第八章 组合变形

8-1 组合变形的概念 在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题。 8-1 组合变形的概念 一、组合变形的概念： 在外力的作用下，构件同时发生两种或两种以上的基本变形，且每一种基本变形所产生的变形参量属同一数量级的变形，称为组合变形。 在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题。 所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形参量等于各个力单独作用下变形参量的总和（叠加）。 二、组合变形的分类： 1、拉(压）---弯组合变形 2、斜弯曲 3、弯—扭组合变形

举例 RA HA Tx Ty T B 2m 1m 1.5m P A C C A B P 12kN·m _ M 24kN _ N

三、解决组合变形问题的基本步骤： 1、外力分析： 将外载荷进行简化（平移、分解），得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形，以判别组合变形的类型。 2、内力分析： 分别画出每一基本变形的内力图，以确定危险截面。 3、应力分析： 分别画出每一种基本变形在危险截面的应力分布图，以确定组合变形的危险点。 4、强度分析： 将危险点从构件中取出，根据其受力情况选择适当的强度理论，对构件进行强度计算。

8-2 弯曲与拉伸的组合变形 一、外力分析： 杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸的组合

偏心拉伸也形成了弯曲与拉伸的组合变形 链环受力 立柱受力

在Py作用下： 在Px作用下：

二、应力分析 根据叠加原理，可得 横截面上的总应力为 危险截面处的弯矩 强度条件为 抗弯截面模量

例8-1 悬臂吊车,横梁由 25 a 号工字钢制成，l=4m，电葫芦重Q1=4kN，起重量Q2=20kN, =30º , []=100MPa，试校核强度。 （1）外力分析 a、〔 AB 〕 b、受力如图b所示。 梁 上载荷为 P =Q1+Q2 = 24kN，斜杆的拉力S 可分解为XB和YB 横梁在横向力P和YA、YB作用下产生弯曲；同时在XA和XB作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。 当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。

（2）内力和应力分析 由横梁的弯矩图可知在梁中点截面上的弯矩最大。

从型钢表上查 25a 号工字钢 横梁所受的轴向压力为 则危险截面上的压应力为

梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为 （3）强度分析 此悬臂吊车的横梁是安全的

例8-2 钻床 P =15kN， e = 40cm，[T]=35MPa ,[C]=120MPa.试计算铸铁立柱所需的直径。 （1）内力分析： 将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，求出立柱的轴力和弯矩分别为 （2）强度分析 求解d的三次方程

因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，优先考虑按弯曲强度条件设计截面尺寸。 设计中常采用的简便方法： 因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，优先考虑按弯曲强度条件设计截面尺寸。 解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代入偏心拉伸的强度条件校核 满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm

例8-3 一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度 b=8cm, 厚度=1cm, 槽半径 r=1cm, P=80kN, 钢板许用应力[]=140MPa。试对此钢板进行强度校核。 截面1-1的轴力和弯矩分别为

计算结果表明，钢板在截面1-1处的强度不够。 轴力N 和弯矩在半圆槽底部的 a 点处都引起拉应力（图b)，a点即为危险点。最大应力为 计算结果表明，钢板在截面1-1处的强度不够。

由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe，使截面1-1的应力显著增加 。为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在槽的对称位置再开一槽如图c。这样就避免了偏心拉伸。 此时截面1-1上的应力(如图d)为 此时钢板在截面1-1处满足强度条件。

8-3 弯曲与扭转的组合变形 1. 弯扭组合实例

2. 弯扭组合常用计算公式的建立 （1）外力分析：将力P向A端面形心平移，得到一横向力P和力偶矩为TA=PR的力偶，杆AB受力情况如图b。 （2）外力分析：圆杆的弯矩图和扭矩图如图c、d 危险截面在杆的根部（固定端） （3）应力分析

在杆的根部取一单元体分析 计算主应力 （4）强度分析 选择第三、第四强度理论

例8-4 手摇绞车 d=3cm, D=36cm，l =80cm，[]=80MPa.按第三强度理论计算最大起重量Q. （1）外力分析 将载荷Q向轮心平移，得到作用于轮心的横向力Q和一个附加的力偶，其矩为TC=QD/2 。轴的计算简图如图b所示。 （2）内力分析 绞车轴的弯矩图和扭矩图如图c、d所示。

由图可见危险截面在轴的中点C处，此截面的弯矩和扭矩分别为： （3）强度分析 即最大安全载荷为790N。

圆轴双向弯曲的弯矩问题 1 公式仅对圆轴复合弯曲适用。 2 公式可用于任何受力形式的圆轴的复合弯曲部分。 3 平面弯曲可看成它的特例。 Py x Pz L z 1 公式仅对圆轴复合弯曲适用。 2 公式可用于任何受力形式的圆轴的复合弯曲部分。 3 平面弯曲可看成它的特例。 y Py P Mz M=PL x My Pz z

例8-5 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm，D2=168mm，  =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。 （1）外力分析： 取一空间坐标系Oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力P1z 、 P2y和径向力 P1y 、 P2z ，它们分别平行于y轴和z轴。再将两个切向力分别向齿轮中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶。

TC和TD使轴产生扭转，P1y、P2y和P1z、P2z则分别使轴在平面Oxy和Oxz内发生弯曲

（2）内力分析： 在平面Oxz内，由平衡条件可求得轴承A、B处的支座反力为： 画出平面Oxz内的弯矩 My 图，如图 d 中的水平图形。

在平面Oxy内的弯矩Mz图，如图d中的铅垂图形。画出轴的扭矩图如图c所示。 同样，可求得在平面Oxy内轴承A、B处的支座反力为： 在平面Oxy内的弯矩Mz图，如图d中的铅垂图形。画出轴的扭矩图如图c所示。 这是双向弯曲，求出合弯矩 M 为

由比较知，在截面D上的合成弯矩最大。又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为： （3）强度分析 轴强度足够