12.3.1运用公式法 —平方差公式

复习 整式 乘积 1.把一个多项式化为几个 的 的形式,就是因式分解. 2.用提公因式法把下列各式分解因式

(a+b) (a+b) ( ? ) · ( ? ) ( ? ) · ( ? ) (a-b) (a-b) =a2-b2 多项式 a2-b2

平方差公式： 整式乘法 a² - b² = (a+b)(a-b) 因式分解 (a+b)(a-b) = a² - b² 平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 a² - b² = (a+b)(a-b) 整式乘法 因式分解

公式：a2-b2=（a+b）(a-b) 平方差公式的项、指数、符号有什么特点？ ⑴左边是 ①二项式 ②每项都是平方的形式 ③两项的符号相反 ⑵右边是 ①两个多项式的积 ②一个因式是两数的和 ③另一个因式是这两个数的差 ⑶在乘法公式中，“平方差”是计算结果； 在因式分解中，“平方差”是要分解的多项式。

练习：分解下列各式: （1）x2-16 （2）9m2-4n2 解：(1) x2－16 x x ４ ４ ＝x2 － 42 x2 42 ＝ (　　 ) ( 　　) ＋ － ……① a2 － b2 ＝ (　　 ) ( 　　) ＋ － a b a b (2) 9m2-4n2 3m 3m 2n 2n ＝(3m)2 － (2n)2 (3m)2 (2n)2 ＝ (　 　 ) ( 　　 ) ＋ － ……② a2 － b2 ＝ ( ) ( 　 ) ＋ － a b a b

例1.把下列各式分解因式 （1）16a²- 1 ( 2 ) –9x² + 4m2 ( 3 ) — x² - — y² 解：16a²-1=(4a)² - 1 =(4a+1)(4a-1) 解:原式=(2m+3x)(2m-3x) 1 9 25 16 解: 原式=

例2.把下列各式因式分解 1)(x + y + z)² - (x – y – z )² 2)4( a + b)² - 25(a - c)² 3)4a³ - 4a 解：原式=[(x+y+z)+(x-y-z)][(x+y+z)- (x-y-z)] =2 x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z ) 解：原式=[2(a+b)]²-[5(a-c)]² =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)] =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) 解：原式=4a(a²-1)=4a(a+1)(a-1)

例3：平方差公式的应用： 1、利用分解因式简便计算 (1) 652-642 (2) 5.42-4.62 (3) (4) 解:652-642 (1) 652-642 (2) 5.42-4.62 解:652-642 =(65+64)(65-64) =129×1 =129 解:5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =10×0.8 =8 (3) (4) 答案:5 答案:28

1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。 小结： 1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。 2.公式 a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”思想的运用。如4( a + b)² - 25(a - c)²

3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。 4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再考虑运用平方差公式分解因式。 2x3-8x=2x(x2-4) =2x(x+2)(x-2)

1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y² 巩固练习：1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y² -4a² +1分解因式的结果应是 （ ） -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1) -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) D D

(x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); (C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8). D 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 解：1)原式=2(9-b2)=2(3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1) 3. x2-64因式分解为( ). (x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); (C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8).   D 4. 64a8-b2因式分解为( ). (A) (64a4-b)(a4+b); (B) (16a2-b)(4a2+b); (C) (8a4-b)(8a4+b); (D) (8a2-b)(8a4+b). C

若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数. 课后练习 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 若x=-3,求20x2-60x的值. 1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除? 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.

总结： 1.具有两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。 2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简， 直到不能再分解为止。