静定结构位移计算 ——刚体虚功原理 主讲教师：戴萍

第五章 主要内容 位移计算 主要内容 刚体虚功原理 变形体虚功原理、结构位移计算一般公式 结构位移计算一般公式应用 图乘法 应用 互等定理

产生位移原因： (1) 材料可变形 (2) 外部作用 荷载 非荷载因素 结构位移——结构上的任意点由于各种原因产生的移动。 (2) 外部作用 荷载 非荷载因素 结构位移——结构上的任意点由于各种原因产生的移动。 例如：工程结构在荷载作用下就会产生变形，由于变形，结构上各点的位置就会发生移动。

产生位移原因： 广义位移 除了荷载以外，温度改变、支座移动、制造误差和材料收缩等因素，都能使结构产生位移。 q A B A, C A q A, （1）A点线位移 （2）A截面角位移 4

广义位移 B C A q C D B A q A, ——线位移 ——角位移 A点位移： AB相对水平位移： CD相对转角： 5

计算结构位移的目的： 为了校核结构的刚度，保证它在使用过程中不致于发生过大的变形。 在计算超静定结构时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件，也就是说位移计算是超静定结构计算的基础。 结构在制作、施工、架设和养护等过程中采取技术措施时，也需要知道结构的位移。 6

指位移与荷载成正比的结构体系。载荷对体系的影响可以迭加，且当载荷全部折除后，由载荷引起的位移也完全消失。 线性变形体系的概念： 指位移与荷载成正比的结构体系。载荷对体系的影响可以迭加，且当载荷全部折除后，由载荷引起的位移也完全消失。 本章研究的就是线性变形体系的位移计算。

虚功与刚体虚功原理 1) 刚体位移与形变位移 FP C A B 形变位移 刚体位移 产生形变位移段 产生刚体位移段

虚功与刚体虚功原理 1) 刚体位移与形变位移 其本身无尺寸、形状的改变。 形变位移——由于本身发生形变（尺寸、形状改变） 而引起的位移。 刚体位移——由其它位移引起的牵连位移， 其本身无尺寸、形状的改变。 形变位移——由于本身发生形变（尺寸、形状改变） 而引起的位移。

虚功与刚体虚功原理 2) 虚功 ● 虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功。 Fp1 Fp2 1 2 A B △11 △22 △12 ● 虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功。 Fp1 Fp2 A B 1 2 △11 △12 △22 其中： ——虚功 ● 虚功原理 刚体虚功原理 变形体虚功原理 10

＝0 刚体系虚功原理 W 基本概念 外力所做的虚功之和等于零，即： （1）平衡状态与虚位移状态互相不存在因果关系 虚功名称由来 具有理想约束的刚体系统，其平衡的必要与充分条件是：主动力系在系统平衡位置附近的任何无限小的虚位移中所作虚功之和等于零。 外力所做的虚功之和等于零，即： W ＝0 外 基本概念 （1）平衡状态与虚位移状态互相不存在因果关系 虚功名称由来 （2）虚位移必须连续 满足位移边界条件 任意的 无限小的 （3）虚位移原理未涉及结构类型 材料性质 变形大小 均可适用

2、虚功与刚体虚功原理 刚体虚功原理两种应用： （1）虚力原理 （2）虚位移原理 虚力原理——位移是真的，力是虚设的。用虚设力的办法来求真实的位移。 虚位移原理——力是真的，位移是虚设的。用虚设位移的办法来求真实的力。 显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理。 12

支座移动产生的位移计算 支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。 图示简支梁B支座往下位移了 ，求由此产生的A点转角 。 A B L 真实的位移状态 A B L Δ

支座移动产生的位移计算 虚设一个力状态，即在结构的A点作用一单位力矩。运用刚体的虚功原理：虚设力状态上的所有外力在真实的位移状态上所做的虚功应该等于零，有： 虚设的力状态 1/L M = 1 得：

可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下： 其中： —由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 ci —真实的支座位移

【例题】图示三铰刚架A支座往下位移了b，B支座往右位移了a， 求C点的竖向位移 ， 和C点的相对转角 。 真实的位移状态 L A B C L/2 a b

支座移动产生的位移计算 （1）在C点作用一个竖向单位力，求出FYA和FXB。 A B C FP = 1 1/2 1/4 L A B C 虚设的力状态 A B C FP = 1 1/2 1/4 真实的位移状态 L A B C L/2 a b

（2）求C点的相对转角 虚设的力状态 A B C M = 1 1/L 真实的位移状态 L A B C L/2 a b

力的虚设方法 力的大小—— 一般虚设单位力。 力的位置—— 作用在需要求位移的点及方向上。 力的方向—— 随意假设，若求出的位移是正的，说明位移与假设的方 向一致。若是负的，说明与假设的方向相反 。 力的性质—— 求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩； 求二点的相对水平或竖向位移加一对相反的单位集中力； 求二点相对转角加一对单位力矩。

FP=1 C A B 求C点竖向位移 M = 1 C A B 求C点转角位移 FP=1 C A B 求B点水平位移 A B 求A、B两点相对竖向位移 FP=1 A B 求A、B两点相对水平位移 FP=1

力的虚设方法 M = 1 C 求C点相对转角位移 FP=1/L C D 求C、D杆转角位移

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