第三章 地下水向完整井的稳定运动 肖 长 来 88502287工203 吉林大学环境与资源学院 2009-10

主要内容 第三章 地下水向完整井的稳定运动 §3.1 水井的分类及井流特征 §3.2 地下水向承压水井和潜水井的稳定流动 §3.3 越流含水层中地下水向承压井的稳定流动 §3.4 流量和水位降深关系的经验公式 §3.5 地下水向干扰井群的稳定运动 §3.6 均匀流中的井 §3.7 井损与有效井径的确定方法

§3.2 地下水向承压水井和潜水井的稳定流动 3.2.1承压水井的Dupuit公式 3.2.1.1 假设（水文地质概念模型） （1）含水层为均质、各向同性，产状水平、厚度不变（等厚）、分布面积很大，可视为无限延伸；或呈圆岛状分布，岛外有定水头补给； （2）抽水前地下水面是水平的，并视为稳定的；含水层中的水流服从Darcy’s Law，并在水头下降的瞬间将水释放出来，可忽略弱透水层的弹性释水； （3）完整井，定流量抽水，在距井一定距离上有圆形补给边界，水位降落漏斗为圆域，半径为影响半径；经过较长时间抽水，地下水运动出现稳定状态； （4）水流为平面径向流，流线为指向井轴的径向直线，等水头面为以井为共轴的圆柱面，并和过水断面一致；通过各过水断面的流量处处相等，并等于抽水井的流量。

抽水井 初始承压面 降落漏斗 图3-3承压完整井的径向流

Dupuit's assumption for confined flow • the aquifer is horizontal, homogeneous or horizontally-stratified, isotropic; • the bottom plane of the aquifer is practically horizontal; • the saturated thickness is uniform and small if compared with the horizontal dimensions of the aquifer; • the diameter of the well is limited, and groundwater flow is small. • strong sinks and sources are not present.

3.2.1.2 数学模型的建立及求解 （3-1） 对上式进行积分，得 （3-2a） 或 （3-2b） 式中：sw—井中水位降深，m； Q—抽水井流量，m3/d； M—含水层厚度，m； K—渗透系数，m/d； rw—井半径，m； R—影响半径（圆岛半径），m； 上式即为承压水井的Dupuit公式。

距离抽水井中心r处有一观测孔，其对应水位为H，在rw和r两断面上积分，得到 （3-5） 若存在两个观测孔，距离井中心的距离分别为r1,r2,水位分别为H1,H2,在r1 到r2区间积分得： （3-6） 式中 s1、s2分别为r1和r2处的水位降深。 式(3-6)也称为Theim公式。它与非稳定井流在长时间抽水后的近似公式完全一致。这表明，在无限承压含水层中的抽水井附近，确实存在似稳定流区。

若将(3-3)和(3-6)联立起来，则可得到抽水井附近的承压水水头分布方程或降落曲线方程： （3-7） 式中没有包含Q和K，表明水流相对稳定时，只有给定井内水位和边界水头，抽水井附近的水头分布就确定了，不管渗透系数和抽水量的大小。

3.2.2 潜水井的Dupuit公式 如下图所示为无限分布的潜水含水层中的一个完整井，经长时间定流量抽水后，在井附近形成相对稳定的降落漏斗。由于降落漏斗是在潜水含水层中发展，存在着垂向分速度，等水头面不是圆柱面，而是共轴的旋转曲面，为空间径向流，对于这类问题用解析法很难求解。

Dupuit's assumption for free surface flow • the aquifer is horizontal, homogeneous or horizontally-stratified; • the bottom plane of the aquifer is practically horizontal; • the saturated thickness is uniform and small if compared with the horizontal dimensions of the aquifer; • if the aquifer is characterized by a variable thickness, its variations must be small compared to the average thickness; • the slope of the water table is small; if is much smaller than unity, the error in accepting the two-dimensional assumption for the groundwater flow is small. • strong sinks and sources are not present.

为实用目的，对上述潜水井应用Dupuit假设，认为流向井的潜水流是近似水平的，因而等水头面仍是共轴的圆柱面，井和过水断面一致，这一假设，在距抽水井r>1.5H0的区域是足够准确的。同时认为，通过不同过水断面的流量处处相等，并等于井的流量。这时，漏斗区潜水流的水头分布满足下式: 如以潜水含水层的底板作基准面，h=H，并用柱坐标形式表示，则方程简化为 （3-8） 其边界条件和承压水井相似，为h=hw , 当r = rw时，h= H0，当r= R时，对（3-8）式进行积分，得

因各断面流量相等,根据通过任意断面的流量 可得积分常数： ，故有： 分离变量,按给出的边界条件对上式积分得： （3-9） （3-10） 式中R为潜水井的影响半径,其含义和承压水井的相同。式（3-9）和(3-10)称为潜水井的Dupuit公式。

同理，可以分别给出有一个观测孔和两个观测孔时的计算式: （3-11） （3-12） 式（3-12）也称潜水井的Thiem公式。它同Theis公式在长时间抽水后的近似式完全一致。联立求解(3-9)和(3-11)式，同样可得潜水位分布方程(或称为浸润曲线方程)： （3-13） 结果表明，潜水位的分布，同样由边界水位决定，而与流量和渗透系数无关。计算的浸润曲线，仅在r>H。区域同实际曲线一致。在r<H0区，特别是在井壁处，Dupuit浸润曲线总是低于实际浸润曲线,如图3-4所示。这是因为Dupuit公式没有考虑潜水井存在渗出面,采用了Dupuit假设造成的。

下面讨论在三种常见水文地质条件下,如何推广应用Dupuit公式的问题。 (1)巨厚含水层中的潜水井。井中降深仅占潜水层厚度的很小部分,在供水井常遇到这种情况。 此时,可将潜水井Dupuit公式改写为： 当井中降深 于是得近似式:

可见，已转化为承压水井公式（3-3）。这表明,当含水层很厚而降深相对较小时,潜水含水层可近似地按承压含水层来处理。 设距潜水井井r1和r2处的降深分别为S1和S2,则按式(3-12)，有： （3-15） 或变为 （3-16） 式中s’称为修正降深。 这个降深可以出现在等效的承压含水层中。 对潜水含水有时采用这种线性化的方法。

（2）承压-潜水井公式。在承压水井中大降深抽水时，如果井中水位低于含水层顶版，井附近就会出现无压水流区，变成承压-潜水井。用于疏干的水井常出现这种情况，见图3-5。 图3-5 承压-潜水井 可用分段法计算流向井的流量。设距井r=a处为由承压水转变为无压水区，按式（3-11）有： 在径向距离a以外为承压区，按式（3-3）有：

从二式中消去lna，即得承压-潜水井公式： （3-16） （3）注水井或补给井。当进行地下水人工补给或利用含水层人工贮能时,有时需要向井中注水。在某些情况下,为了求得含水层参数,也需要进行注水试验。注水井的工作情况正好和抽水井相反。井水位最高,周围水位逐渐降低,成锥体状,如图3-6所示。地下水的运动为发散的径向流。如作粗略的估算,只要把前面几节公式中的水位降深换成水位升高，便适用于注水井。例如,对承压水注水井有: （3-17）

对于潜水注水井有： （3-18） 二式中的hw-H0为井中的水位升高值。 注水和抽水的不同，除了一个是发散的径向流者，一个是收敛的径向流外,还要强调二者物理条件的区别。 抽水时,因井周围的过水断面小,流速大,含水层中的细颗粒将进入井内,因而在井周围常形成一个渗透性增高的地带; 而注水井的情况正好相反，井注入的水向井外流动,速度逐渐减小,水流携带的杂质将在一定距离内沉淀在含水层中。 水中的某些溶解物质可能和固体骨架或含水层中原有水起作用,产生阻塞。某些细菌也可能在过滤器上生长。因此,在注水井周围往往形成一个渗透性降低的地带。

3.2.3 Dupuit公式的应用 前面导出的可解决以下两类问题： (1)确定水文地质参数 承压井： （3-19） （3-20） 潜水井： （3-21） （3-22） 利用以上求参公式，将抽水试验趋近稳定时的Q及抽水井或观测孔的水位降深s代入各式，可以直接求出K或T。

对于单井抽水条件下，R常采用经验值，也可采用第四章中利用Theis公式导出的近似式进行估算。由于经验值可能给求参结果带来一定的误差，但由于R在公式中以对数的形式出现，因此，对求参的结果影响不大。 建议在抽水试验时，应选择在抽水井附近达两个观测孔，利用观测孔的降深资料按Theim公式计算参数。可以避免R值的求取，也可减少抽水井附近井损的影响，求得的参数比较可靠。但两个观测孔不要相距太近，否则当抽水时间不足时，通过观测孔过水断面的流量比抽水井的流量小得多时求出的K会偏大。 利用观测孔资料求参，可利用以下公式： 对于承压井，利用观测孔1资料，则有：

如利用观测孔1和2，则有： 联立求解以上二式，得： （3-23） 对于潜水井，采用同样的方法可得： （3-24） 利用以上公式求得的R 既可用于条件类似地区只用单井实验的计算中，又可作为设计合理井距的依据。

计算影响半径的经验公式 潜 水： R = 2s √HK 承压水：R=10s√K (2) 预报流量或降深 根据Dupuit公式，在已知含水层厚度和参数的情况下，只要给出设计的合理降深，既可预报井的开采量；也可按需要的流量，预报开采后的可能降深值。 但应注意，利用以上公式预报时，含水层必须有补给源，且能和抽水量平衡，达到稳定流条件；否则，不可能出现稳定流，利用稳定流公式进行预报，所得到的结果是错误的。

3.2.4 Dupuit公式的讨论 (1)井径和流量的关系 Dupuit公式中井径和流量的关系,并不完全符合实际情况。 按Dupuit公式,井径对流量的影响不太大,因为井半径rw以对数形式出现在公式中,井径增大时流量增加很少。如井径增大一倍,流量约增加10%；井径增大10倍,流量仅增加40%左右。 但实际情况远非如此,井径对流量的影响比Dupuit公式反映的关系要大得多。 冶金工业部勘察总公司在北京南苑试验场进行的井径和流量关系的对比试验,其l00nm、l50mm、200mm三种井径的Q-sw关系曲线表示在图3-7中。

得出如下认识： ①当降深sw相同时,井径增加同样的幅度,强透水岩层中井的流量增加得比弱透水层中的井多; ②对于同一岩层,井径增加同样的幅度,大降深抽水的流量增加得多,小降深抽水时流量增加得少； ③对于同样的岩层和降深,小井径时,由井径增加(如100mm增至150mm,或150mm增到200mm)所引起的流量增长率大；中等井径时(如300mm至500mm时),增长率减小；大井径时,流量随井径的增加就不明显了。 这种现象,理论解释不一。有些学者认为,这是由于井周围的紊流和三维流的影响所致。也有人认为,研究井径和流量的关系,应考虑含水层内流动和井管内流动两个方面。这两个方面是地下水先从含水层流至井壁,再通过井管壁流入管内,并向上运动至吸水口。两种流动是串联关系。

前者取决于含水层的透水能力,后者受井管过水能力的制约。如果仅考虑含水层中水的流动,则Dupuit公式中井径和流量的关系是正确的。 当含水层的透水性较好或水位降深较大时,含水层有可能提供较大的流量；但受井管的过水能力所限,井径增加时,流量明显增大。这对小口径井特别明显。 但当井径已经足够大或含水层的透水性较差时,井管的过水能力对流量的影响已居次要地位,井径和流量的关系就比较符合Dupuit公式。 (2) 渗出面(水跃)及其对Dupuit公式计算结果的影响 在第一章介绍Dupuit假设时,曾谈到潜水的出口处一般都存在渗出面。当潜水流入井中时也存在渗出面,也称水跃,即井壁水位h,高于井中水位hw(图3-8),而潜水井的Dupuit公式并没有考虑渗出面的存在。

渗出面的存在有两个作用: (1) 井附近的流线是曲线，等水头面是曲面,只有当井壁和井中存在水头差时,图3-8中阴影部分的水才能进入井内； ⑵ 渗出面的存在,保持了适当高度的过水断面，以保证把流量Q输入井内。否则,当井中水位降到隔水底板时,井壁处的过水断面将等于零,就无法通过流量了。 早期,某些学者认为，潜水井的只能降到含水层厚度的一半,并认为此时井的流量最大。这种看法没有考虑渗出面的存在。 那么, Dupuit潜水井公式用井内水位hw，是否正确?要不要用井壁水位hs来代替井内水位hw？下面分别从浸润曲线和流量两个方面加以说明。

因渗出面的存在,按Dupuit公式算出的浸润曲线(以下简称Dupuit曲线)在井附近低于实际的浸润曲线。杨式德(1949)曾对一潜水井的例子用张弛法求得精确解。结果表明，当 r>9H0/10时, Dupuit曲线与用精确解算出的曲线完全一致;当 r≤9H0/10时,二者开始偏离，到井壁处,实际的浸润面高悬于井内动水位之上。 一般说来,在r ≤ H0的区域,用Dupuit公式计算潜水井的浸润曲线是不准确的。但是,用Dupuit公式计算的流量却是精确的。对此 曾做过严格的数学证明。因此,用Dupuit公式计算流量时，用井内水位hw是正确的。如用井壁水位hs代替hw,反而是错误的了。

3.2.5 非线性流地下水向完整井的稳定流动 当地下水不服从Darcy定律，其流动是非线性的。 (1) 承压水井 当地下水服从Chezy公式时， 分离变量，在井壁和任意r断面之间积分，得： （3-25） 当 r→R时，H→H0,将其代入上式，令sw= H0-hw，代表抽水井的水位降深。同时，因R>>rw，1/R的数值很小，可以忽略不计，故（3-25）式可以简化为： （3-26）

考虑更一般的情况 当地下水运动服从 ，有： 分离变量，并积分得： 令常数a=1/K，则上式可化为： （3-27） 如果地下水运动满足Darcy定律，则上式右端第二项为零，即为Dupuit公式。如满足Chezy 公式，则上式右端第一项为零。如令常数 ，r→R，H→H0，则上式又变为（3-26）式。

(2)潜水井 其流量表示为： 同承压井类似，也可导出相应的公式。如1/R可以忽略不计，该式可进一步简化为： （3-28）