24.1.4圆周角（二）

复习巩固 圆周角的概念 顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角. 圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相 学科网 圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相 等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论： 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°; 90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

巩固练习 1.如图，在⊙O中∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ ） A.50°； B.80°； D C.90°； D.100° 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ ） A.30°； B.60°； C.90°； D.45° C A B P B

巩固练习 3.如图,△ABC的顶点A、B、C都在 ⊙O上,∠C＝30 °,AB＝2,则⊙O 的半径是 。 2 4.课本P88第5题。 C O 的半径是 。 2 学科网 4.课本P88第5题。

· 例题讲解 例1. 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． ∴AD= BD. ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． ） ） 8 6 在Rt△ABC中， 10 A B O ∵CD平分∠ACB， D ∴AD= BD. ∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，

随堂练习 1.如图,以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则OC与AD的位置关系是_____, OC与BD的位置关系是_____,若AC=2cm,则AD=__cm。 垂直 平行 4 A B C D O O1 学科网

随堂练习 C A B O D 2.如图AB,AC为⊙O的两条弦, 延长CA到D,使AD=AB,若∠ADB=300. 则∠BOC=________。 E 1200 3.如图,∠A=50°,∠ABC=60 °，BD是 ⊙O的直径，则∠AEB等于（ ） A.70° B.110° C.90° D.120° A C B O D E B

分析：同一条弧所对的圆周角有很多，圆周角的位置灵活多变，可以把注意力放在圆周角所对的弧上. 随堂练习 4. 如图，AB是⊙O的直径, C 和D是圆上的两点,若∠ABD=40°,求∠BCD的度数. 分析：同一条弧所对的圆周角有很多，圆周角的位置灵活多变，可以把注意力放在圆周角所对的弧上. A B O C D 40°

例题讲解 例2. 如图，AB为⊙O的一条固定直径，自上半圆上一点C，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在半圆（不含A,B两点）上移动时，问：点P的位置是否变化？ 分析 延长CO与⊙O交于点E，易证CA=DA，又CA=BE，则DA=BE，由∠OCD的平分线得DP=PE，则AP=BP，所以点P为半圆的中点. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ E

随堂练习 5. 如图，A，B，C三点在⊙O上，AD⊥BC于D，且AC=5，DC=3，AB= ，求⊙O的直径. A 分析 连结AO，CO，由勾股定理不难得到△ABD为等腰直角三角形，则∠AOC==90°，又OA=OC，AC长度已知，则可以求出半径和直径. 更一般的情况要用正弦定理来求. O C B D

走进中考 1.(08青海西宁)如图,⊙O中,弦DC、AB的延 长线相交于点P,如果∠AOD=1200,∠BDC=250,那么 ∠P= ． 350 A D C P B O

走进中考 2.(08山东泰安)如图,在⊙O中,∠AOB的度数 为m.C是∠ACB上一点,D、E是AB弧上不同的两点 (不与A,B两点重合),则∠D+∠E的度数为（ ） A.m B． C． D． B C B O D E A

· 圆内接四边形的对角互补。 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上, 这个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个 多边形的外接圆. D A B C D O 如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：∠A+∠C=? 圆内接四边形的对角互补。 能用圆周角定理证明你的结论吗？

随堂练习 6.如图,⊙O中,∠A0B = 80º,则∠ACB=____. 140º D A O C B

随堂练习 7.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 证明： 已知： CO 是△ABC 的AB边上的中线， 且CO= AB C 求证： △ABC 为直角三角形. · 证明： 以AB为直径作⊙O， CO= AB, A B O ∵AO=BO， ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.

拓展提高 1.船在航行过程中,船长常常通过测定角度来测定是否会遇到暗礁,如图表示灯塔,暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,∠ACB就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁。 1）当船与两个灯塔的夹角α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？ 2）当船与两个灯塔的夹角α 小于“危险角”时，船位于哪个 区域？为什么？ A E O B C P

拓展提高 2.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？ 提示:从数学角度看,甲、乙谁射门好,关键是比较∠MAN与∠MBN的大小,角度越大,射门的机会越好。 M O N O A C B

拓展提高 2.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？ 提示:从数学角度看,甲、乙谁射门好,关键是比较∠MAN与∠MBN的大小,角度越大,射门的机会越好。 B A N M O C

拓展提高 P O A B C 3.如图,点P是圆上的一个动点,弦AB= ,PC是∠APB的平分线,∠BAC=300. (1)当∠PAC等于多少度时四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？ (2)当∠PAC等于多少度时四边形PACB是梯形？ P1 P3 O C A B P P2

合作交流 如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下． 方法三 方法一 B A C 方法四 O 方法二 A · D O B