Chapter 3 Conditional Probability and Independence 條件機率與獨立性
前言... 必殺左拳～袋鼠之男： 哼哼哼...在場上能不被我的左勾拳 ＫＯ的袋鼠，1001個裡面只有1個， 機率比0.001還小。你認命吧～ 迷之聲： 哦～是嗎？ 來戰吧～
看我的必殺閃電左勾拳～ 吼 傳說中的河東獅吼～
無知的袋鼠，你大概沒算過給定對手是獅子的條件下，你的勝率會是多少吧。
Conditional Probability 條件機率 定義: 對任意的事件E和F滿足P(F) > 0，給定F事件發生的條件下，E事件發生的條件機率(Conditional Probability)是P(E|F) = P(E∩F)/P(F) 複合法則(Multiple Rule): P(E1∩E2∩... ∩En)=P(E1)P(E2|E1) P(E3|E1∩E2)...P(En|E1∩E2∩... ∩En-1)
Example 丟一個公正的6面骰 E:{出現偶數點}, F:{出現點數大於3點} P(E|F)=P(E∩F)/P(F)=(1/3)/(1/2)=2/3 P(Fc|E)=P(Fc∩E)/P(E)=(1/6)/(1/2)=1/3 G:{出現紅色點數(1點或4點)} P(E∩F∩G)=P(E)P(F|E)P(G|E∩F) =(1/2)×(1/3)×1=1/6
Bayes’ Formula 貝氏公式 簡單版~ 若E和F是事件且P(F)>0，則E=E∩S=E∩(F∪Fc)=(E∩F)∪(E∩Fc) 可得出P(E)=P(E∩F)+P(E∩Fc)=P(E|F)P(F)+P(E|Fc)P(Fc) 一般版~ 若F1...Fn是互斥事件，對任意的i有P(Fi)≠0且他們的聯集是S，則: P(E) = i=1..nP(E|Fi)P(Fi)
Example 丟一個公正的6面骰 E:{出現偶數點}, F:{出現點數大於3點} P(E)=1/2=P(E∩F)+P(E∩Fc)=1/3+1/6=1/2 P(E|F)=(1/3)/(1/3+1/6)=2/3 Fi={出現i點},i=1..6 P(E)=i=1..nP(E|Fi)P(Fi)=0+1/6+0+1/6+0+1/6=1/2 P(F2|E)=(1/6)/(0+1/6+0+1/6+0+1/6)=1/3
Odds Ratio 勝率比 Example 定義: 一個事件A的勝率比(odds ratio) = 勝率比告訴我們一個事件發生的機率是不發生的幾倍 Example E:丟一公正骰子出現紅色點數(1 or 4) odds ratio of E = (1/3)/(2/3)=1/2
Independence 獨立性 二事件的獨立性~ 2個事件E和F是獨立的(independent) : P(E∩F)=P(E)P(F) 也就是說: 若P(F)≠0，則P(E) = P(E|F) n個事件的獨立性~ n個事件E1...En是獨立的: 對任意{1,2...n}的子集I，P(∩iIEi)=iIP(Ei) 相依(Dependence): 若n個事件不是獨立的，則這n個事件是相依的(dependent)
Example 丟一個公正的6面骰 E: 出現紅色點數(1 or 4) F: 偶數點 P(E)P(F)=(1/3)(1/2)=1/6=P(EF) 所以E和F是獨立的 G:出現點數大於3 P(F)P(G)=(1/2)(1/2)=1/41/3=P(FG) 所以F和G是相依的
P(•|F) 是一個機率函數 對任意的事件F滿足P(F) > 0 : P(S|F) = P(S∩F)/P(F) = P(F)/P(F) = 1 對任意的事件E，因為E∩F包含於F，所以 0≦P(E∩F)≦P(F)。所以0≦P(E|F)≦1。 對任意的互斥事件E1,E2,... 由此得證P(•|F) 是一個機率函數
牛刀小試 有一種測試某種特殊疾病的檢驗方法，其判斷錯誤的機率是0.01。根據統計，台灣的國小學童約有0.02有此特殊疾病。若有一個小朋友被此測試方法判定為有這個特殊疾病，請問他真的有病的機率是多少？
解答 令E＝{有特殊疾病},F={被判定為有病} P(E∩F)=P(E)P(F|E)=0.02×0.99=0.198 P(Ec∩F)=P(Ec)P(F|Ec)=0.98×0.01=0.098 P(F)= P(E∩F)+ P(Ec∩F)=0.0.296