＝180° ， ∠BAD＝30° 又△ACE 的內角和為180°， 所以∠2＋∠CAE ＋∠3＝180° 60°＋30°＋∠3＝180° ∠3＝90° 解

(2) 因為 ∠3＝90°＝∠ADB，所以直線 L1 與 L2同時與直線L垂直，由此可知L1//L2。 解

在例題4中，若∠1＝∠2＝x°，則∠3 是幾度？直線L1 與L2 是否平行？

(1) 因為△ABD 的內角和為180°， 所以∠1＋∠BAD＋∠BDA＝180° x°＋∠BAD＋90°＝180° ∠BAD＝90°－x° 又△ACE 的內角和為180°， 所以∠2＋∠CAE ＋∠3＝180° x°＋（90°－x°）＋∠3＝180° ∠3＝90°

(2) 因為∠3＝90°＝∠ADB，所以直線 L1與 L2 同時與直線L垂直，由平行線的定義可知L1//L2。

從例題4與隨堂練習，我們發現︰ 如果兩直線被一直線所截的（任何一組）同位角相等，這兩直線就會平行。

1.如右圖，M 為L1、L2 的截線，且∠1＝∠2＝43°，則L1、L2 是否平行？

2.如右圖，袁太將兩塊等腰直角三角板與直尺邊 緊靠，請問此時兩斜邊是否平行？ ∠1＝∠2＝45°， 且∠1、∠2 為同位角，所以兩斜邊平行。

我們知道兩平行線被一直線所截時，內錯角會相等且同側內角會互補。反過來說，如果兩直線被一直線所截出的內錯角相等或同側內角互補，此兩直線是否平行呢？

1.如右圖，M 為 L1、L2 的截線， ∠1、∠2 是內錯角。 (1) 如果∠1＝∠2＝124°，則同位 角∠2、∠3是否相等？ (2) 如果∠1＝∠2＝x°，則同位角 ∠2、∠3 是否相等？ (1) 因為∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠3 （對頂角），所以∠2＝∠3。 (2) 是。

2.如右圖，M 為L1、L2 的截線， ∠1、∠2 是同側內角。 (1) 如果∠1＝57°，∠2＝123° （∠1 與∠2 互補），則同位 角∠2、∠3 是否相等？ (2) 如果∠1＝x°，∠2＝180°－x°

(1) 因為∠1＋∠2＝180°（互補）， 且∠1＋∠3＝180°（平角）， 所以∠1＋∠2＝∠1＋∠3＝180°， 可 知∠2＝∠3。 (2) 是。

由動動腦我們發現：若兩直線被一直線所截出的內錯角相等或同側內角互補，則它們的同位角就會相等。前面探討過同位角相等則兩直線會平行，所以， 如果兩直線被一直線所截的（任何一組）內錯角相等，或（任何一組）同側內角互補，則這兩直線就會平行。

5 平行的判別－同側內角 如右圖，M 為L1、L2 的截線，且∠1＝78°，∠2＝102°，請問L1 與L2 是否平行？

因為∠1、∠2是 L1、L2 被 M 所截出的同側 內角， 且∠1＋∠2＝78°＋102°＝180°， 解 因為∠1、∠2是 L1、L2 被 M 所截出的同側 內角， 且∠1＋∠2＝78°＋102°＝180°， 故 L1、L2 被 M 所截出的同側內角互補， 所以 L1//L2。

1.試判斷下列各小題中的直線 L1、L2 是否平 行？並說明你的理由。 (1) (2) (3)

(1) 是，因為同位角相等。 (2) 是，因為內錯角相等。 (3) 不是，因為同側內角不互補。

2.小梅將一條兩邊是直線邊的紙帶，如下圖剪成兩段剪裁邊為直線的紙帶。她量得∠1 和∠2 的度數相同，請問紙帶的兩直邊是否平行？為什麼？ 是，因為內錯角相等。

綜合前面有關平行線截角的特性，可得到下面的結論： 兩平行線被一直線所截時，它們的同位角相等、內錯角相等、同側內角互補。

反過來說， 如果兩直線被一直線所截的（任何一組）同位角相等，或（任何一組）內錯角相等，或（任何一組）同側內角互補，則這兩直線會平行。 這些有關平行線截角的性質統稱為平行線的截角性質。

在計算有關平行線截角度數的問題時，我們經常會用到平行線的截角性質，讓我們看看下面的例題。

6 間接求角 如右圖， L1//L2，M 是 L1、L2 的一條截線，∠1＝52°，求∠2。

因為∠1、∠2 沒有直接關係， 所以要利用其他截角，如右圖∠3。 因為L1//L2 且∠1、∠3 是同位角， 所以∠3＝∠1＝52°。 解 因為∠1、∠2 沒有直接關係， 所以要利用其他截角，如右圖∠3。 因為L1//L2 且∠1、∠3 是同位角， 所以∠3＝∠1＝52°。 因為∠2 和∠3 形成一個平角， 所以∠2＋∠3＝180° ∠2＋52°＝180° ∠2＝128° 平行線的內位角相等

數學是最精密的科學，它的全部結論都能絕對地證明。而之所以會如此，是因為數學並不試圖得出絕對的結論，所有的數學真理都是相對的、有條件的。 —斯坦美次 （ Charles Proteus Steinmetz，1865-1923）

1.如右圖，L1//L2，M 是 L1、L2 的一條截線， ∠1＝134°，求∠2。 如圖，∠3＝∠1＝134°(同位角相等)， 又∠2 和∠3 形成一個平角， 所以∠2＝180°－∠3 ＝180°－134° ＝46°

2.右圖是一輛玩具車的行徑路線圖，其中甲、乙 、丙是三條筆直的道路，且 甲、乙兩道路是平行，∠1＝56°。 (1) 求∠2。 (2) 玩具車一共轉了多少度？

(1) 如圖，∠3＝∠1＝56°（同位角相等）， 又∠2 和∠3 形成一個平角， 所以 ∠2＝180°－∠3 ＝180°－56°＝124° (2) ∠1＋∠2＝56°＋124° ＝180°

7 截角與外角的應用 如右圖，直線 L1 // L2，A 點在 L1 上，B、C 兩點在 L2 上， 與 相交於 D 點，已知 ∠1＝58° ，∠2＝63°，求 ∠3。

因為 L1 // L2，且 ∠1、∠4 是內錯角， 故 ∠1＝∠4＝58°。 因為∠3 為 △BCD 的外角， 所以∠3＝∠2＋∠4 ＝63°＋58° ＝121° 解 內錯角相等

如右圖， // ，E、F 分別在 與 上，已知 ∠1＝130°，∠2＝137°，求 ∠3。

因為 \\ ， 所以∠B＋∠2＝180°（同側內角互補） ∠B＋137°＝180° ∠B＝43° 因為∠3 為△BEF 的外角， 所以∠3＝∠B＋∠BEF ＝43°＋（180°－∠1） （∠BEF 與∠1 形成平角） ＝43°＋180°－130° ＝93°

8 截角與反射角的應用 右圖為撞球桌上的白球由 A 點連續碰撞桌邊 B、C 兩點後停在 D 點的路線。已知 ，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，請問： (1) ∠1 與∠4 是否相等？ (2) ∠5 與∠6 是否相等？ (3) 與 是否平行？

(1) 因為 ，且∠2、∠3 是內錯角， 所以∠2＝∠3， 又因為∠1＝∠2，∠3＝∠4， 故∠1＝∠2＝∠3＝∠4。 解 內錯角相等

(2) 因為∠1、∠5、∠2 形成一個平角，∠3、 ∠6、∠4 也形成一個平角， 所以∠1＋∠5＋∠2 ＝∠3＋∠6＋∠4＝180°。 又因為∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 由等量公理可得 ∠1＋∠5＋∠2＝∠3＋∠6＋∠4， 即∠5＝∠6。

(3) 因為∠5＝∠6，且∠5、∠6 是 與 被 所截出的內錯角，所以 。

下圖為撞球桌上的白球由A 點連續碰撞桌邊B、 C兩點後，停在D點的路線。已知∠1＝∠2，∠3＝∠4， (1) 求∠1＋∠4。 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°（桌角為直角）

(2) 求∠5＋∠6。 因為∠1＋∠2＋∠5＝180° （∠1、∠2、∠5 形成一個平角） ∠3＋∠4＋∠6＝180° （∠3、∠4、∠6 形成一個平角） 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360° 180°＋∠5＋∠6＝360° ∠5＋∠6＝180°

(3) 與 是否平行？ 因為∠5、∠6 是 、 被 截出的同側內角， 且∠5＋∠6＝180°，所以 。

利用平行線的截角性質，我們可以用直尺與三角板畫平行線，如圖4-6。

為什麼圖4-6中 L1、L2 兩直線是平行的？ 因為同位角相等，所以 L1 與 L2 平行。

同樣的道理，若已知直線L外一點P（如圖 4-7），我們也可利用尺規的等角作圖，作出過P點與L平行的直線(如圖4-8)，其做法如下： 圖 4-8

作法： (1) 過 P 點任意作一直線M，與 L相交於A 點，所形成的交角為∠1。 (2) 在直線 M 上取一點R，以 P點為頂點， 為一邊，作∠2，使得∠2＝∠1。 (3) 在∠2 另一邊取一點Q，則 即為所求。

上面平行線的尺規作圖，也是常用的基本作圖，為了方便，一般將上述的作法簡述為：「作過直線 L 外一點P 與L 平行的直線。 」

右圖△ABC 中，P 點在 上，請用尺規作圖畫出通過 P 點且與 平行的直線 M。

平行線除了在截角性質的應用外，也可以利用「兩平行線之間距離處處相等」的性質，作等面積的圖形變化。

9 平行線距離的應用 如下圖，L1//L2，△ABC 的高是 ，且面積是104 平方公分。如果將 L1上的 A 點向右移動 20 公分到A1 後，△A1BC 的高是 ，△A1BC 的面積是多少？

因為 及 均是平行線L1、L2 的距離，而平行線的距離處處相等， 所以 ＝ 。 △A1BC 的面積＝ × × ＝ × × ＝△ABC 的面積 解 因為 及 均是平行線L1、L2 的距離，而平行線的距離處處相等， 所以 ＝ 。 △A1BC 的面積＝ × × ＝ × × ＝△ABC 的面積 ＝104（平方公分） 三角形的面積 ＝ ×底 ×高

承例題9，將△ABC的頂點 A在直線 L1上任意移動後，得到的新三角形面積與原△ABC 的面積有何關係？ 因為兩個三角形同底等高，所以面積相等。

如右圖， // ，若 △ABC 的面積是 6， △ADC 的面積是 4，求 △ABE 的面積。

因為 // ，所以 △ACE 的面積＝△ADC 的面積 ＝4 因此△ABE 的面積 ＝△ABC 的面積＋△ACE 的面積 ＝6＋4 ＝10

1.平行線：在平面上的兩條直線，如果同時與一條直線垂直，就稱這兩條直線是平行線。

2.平行線的截角性質： (1)兩平行線被一直線所截時，它們的同位角 相等，內錯角相等，同側內角互補。 (2)如果兩直線被一直線所截的 ( 任何一組 ) 同位角相等，或 ( 任何一組 )內錯角相等 ，或 ( 任何一組 )同側內角互補，則這兩 直線平行。

3.截角性質的應用：利用截角性質可計算有關 平行線的截角角度問題，或判斷兩直線是否 平行。 4.平行線的尺規作圖：利用平行線的尺規作圖 ，可畫出「經過已知直線 L外一點P，且與L 平行」的直線。

5.平行線距離的應用：利用「兩平行線之間距 離處處相等」的性質，可作固定面積的圖形 變化。例如，將一個三角形變形為一個等面 積的等腰三角形；或可利用此關係，求出相 關圖形的面積。

4-1 自我評量 1.如右圖， L1//L2 ，M 是 L1、L2 的一條截線， ∠1＝124°，求∠2。 如圖，∠3＝∠1＝124° （同位角相等）， 所以∠2＝∠3＝124° （對頂角）

2.如右圖，L1//L2，M 及 N 都是L1、L2 的截線， 且交點在 L1上，求∠1、∠2。 ∠1＝70°（內錯角相等） （70°＋∠2）＋45°＝180° （三角形內角和為180°） 115°＋∠2＝180° ∠2＝180°－115°＝65°

3.如右圖，L1//L2，L2// L3，∠2＝115°， (1) 求∠1、∠3。 (2) 請問L1 與 L3是否平行？為什麼？ (1)∠1＝∠2＝∠3＝115°（同位角相等） (2) 是，因為同位角相等（∠1＝∠3）。

4.右圖紅色部分是一個線對稱圖形，B、D分別為A、C的對稱點。如圖連接直線AB及直線CD 後，量得∠1＝106°， (2) 求∠2、∠3。

因為直線AB 與直線CD為對稱點的連線，同 行。 (2) ∠2＝∠1＝106°（線對稱圖形） 又∠1＋∠3＝180°（同側內角互補） 106°＋∠3＝180°，∠3＝74°

5.袁太將兩塊「全等」紙板的 c 邊與直尺邊緊靠如下圖，而且兩個紙板的 c 邊也緊連在一起，兩紙板無重疊部分，但袁太發現兩紙板間有空隙。請問︰ (1) 圖形中，兩紙板的a 邊是否平行？為什麼？ (2) 紙板的 a、b 兩邊是否平行？為什麼？ (1) 是，因為同位角相等。 (2) 否，因為同側內角不互補。

6.右圖四邊形ABCD中，請問︰ (1) 與 是否平行？為什麼？ (2) 與 是否平行？為什麼？ (1) 否，因為同側內角不互補。 (2) 是，因為同側內角互補。

7.如右圖， L1、L2 為平行線，△ABE的面積是5， △BCE 的面積是3，求△DCE 的面積。 因為△BCD 面積＝△ABC 面積， 所以△BCE 面積＋△DCE 面積 ＝△ABE 面積＋△BCE 面積 得△DCE 面積＝△ABE 面積＝5。

8.於下圖△ABC 中，利用尺規作圖畫一直線　 　L，使 L 會經過 的中點且與 平行。