主讲人： 吕敏 Email: { lvmin05@ustc.edu.cn } Spring 2016 ，USTC 算法基础 主讲人： 吕敏 Email: { lvmin05@ustc.edu.cn } Spring 2016 ，USTC

第十三讲 随机算法 内容提要： 理解产生伪随机数的算法 掌握数值随机化算法的设计思想 掌握蒙特卡罗算法的设计思想 第十三讲 随机算法 内容提要： 理解产生伪随机数的算法 掌握数值随机化算法的设计思想 掌握蒙特卡罗算法的设计思想 掌握拉斯维加斯算法的设计思想 掌握舍伍德算法的设计思想 2019/4/4

方法概述 2019/4/4

方法概述 随机算法是指在算法中执行某些步骤或某些动作时，所进行的选择是随机的。 三要素：输入实例、随机源和停止准则。 特点：简单、快速和易于并行化。 一种平衡：随机算法可以理解为在时间、空间和随机三大计算资源中的平衡（Lu C.J. 博士论文,1999） 重要文献：Motwani R. and Raghavan P., Randomized Algorithms. Cambridge University Press, New York, 1995 2019/4/4

方法概述 著名的例子 — Monte Carlo求定积分法 — 随机k-选择算法 — 随机快速排序 — 素性判定的随机算法 — 二阶段随机路由算法 重要人物和工作 — De Leeuw等人提出了概率图灵机（1955） — John Gill的随机算法复杂性理论（1977） — Rabin的数论和计算几何领域的工作（1976） — Karp的算法概率分析方法（1985） — Shor的素因子分解量子算法（1994） 2019/4/4

方法概述 常见的随机算法分为4类： 数值随机化算法：常用于数值问题的求解，所得到的往往是近似解，解的精度随着计算时间增加而不断提高； 蒙特卡罗算法：用于求问题的准确解。该方法总可以得到问题的解，但是该解未必是正确的。求得正确解的概率依赖于算法所用的时间。比较难以判断解是否正确； 拉斯维加斯算法：不会得到不正确的解，但是有时会找不到解。找到正确解的概率随着所用的计算时间的增加而提高。对任一实例，反复调用算法求解足够多次，可使求解失效的概率任意小； 舍伍德算法：总能求得问题的一个解，且所求得的解总是正确的。当一个确定性算法最坏情况下的计算复杂性与其在平均情况下的计算复杂性有较大差别时，可在这个确定性算法中引入随机性将它改造成一个舍伍德算法，消除或者减少这种差别。核心思想是：设法消除最坏情形行为与特定实例之间的关联性。 2019/4/4

随机数发生器 随机数在随机化算法设计中扮演着十分重要的角色。在现实计算机上无法产生真正的随机数，因此在随机化算法中使用的随机数都是一定程度上随机的，即伪随机数。 线性同余法是产生伪随机数的最常用的方法。由线性同余法产生的随机序列a0,a1,…,an满足 其中b0，c0，dm。 d称为该随机序列的种子。 如何选取该方法中的常数b、c和m直接关系到所产生的随机序列的随机性能。这是随机性理论研究的内容，已超出本书讨论的范围。 从直观上看，m应取得充分大，因此可取m为机器大数，另外应取gcd(m,b)=1，因此可取b为一素数。 2019/4/4

随机数发生器 随机整数算法： 利用线性同余式计算新的种子，将randSeed右移16位得到一个0~65535间的随机数，然后再将此随机整数映射到0~(n-1)范围内。 Random（n, s） { //产生 0 : n-1之间的随机整数，s为随机数发生器种子 if( s==0) randSeed= time(0); //用系统时间产生种子 else randSeed = s; //由用户提供种子 randSeed = multiplier * randSeed + adder; return (randSeed >>16) % n ; } 其中： multiplier = 1194211693L, adder = 12345L 2019/4/4

随机数发生器 随机实数生成算法 fRandom( s ) { //产生[0，1)之间的随机实数 { //产生[0，1)之间的随机实数 return Random( maxshort ) / double( maxshort ); } 其中，maxshort = 65536L 思考：如何产生一个符合一定分布的随机数？ 2019/4/4

随机数发生器 假设抛10次硬币为一个事件，每次抛硬币得到正面和反面是随机的，利用计算机产生的伪随机数模拟抛硬币试验。 int TossCoins( int numberCoins) { //随机抛numberCoins次硬币，返回得到正面的次数 int i, tosses = 0; for( i = 0; i<numberCoins; i++ ) { //Random(2) = 1表示正面 tosses += Random(2); } return tosses; void main() { //模拟随机抛硬币试验 for( j= 0; j<11; j++ ) heads[j] = 0; //heads[i]得到i次正面的次数 for( i = 0; i< 50000; i++ ) heads[TossCoints(10)] ++ ; 2019/4/4

数值随机化算法 例1：用随机投点法计算π值 设有一半径为r的圆及其外切四边形。向该正方形随机地投掷n个点。设落入圆内的点数为k。由于所投入的点在正方形上均匀分布，因而所投入的点落入圆内的概率为 。所以当n足够大时，k与n之比就逼近这一概率。从而 double Darts(int n) { // 用随机投点法计算值 static RandomNumber dart; int k=0; for (int i=1;i <=n;i++) { double x=dart.fRandom(); double y=dart.fRandom(); if ((x*x+y*y)<=1) k++; } return 4*k/double(n); 2019/4/4

数值随机化算法 例2：计算定积分 设f(x)是[0，1]上的连续函数，0f(x)1。需要计算的积分为 积分I等于图中的面积G。 在图所示单位正方形内均匀地作投点试验，则随机点落在曲线下面的概率为 假设向单位正方形内随机地投入n个点(xi,yi)。如果有m个点落入G内，则随机点落入G内的概率 2019/4/4

数值随机化算法 double Darts( int n) { //用随机投点法计算定积分 int k=0; { //用随机投点法计算定积分 int k=0; for( int i = 1; i<= n; i++) { double x = dart.fRandom( ); double y = dart.fRandom( ); if( y <= f(x) ) k++; } return k/double(n); 思考：如果被积函数f(x)位于区间[a,b]中有界，并用M, L 表示其最大值和最小值。如何求定积分？ 2019/4/4

数值随机化算法 例3：求解下面的非线性方程组 其中，x1,x2,…,xn是实变量，fi是未知量x1,x2,…,xn的非线性实函数。要求确定上述方程组在指定求根范围内的一组解。 2019/4/4

数值随机化算法 思路：构造一目标函数: 式中，x=(x1,x2,…,xn)。该函数的极小值点就是所求非线性方程组的一组解. 改进方法：在指定求根区域D内，选定一个随机点x0作为随机搜索的出发点。在算法的搜索过程中，假设第j步随机搜索得到的随机搜索点为xj。在第j+1步，计算出下一步的随机搜索增量xj。从当前点xj依xj得到第j+1步的随机搜索点。当Φ(x) <时，取为所求非线性方程组的近似解。否则进行下一步新的随机搜索过程。 2019/4/4

舍伍德(Sherwood)算法 设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题的输入规模为n时，算法A所需的平均时间为 这显然不能排除存在x∈Xn 使得 的可能性。希望获得一个随机化算法B，使得对问题的输入规模为n的每一个实例均有 这就是舍伍德算法设计的基本思想。当s(n)与tA (n)相比可忽略时，舍伍德算法可获得很好的平均性能。 2019/4/4

舍伍德算法 总能求得问题的一个解，且所求得的解总是正确的。 当一个确定性算法最坏情况下的计算复杂性与其在平均情况下的计算复杂性有较大差别时，可在这个确定性算法中引入随机性将它改造成一个舍伍德算法，消除或者减少这种差别。 核心思想是：设法消除最坏情形行为与特定实例之间的关联性。

舍伍德算法 例[快速排序] 平均复杂度：O(nlogn) 最坏复杂度：O(n^2) A = (n,n-1,n-2,…,1)，每次都取A1为中位数。 添加随机性后：“随机选择中位数” 在取中位数之前，随机选择一个数Ai，与A1交换。 最坏复杂度: 期望为O(nlogn)，达到最坏的概率非常小，可以忽略。 一趟排序前后

舍伍德算法 学过的Sherwood算法：快速排序算法、最坏时间线性选择算法 有时也会遇到这样的情况，即所给的确定性算法无法直接改造成舍伍德型算法。此时可借助于随机预处理技术，不改变原有的确定性算法，仅对其输入进行随机洗牌，同样可收到舍伍德算法的效果。例如，对于确定性选择算法，可以用下面的洗牌算法shuffle将数组a中元素随机排列，然后用确定性选择算法求解。这样做所收到的效果与舍伍德型算法的效果是一样的。 void Shuffle( Type a[], int n) { // 随机洗牌算法 static RandomNumber rnd ; for (int i=0;i<n;i++) { int j=rnd.Random(n-i)+i; Swap(a[i], a[j]); } 2019/4/4

舍伍德算法 跳跃表： 舍伍德型算法的设计思想还可用于设计高效的数据结构； 如果用有序链表来表示一个含有n个元素的有序集S，则在最坏情况下，搜索S中一个元素需要(n)计算时间。 提高有序链表效率的一个技巧是在有序链表的部分结点处增设附加指针以提高其搜索性能。在增设附加指针的有序链表中搜索一个元素时，可借助于附加指针跳过链表中若干结点，加快搜索速度。这种增加了向前附加指针的有序链表称为跳跃表。

舍伍德算法 应在跳跃表的哪些结点增加附加指针以及在该结点处应增加多少指针完全采用随机化方法来确定。这使得跳跃表可在O(logn)平均时间内支持关于有序集的搜索、插入和删除等运算。 2019/4/4

舍伍德算法 在一般情况下，给定一个含有n个元素的有序链表，可以将它改造成一个完全跳跃表，使得每一个k级结点含有k+1个指针，分别跳过2k-1，2k-1-1，…，20-1个中间结点。第i个k级结点安排在跳跃表的位置i2^k处，i0。这样就可以在时间O(logn)内完成集合成员的搜索运算。在一个完全跳跃表中，最高级的结点是logn级结点。 2019/4/4

舍伍德算法 完全跳跃表与完全二叉搜索树的情形非常类似。它虽然可以有效地支持成员搜索运算，但不适应于集合动态变化的情况。集合元素的插入和删除运算会破坏完全跳跃表原有的平衡状态，影响后继元素搜索的效率。 为了在动态变化中维持跳跃表中附加指针的平衡性，必须使跳跃表中k级结点数维持在总结点数的一定比例范围内。 注意到在一个完全跳跃表中，50%的指针是0级指针；25%的指针是1级指针；…；(100/2k+1)%的指针是k级指针。 因此，在插入一个元素时，以概率1/2引入一个0级结点，以概率1/4引入一个1级结点，…，以概率1/2k+1引入一个k级结点。 另一方面，一个i级结点指向下一个同级或更高级的结点，它所跳过的结点数不再准确地维持在2i-1。经过这样的修改，就可以在插入或删除一个元素时，通过对跳跃表的局部修改来维持其平衡性.

舍伍德算法 2019/4/4

舍伍德算法 在一个完全跳跃表中，具有i级指针的结点中有一半同时具有i+1级指针。为了维持跳跃表的平衡性，可以事先确定一个实数0<p<1，并要求在跳跃表中维持在具有i级指针的结点中同时具有i+1级指针的结点所占比例约为p。 为此目的，在插入一个新结点时，先将其结点级别初始化为0，然后用随机数生成器反复地产生一个[0，1]间的随机实数q。如果q<p，则使新结点级别增加1，直至qp。 由此产生新结点级别的过程可知，所产生的新结点的级别为0的概率为1-p，级别为1的概率为p(1-p)，…，级别为i的概率为pi(1-p)。如此产生的新结点的级别有可能是一个很大的数，甚至远远超过表中元素的个数。为了避免这种情况，用 作为新结点级别的上界。其中n是当前跳跃表中结点个数。当前跳跃表中任一结点的级别不超过 2019/4/4

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 算法特点 一旦得到问题的一个解，一定是正确的。但是，这种算法所作随机性决策可能导致找不到解。 可通过多次调用同一Las Vegas算法来增加得到问题解的概率。

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 拉斯维加斯算法的一个显著特征是它所做的随机性决策有可能导致算法找不到所需要的解。 void obstinate(Object x, Object y) { // 反复调用拉斯维加斯算法LV(x,y)，直到找到问题的一个解y bool success= false; while (!success) success=lv(x,y); } 设p(x)是对输入x调用拉斯维加斯算法获得问题的一个解的概率。一个正确的拉斯维加斯算法应该对所有输入x均有p(x)>0。 设t(x)是算法obstinate找到具体实例x的一个解所需的平均时间 ,s(x)和e(x)分别是算法对于具体实例x求解成功或求解失败所需的平均时间，则有： 2019/4/4

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 例1：N-皇后问题 2019/4/4

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 随机 “爬山法” 局部极大值 Vs 全局最优值 随机重新开始 完备性接近1 对于3,000,000个皇后，可在1分钟以内找到解

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 QueensLV( n ) { //随机放置n个皇后的拉斯维加斯算法 int k = 1; //下一个放置的皇后编号 int count = 1; while( ( k <= n) && (count > 0) ) { count = 0; //寻找第i个皇后可能放的所有合法位置 for ( int i = 1; i <= n; i++){ x[k] = i; if( Place(k) ) y[count++] = i; } //从合法位置中随机选择一个位置 if( count > 0 ) x[k++] = y[Random(count)]; return (count>0); //放置成功 Place( int k) { //判断皇后k置于第x[k]列的合法性 for( int j=1; j<k; j++) if( (abs(k-j) == abs( x[j] – x[k])) || (x[j] == x[k])) return false; return true; } 2019/4/4

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 如果将上述随机放置策略与回溯法相结合，可能会获得更好的效果。可以先在棋盘的若干行中随机地放置皇后，然后在后继行中用回溯法继续放置，直至找到一个解或宣告失败。随机放置的皇后越多，后继回溯搜索所需的时间就越少，但失败的概率也就越大。 stopVegas p s e t 1.0000 262.00 -- 5 0.5039 33.88 47.23 80.39 12 0.0465 13.00 10.20 222.11 2019/4/4

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 Backtrack( int t ) { //解n后问题的回溯法 if ( t> n ) return x; //找到解 else for( int i=1; i<=n; i++ ) { x[t] = i; if( Place( t) && Backtrack( t+1 ) ) return true; } return false; //与回溯法相结合的解n后问题的拉斯维加斯算法 void nQueen( int n) { int stop = 5; //表示初始随机放置的皇后个数 if( n >15) stop = n-15; while( QueensLV( stop ) ); if ( Backtrack( stop + 1) ) //算法的回溯搜索部分 打印出解； } 2019/4/4

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 例2 : 整数因子分解 设n>1是一个整数。关于整数n的因子分解问题是找出n的如下形式的唯一分解式： 。 其中，p1<p2<…<pk是k个素数，m1,m2,…,mk是k个正整数。如果n是一个合数，则n必有一个非平凡因子x，1<x<n，使得x可以整除n。 给定一个合数n，求n的一个非平凡因子的问题称为整数n的因子分割问题。

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 int Split(int n) { int m = floor(sqrt(double(n))); for (int i=2; i<=m; i++) if (n%i==0) return i; return 1; } 事实上，算法split(n)是对范围在1～x的所有整数进行了试除而得到范围在1～x2的任一整数的因子分割。

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 Pollard算法 在开始时选取0～n-1范围内的随机数，然后递归地由 产生无穷序列 对于i=2k，以及2k<j2k+1，算法计算出xj-xi与n的最大公因子d=gcd(xj-xi，n)。如果d是n的非平凡因子，则实现对n的一次分割，算法输出n的因子d。

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 Pollard算法 void Pollard(int n) {// 求整数n因子分割的拉斯维加斯算法 RandomNumber rnd; int i=1; int x=rnd.Random(n); // 随机整数 int y=x; int k=2; while (true) { i++; x=(x*x-1)%n; // int d=gcd(y-x,n); // 求n的非平凡因子 if ((d>1) && (d<n)) cout<<d<<endl; if (i==k) { y=x; k*=2;} } } 对Pollard算法更深入的分析可知，执行算法的while循环约 次后，Pollard算法会输出n的一个因子p。由于n的最小素因子p ，故Pollard算法可在O(n1/4)时间内找到n的一个素因子。

拉斯维加斯(Las Vegas)算法 例3 字符串匹配 哈希查找概述 简单的哈希函数 字符串匹配算法总结 字符串匹配的拉斯维加斯算法

哈希查找概述 哈希查找算法是一个高效的算法，如果设计得当，可以通过O(1)的比较次数找到所需元素 哈希查找算法不可避免地会有地址冲突的问题 哈希算法的思想有许多其他的应用，例如在挖掘关联规则的过程中利用哈希查找的办法发现二次的大项集

简单的哈希函数 网络传输的冗余位就是一个哈希函数 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 虽然不能保证冗余位相同的两个字节相同，但冗余位不同的两个字节一定是不同的 网络传输中的一位出现了错误是能够发现的，而这又是最常见的情况

字符串匹配算法总结 朴素的匹配算法。时间复杂度O(mn) KMP算法。时间复杂度O(m+n)

字符串匹配的拉斯维加斯算法 一个简单例子：假设字符集是{a, b, c, d}。在母串“b c b c c d a b c”中查找子串“c d a” 任意取一个素数19（在计算允许的情况下越大越好） 把子串“c d a”变换成4进制数2 3 0，这个数对应的十进制数是44，模19之后的数是6 计算母串的前3个字符的4进制模19的数值，是6，因此，前3个字符构成的子串有可能和模式串匹配，通过朴素的算法发现它们不匹配

字符集是{a, b, c, d}。母串“b c b c c d a b c”中查找子串“c d a” 由“b c b”的哈希值可以花费O(1)的计算得到“c b c”的哈希值。计算过程如下：(6-16*1)%19 = 9；(9*4)%19 = 17, (17+2)%19=0，即“c b c”的哈希值是0。通过验证可以发现这个计算是正确的。 依次可以计算“bcc”、 “ccd”、……的哈希值。如果和模式串的哈希值6相同，则朴素匹配验证；否则，掠过。

基于哈希计算的字符串匹配算法是拉斯维加斯型概率算法，母串的子串与模式串的哈希值相等时并不能保证匹配成功，而需要用朴素的方式进行验证 拉斯维加斯型概率算法的时间复杂度是O(m+n),当伪匹配大量出现时,复杂度会有所增加 当所选素数足够大时，能够保证不出现伪匹配。但算法所能容忍的素数大小与计算机的处理位数有关。例如，64位机所能采用的素数不会超过264。否则，虽然减少了伪匹配的可能性，但增加了每次移动窗口所需的计算量

蒙特卡罗算法 算法特点 在实际应用中常会遇到一些问题，不论采用确定性算法或随机化算法都无法保证每次都能得到正确的解答 Monte Carlo算法以高概率给出正确解 通常无法判定一个具体解是否正确。 可通过重复调用同一个Monte Carlo算法多次来提高获得正确解的概率。 2019/4/4

蒙特卡罗算法 设p是一个实数，且1/2<p<1。如果一个蒙特卡罗算法对于问题的任一实例得到正确解的概率不小于p，则称该蒙特卡罗算法是p正确的，且称p-1/2是该算法的优势。 如果对于同一实例，蒙特卡罗算法不会给出2个不同的正确解答，则称该蒙特卡罗算法是一致的。 有些蒙特卡罗算法除了具有描述问题实例的输入参数外，还具有描述错误解可接受概率的参数。这类算法的计算时间复杂性通常由问题的实例规模以及错误解可接受概率的函数来描述。 2019/4/4

蒙特卡罗算法 对于一个一致的p正确蒙特卡罗算法，要提高获得正确解的概率，只要执行该算法若干次，并选择出现频次最高的解即可。 如果重复调用一个一致的(1/2+)正确的蒙特卡罗算法2m-1次，得到正确解的概率至少为1-，其中， 对于一个解所给问题的蒙特卡罗算法MC(x)，如果存在问题实例的子集X使得： (1)当xX时，MC(x)返回的解是正确的； (2)当xX时，正确解是y0，但MC(x)返回的解未必是y0。 称上述算法MC(x)是偏y0的算法。 重复调用一个一致的，p正确偏y0蒙特卡罗算法k次，可得到一个O(1-(1-p)k)正确的蒙特卡罗算法，且所得算法仍是一个一致的偏y0蒙特卡罗算法。 2019/4/4

蒙特卡罗算法 例1 [主元素问题]： 定义：数列中，是否有出现次数超过一半的元素。 算法：随机选择一个数，扫描出现次数。若超过一半，输出“YES”，否则输出“NO”。 分析：算法时间复杂度为O(n)。正确的概率>1/2。数次调用，可使得正确概率接近1。 有确定性O(n)的算法

蒙特卡罗算法 例1 [主元素问题]： 设T[1:n]是一个含有n个元素的数组。当|{i|T[i]=x}|>n/2时，称元素x是数组T的主元素。 bool Majority(Type *T, int n) { // 判定所给数组T是否包含主元素 //的蒙特卡罗算法 int i=Random(n)+1; Type x=T[i]; // 随机选择数组元素 int k=0; for (int j=1;j<=n;j++) if (T[j]==x) k++; return (k>n/2); // k>n/2 时T含有主元素 } 说明：算法对随机选择的数组元素x，测试它是否为数组T的主元素。 如果算法返回true，则x肯定是数组 T的主元素。 反之，返回false，数组T未必没有 主元素。可能数组包含主元素，但 是元素x不是主元素。 由于数组T的非主元素个数小于 n/2，故这种情况发生的概率小于 1/2，因此上述判定数组T的主元素 存在性的算法是一个偏真的1/2正确 算法。 2019/4/4

蒙特卡罗算法 通过重复调用Majority算法可以把错误概率降低到任何可以接受的范围： bool MajorityMC(Type *T, int n, double e) { // 重复调用算法Majority int k=ceil(log(1/e)/log(2)); for (int i=1;i<=k;i++) if (Majority(T,n)) return true; return false; } 对于任何给定的>0，算法majorityMC重复调用log(1/) 次算法majority。它是一个偏真蒙特卡罗算法，且其错误概率小于。算法majorityMC所需的计算时间显然是O(nlog(1/ ))。 2019/4/4

蒙特卡罗算法 例2[素数测试]： (2) 费尔马小定理：如果p是一个素数，且0<a<p，则ap-1(mod p)=1。 (1) Wilson定理：对于给定的正整数n，判定n是一个素数的充要条件是 (n-1)! -1(mod n)。 * 其中，Wilson定理具有很高的理论价值，但是实际用于素性测试所需要计算量太大，无法实现对较大素数的测试。 (2) 费尔马小定理：如果p是一个素数，且0<a<p，则ap-1(mod p)=1。 *费尔马小定理只是给出了素数判定的一个必要条件，满足该条件的整数不一定就是素数。如n=341就是满足该条件的最小合数。 (3) 二次探测定理：如果p是一个素数，且0<x<p，则方程x21(mod p)的解为x=1，p-1。 2019/4/4

蒙特卡罗算法 例2[素数测试]： Miller-Rabin随机测试 基于两个定理： Fermat小定理 二次探测定理 过程：假设n-1=2rs，随机产生a，依次考察 as mod n, a2s mod n, … , an-1mod n， 该序列必定以1结束，且在第一次出现1之前的值必定是n-1。 每次测试失败的概率小于1/4。 多次重复可以极大概率得到正确解。

蒙特卡罗算法 下面算法power用于计算ap mod n，并在计算过程中实施对n的二次探测！ void power( unsigned int a, unsigned int p, unsigned int n, unsigned int &result, bool &composite) { // 计算mod n，并实施对n的二次探测 unsigned int x; if (p==0) result=1; else { power(a,p/2,n,x,composite); // 递归计算 result=(x*x)%n; // 二次探测 if ((result==1)&&(x!=1)&&(x!=n-1)) composite=true; if ((p%2)==1) // p是奇数 result=(result*a)%n; } 2019/4/4

蒙特卡罗算法 在算法power基础上，可以设计素数测试的蒙特卡罗算法Prime如下： bool Prime(unsigned int n) { // 素数测试的蒙特卡罗算法 RandomNumber rnd; unsigned int a, result; bool composite=false; a=rnd.Random(n-3)+2; power(a,n-1,n,result,composite); if (composite||(result!=1)) return false; else return true; } 说明：Prime算法返回false时，整数n一定是一个合数。当返回true时，整数n在高概率的意义下是一个素数。即仍然可能存在合数n，对于随机选取的基数a，算法返回true。但对于上述算法的深入分析表明，当n充分大时，这样的基数a不超过(n-9)/4个。即——算法prime是一个偏假3/4正确的蒙特卡罗算法。 2019/4/4

蒙特卡罗算法 上述Prime算法的错误概率可以通过多次重复调用而迅速降低。重复k次调用算法prime的蒙特卡罗算法primeMC如下： primeMC(int n, int k) { //重复k次调用算法Prime的蒙特卡罗算法 rnd = new Random( ); int a, result; composite = false; for ( int i = 1; i <= k; i++ ) { a = rnd.random(n-3) + 2; result = power( a, n-1, n); if( composite || (result != 1) ) return false; } return true; 容易算出算法primeMC的错误概率不超过(1/4)k。这是一个很保守的估计，实际使用的效果要好得多。 2019/4/4

蒙特卡罗算法 其他应用 测试串相等(通信纠错) 模式匹配 随机抽样 ……

几类算法的比较

简单应用 洗牌 多种洗牌算法 常见的一种算法： 保证每个位置出现任何一张牌的概率均相等 1 n  length[A] 2 for i  1 to n 3 do swap A[i]  A[Random(1,n)]

简单应用 s-t连通性算法 无向图G=(V,E), s,t为G上两点。令n=|V|，m=|E|。希望确定是否存在一条连接s和t的路。 随机算法：从s开始随机游动，如果在4n3步之内到达t，则返回存在一条路；否则，返回不存在路。 算法以1/2的概率返回正确结果。 S到T有路吗？

简单应用 最小割随机算法 无向图G =(V，E) 中找最小边割集。 算法：每次随机选一条边，合并该边对应的顶点。重复该过程n-2次。最后剩下两点之间的边，就是一个割集。 此方法至少以2/n(n-1)的概率输出最小割集。 重复上述方法n(n-1)lnn次，输出不是一个割集的概率≤1/n2。

例题分析1 给出3个n*n（n≤500）的矩阵A，B，C，验证A*B=C? n^3算法会超时。 n^2的概率算法： 随机置换法则：如果比特向量a ≠b, r为随机向量，那么 Pr[(a,r) ≠(b,r)] ≥ 1/2 随机一个1*n的向量r，验证A*B*r=C*r，若成立，输出 “YES”，否则输出“NO”。 如果A*B≠C，算法以1/2的概率输出“NO”！

例题分析2 有一堆数，需要分为两堆。要求两堆之间元素个数差不超过1，并且两堆和的差值尽量小。（元素个数≤100,元素值≤ 450） 动态规划可以解决。 随机算法如下： 1. 计算两堆的大小后，随机分为两堆。 2. 随机选择两堆中的数，如果交换后差变小，则交换。 3. 重复2，直到多次交换未发生。更新答案。 4. 回到1，重新开始。

随机算法小结 确定型算法 Vs 随机算法 确定型算法：对某个特定输入的每次运行过程是可重复的，运行结果是一样的. 随机算法：对某个特定输入的每次运行过程是随机的，运行结果也可能是随机的. 随机算法的优势 在许多情况下，随机性选择通常比最优选择省时，可以很大程度上降低算法的计算复杂度； 在运行时间或者空间需求上随机算法比确定型算法往往有较好的改进 随机算法设计简单

随机算法小结 数值随机算法常用于数值问题的求解。在许多情况下，计算问题的精确解是不可能或者没有必要的，数值随机算法可以得到相当满意的解； 蒙特卡罗算法一定可以得到问题的解，但是得到的解未必是正确的。解的正确概率依赖于算法所用的时间； 拉斯维加斯算法所找到的解一定是正确的解，但是有时该算法无法找到问题的解。算法找到问题的正确解的概率也依赖于所用的计算时间； 舍伍德算法总能求得问题的正确解，它用于改善确定性算法的时间复杂度。其主要思想是：避免算法最坏情况，设法消除最坏情形和特定实例之间的关联。 2019/4/4

谢谢！ Q & A 2019/4/4