簡介與使用說明 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』

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§ 平行四边形的定义、性质 平行四边形 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网
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簡介與使用說明 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』 為使初學幾何者更有效率學習所整理的簡報教材, 儘可能使用直觀的「操作模式」來引導、解說圖形性質。 使用說明: 這是 Power Point 2002 簡報檔,動畫表現還可接受, 按滑鼠左鍵或右鍵便能持續進行, 「大綱」是學習順序與該頁的說明重點、 有些補充說明或教學心得可參考或記錄在「備忘稿」。 再提供適時的GSP圖檔強化或輔助操作說明。 【連結GSP使用說明頁】 『大綱』、『投影片』、『備忘稿』、『GSP圖檔』 四者相輔相成,互補短長。 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』是「數學領域--九年一貫綱要 」中第一項「基本理念」中的第一句話。

簡要說明 首先說明四邊形的外角和與內角和之外,由於平行四邊形是四邊形中具有較多特性的一種,所以就其性質詳加說明。 「有兩組對邊分別平行的四邊形」,就是平行四邊形。透過直接觀察平行四邊形的「產生」,再由過程中去體會推論出平行四邊形的性質與判別方法。 其它如:矩形、正方形、菱形,都是平行四邊形的特例,只簡單的介紹它們的定義。 再來也要認識「梯形的兩腰中點連線性質」與「鳶形的線對稱性」。 還有是與平行四邊形有關,很神奇的的「鴿眼翻轉」拼圖。

相同操作模式,可推得「N邊形的一組外角和=360度」。 G S P 外角和【360°】-(1) 每個內角各有兩個相鄰的外角(互為對頂角,各取其一)。 如圖,□ABCD的四個外角和等於360度, 即∠1+∠2+∠3+∠4=360°,稱為四邊形的外角和定理。 仿照「三角形外角和」, 使用「繞圈圈」方法, 可將外角和等於360度的 結論很明顯的操作出來。 3 C D 4 A 2 1 B 相同操作模式,可推得「N邊形的一組外角和=360度」。

G S P 內角和【360°】-(2) 除了可仿照三角形「繞圈圈」的操作得到結論之外,常用的方法是將四邊形做適當的分割,再應用已知的「三角形內角和=180度」求解而得。 同理,可推得「N邊形的內角和=(N-2) ×180度」。 由(N個平角和-外角和=內角和)最符合ㄧ般性的解法。

直觀操作-(1) 平行四邊形的定義是:兩組對邊分別平行。 所以,利用「定義」的方法,將兩組平行線交錯疊合,顯然形成平行四邊形。 G S P 直觀操作-(1) 平行四邊形的定義是:兩組對邊分別平行。 所以,利用「定義」的方法,將兩組平行線交錯疊合,顯然形成平行四邊形。 可參考「GSP」動畫。 想想:此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢?

直觀操作-(2) 將一線段的端點沿著直線方向平移(圖形沿相同方向移動相同距離),則其外圍軌跡形成平行四邊形。 G S P 直觀操作-(2) 將一線段的端點沿著直線方向平移(圖形沿相同方向移動相同距離),則其外圍軌跡形成平行四邊形。 可參考「GSP」動畫。 想想:此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢?

G S P 直觀操作-(3) 將兩全等且重合的三角形,以其中一塊三角形的一邊中點為旋轉中心,旋轉180度,則由「旋轉180度產生重合線段或平行線」的概念,確知對邊是對應邊互相平行,可以拼出平行四邊形。 可參考「GSP」動畫。 可直接認為兩全等三角形可以「旋轉拼出」平行四邊形。 想想:此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢?

G S P 性質與判別方法-(1) 平行四邊形的邊、角、對角線彼此之間有什麼固定不變的關係存在呢? 這種存在於特定圖形的特定關係,數學上稱為該圖形的 性質,是必須透過合理的推論過程加以解釋的。 D C B A 國中常提到的平行四邊形的性質有: (1) 兩組對邊分別平行。(定義) (2) 兩組對角分別相等。 (3) 兩組對邊分別相等。 (4) 對角線將平行四邊形分割成兩全等三角形。 (5) 兩對角線互相平分。 初學者或許很難懂得什麼是「性質」?也分不清楚推理順序。 使用「三角形全等」的推理證明很容易獲得結論,但課本還沒教。

G S P 性質與判別方法-(2) 判別方法:是指一個四邊形合乎某些條件之後,就可因此判斷、確定它是平行四邊形。 常由「性質」逆向思考、尋找(就如同數學算式的倒推)。 判別方法也是必須透過合理的推論過程加以解釋的。 國中常提到的平行四邊形的判別方法有: (1) 兩組對邊分別平行。(定義) (2) 兩組對角分別相等。 (3) 一組對邊平行且相等。 (4) 兩組對邊分別相等。 (5) 兩對角線互相平分。 (6) 對角線將四邊形分割成兩全等三角形。(Why?) 即:四邊形合乎上述(1)~(5)任一條件,那就可因此判斷、確定它是平行四邊形。 D C B A 初學者或許很難懂得什麼是「判別方法」?也分不清楚推理順序。 「將文字敘述看懂」,會有很大的幫助。

性質與判別方法-(3) 看了前述的「性質」與「判別方法」,或許有似曾相似的感覺,因為有些內容在國小時已經「知道」了。 因為是由「直觀操作(平移 旋轉 點對稱)」的過程來推論平行四邊形的「性質」與「判別方法」,實在很難將「性質」與「判別方法」切開分成兩部分各自討論。 所以,先提示「性質」與「判別方法」的內容,知道要討論的重點,那麼在解說對照時,就會比較容易明白了。 當然解釋過程與性質講解的先後順序有關,只要能「自圓其說」即可,這裡依循直觀操作-(1)(2)(3)的順序。 在僅知道平行四邊形的情況之下(對邊平行),直接勞作拼圖「疊合檢驗」對角線所分割的兩三角形全等不合學習順序,這與直接拿尺、量角器測量的結果有何差別? 基本觀念:全等  重合。(但不知全等,如何會重合?) 最後,再以「流程圖」將整個環環相扣的「操作說明」連結起來,也方便隨時查閱。

G S P 兩組對角分別相等-(性質) 使用『操作-(1)』可以作出任意的平行四邊形, 先備經驗:【過直線外一點恰有一條平行線】、 【重合(共線) 平移  平行】。 因為「平移」可得「同位角」相等,又兩相交直線,產生 「對頂角相等」,進而推得「對角相等」。 初學者要避免使用「推理證明」的文字敘述解說方式。 所以,解說【對角相等】採用「平移」操作,雖然比較繁瑣,但是平行線的性質不就是「平移旋轉」操作出來的「文字描述」嗎? 【重合(共線)  平移  平行】 結論(性質之2):平行四邊形的兩組對角分別相等。

兩組對角分別相等-(判別) 反之,若一四邊形有兩組對角分別相等, 如圖,由四邊形內角和為360度, 可以推算出兩鄰角的和為180度(∠A+∠D=180°), 則∠A與∠D的外角(∠1)相等, 因為有一邊共線,表示∠A可平移至∠1, 所以,對邊(對應邊)     平行。 同理,另一組對邊     也會平行。 推得四邊形的兩組對邊分別平行, 由定義知,此四邊形為平行四邊形。 AB 與 DC AD 與 BC D C B A 1 使用「平移」的操作觀念說明平行。 【全等圖 或 等角 可經由 平移、旋轉、對稱 使之 重合】 【重合(共線)  平移  平行】 結論(判別之2):若四邊形的兩組對角分別相等, 則是平行四邊形。

一組對邊平行且相等-(判別) 使用『操作-(2)』,將線段端點貼齊直線平移,其外圍軌跡 形成平行四邊形,且在操作過程確定對邊相等。 G S P 一組對邊平行且相等-(判別) 使用『操作-(2)』,將線段端點貼齊直線平移,其外圍軌跡 形成平行四邊形,且在操作過程確定對邊相等。 將  的端點A,貼齊直線L,沿著直線平移至  處。 因為「平移」,所以     且     , 又A點沿著直線路徑平移到D點, 所以B點也會沿著相同方向(沒有旋轉)  與相同路徑長度平移到C點, 所以     且     。 AD // BC AB // DC AD = BC AB = DC AB DC L D C A B 結論:由線段平移所作出的平行四邊形,其對邊等長。 結論(判別之3):若四邊形有一組對邊平行且相等 (線段平移),則是平行四邊形。

兩組對邊分別相等-(性質) 利用「線段平移」作出的平行四邊形,其對邊等長。 但若先給予平行四邊形,如何說明其對邊等長呢? 想法:任意給予的平行四邊形都可利用「線段平移」方法 把它給作出來,如此就可說「對邊等長」了。 L (1) 先給予平行四邊形PQRS,作直線L=  ,    。將  沿著L平移至S點,設為 D點,則P、Q、S分別與A、B、D重合。 PS AB=PQ AB S D C R (1) 線段是直線的一部分,兩線段的交點與把兩線段延長成為直線的交點是同一個點。 (2) 線段重疊,則直線重合。兩相異直線有唯一交點。 P A B Q (2) 過直線外一點,恰可作出一條平行線。 故平移至S點的  與 重疊;B點的平移軌跡(線段) 與 重疊,可推得C點也與R點重合。(參閱備忘稿) SR QR AB 結論(性質之3):平行四邊形的兩組對邊分別相等。

對角線分割成兩全等三角形-(性質) 好不容易得到的性質要「善加利用」, 現在已經推得「平行四邊形的對邊相等」。 則連接平行四邊形對角線所分割的兩個三角形,其三邊分別對應相等(再加上對角線產生的公共邊),之前在相似形與三角形單元(三角形的穩定性)已分別討論,合乎「SSS作圖全等」條件,所以,兩三角形會全等。 已經推論過的性質,可以直接的「應用」,現學現用。 「SSS作圖全等」在「相似形」與「三角形」單元已經使用「穩定性」說明。 透過自己操作過程中,並無法再改變三角形的形狀大小進而了解「SSS」。 結論(性質之4):對角線將平行四邊形分成兩全等三角形。

G S P 兩組對邊分別相等-(判別) 兩個全等的三角形可旋轉拼出平行四邊形或鏡射拼出鳶形。 若四邊形的兩組對邊分別相等,則連接對角線所分割的兩個 三角形,合乎「SSS作圖全等」條件,所以會全等。 因為對邊是對應邊相等,故知兩全等三角形拼出的不是 鳶形,而是旋轉180度拼出的平行四邊形。 D A B C 這利用「直觀操作-3」所推得的結果。 「SSS作圖全等」在「相似形」與「三角形」單元已經使用「穩定性」說明。 透過自己操作過程中,並無法再改變三角形的形狀大小進而了解「SSS」。 結論(判別之4):若四邊形有兩組對邊分別相等, 則是平行四邊形。

對角線互相平分-(性質) 任意的平行四邊形可被其對角線分割成兩個全等三角形, 故可以其中一條對角線的中點為旋轉中心旋轉180°,將兩三角形互相重合。所以,平行四邊形是「點對稱圖形」。 再由旋轉操作過程知道另一條對角線端點正好互為對稱點,而旋轉中心是對稱點所連接的線段(對角線)的中點,所以對稱中心是兩對角線的交點,且兩對角線互相平分。 全等圖形可經由「平移、旋轉、對稱」使之重合。 這裡發現以一三角形的一邊的中點為旋轉中心,採用「旋轉180度」方法,可使兩全等三角形重合。因為對角線是對應相等且公用重合的邊,除非不動,否則就是「旋轉180度」仍然保持重合。 結論(性質之5):平行四邊形的兩對角線互相平分。

對角線互相平分-(判別) 反之,若一四邊形的兩對角線互相平分, 如圖,     互相平分,交點O是「旋轉中心」,則 (A與C)、(B與D)互為對稱點,在平移、旋轉、對稱的圖形中,由對稱點所連接的圖形是會全等的。【參閱備忘稿】 所以,由(A-B-C-A)所連接的三角形與由其對稱點 (C-D-A-C)所連接的三角形會全等。故知此四邊形可由兩全等三角形旋轉180度拼出,是為平行四邊形。 AC 與 BD 當然也可由對稱點所連接的兩組線段(對應邊)相等(或平行),說明四邊形是「平行四邊形」。 D C O A B 結論(判別之5):若四邊形兩對角線互相平分, 則是平行四邊形。

流程整理 九年級時記得「體會比較」使用「文字敘述」的推論過程。 判別方法 直觀操作 性質推論 對邊平行 對邊平行 兩組交錯的平行線 對角相等 G S P 流程整理 判別方法 直觀操作 性質推論 對邊平行 對邊平行 兩組交錯的平行線 對角相等 對角相等 一組對邊平行且相等 線段平移 平行四邊形 對邊相等 還沒有學「全等三角形」的性質之前,這是可「合理解釋」的一種操作模式。 對邊相等 對角線分成兩全等△ 兩全等△旋轉拼圖 對角線互相平分 對角線互相平分 九年級時記得「體會比較」使用「文字敘述」的推論過程。 下一頁 返回

平行四邊形的特例 矩形:四個角都是直角(90°)的四邊形。 合乎「對角相等」,所以矩形也是平行四邊形。 特點:對角線互相平分且等長。 菱形:四個邊等長的四邊形。 合乎「對邊相等」,所以菱形也是平行四邊形。 特點:對角線互相垂直平分。 正方形:四個邊等長與四個角都是直角(90°)的四邊形。 合乎「對邊、對角相等」,所以正方形也是平行四邊形, 正方形也是菱形,正方形也是矩形。 特點:對角線等長且互相垂直平分。

對邊相等的尺規作圖 認識了解「平行四邊形」之後,介紹一個最方便、簡單, 可使用「直尺、圓規」工具正確作出平行四邊形的方法。 步驟:先任作兩鄰邊,再作分別相等的對邊。 雖然沒正式介紹「尺規作圖」,但還是可用尺規先作給學生看,畢竟此時是最好的時機。 你知道作圖的理由根據嗎?

面積問題-(1) 兩對角線將平行四邊形分成四個小三角形, 可推算出「面積相等」。(上下全等、左右全等) 兩對角線將平行四邊形分成四個小三角形, 可推算出「面積相等」。(上下全等、左右全等) 又平行四邊形是「點對稱圖形」,通過「對稱中心」的直線都會將它分成「全等」的兩塊,每塊面積是全部的一半。 在「點對稱」單元,已經說明過點對稱圖形的「對稱全等」特性。

面積問題-(2) 如圖,P 是平行四邊形ABCD 內部任一點, 則 △PAB+△PCD=△PBC+△PAD 。 簡單說明如下: G S P 面積問題-(2) 如圖,P 是平行四邊形ABCD 內部任一點, 則 △PAB+△PCD=△PBC+△PAD 。 簡單說明如下: 過 P 點分別作各邊的平行線,可產生四個小的平行四邊形 ,而平行四邊形的對角線會將其分割成兩個全等三角形。 P C D B A

平行四邊形對邊中點連線 如圖,平行四邊形ABCD,E、F分別是 是中點, 則, 且 。 AB//EF//CD AB=EF=CD AD、BC 回想「線段平移」: 在相同對應位置所得到的線段與原線段會相等且平行。 A B D C 平移對應的觀念。 E F 矩形、菱形、正方形也是平行四邊形,當然也有此性質。

回顧三角形兩邊中點連線性質-(1) 如圖,連接△ABC兩邊中點的線段( ),會與第三邊 平行,且其長度是第三邊長度的一半。 G S P 回顧三角形兩邊中點連線性質-(1) 如圖,連接△ABC兩邊中點的線段( ),會與第三邊 平行,且其長度是第三邊長度的一半。 DE A B C D E D’ 利用旋轉拼圖變型成「平行四邊形」可解釋「三角形兩邊中點連線性質」。 A’ 將△ADE以E點為旋轉中心,旋轉180度後,可拼成四邊形,再由一組對邊平行且相等知道此四邊形是平行四邊形。 所以    且    。 DE//BC BC=2DE

連接三角形三邊中點-(2) 若是依序連接△ABC三邊中點,則可得 三個平行四邊形(不一定全等) 與 四個全等的三角形(都是△ABC的1/2倍縮小圖)。 A B C A D E 進一步說明連接「三角形三邊中點」所形成的圖形。 B C F 換個觀點:分別過△DEF的頂點作對邊的平行線,則同樣可得三個平行四邊形(不一定全等) 與 △ABC(是△DEF的 2倍放大圖)。

鳶形(筝形) 鳶形:有兩組鄰邊分別相等的四邊形。 G S P 鳶形(筝形) 鳶形:有兩組鄰邊分別相等的四邊形。 鳶形常提到的性質有: (1) 其中一條對角線被另一條對角線垂直平分。 (2) 其中一條對角線將鳶形分成兩個全等的三角形 線對稱的特性。 鳶形是「線對稱圖形」。 兩個「底邊等長」等腰三角形,可以拼出「鳶形」。 兩個全等的三角形可以「線對稱」拼出「鳶形」。 所以,在「尺規作圖」中,常使用其性質作「垂直線」、「中垂線」、「角平分線」、…。

梯形 梯形:有一組對邊平行,但另一組對邊不平行的四邊形。 梯形中,平行的兩對邊稱為「底邊」,另一組不平行的對邊 稱為「腰」,底邊與腰的夾角稱為「底角」。 若兩腰相等,則稱為「等腰梯形」,它是「線對稱圖形」。 連接的對角線與對稱軸共點,且會等長。 線對稱的特性。 A B C D A B C D

梯形兩腰中點連線-(1) 如圖的梯形ABCD,作兩腰中點的連線 (中線), 則 且 =( )/2 。 G S P 梯形兩腰中點連線-(1) 如圖的梯形ABCD,作兩腰中點的連線 (中線), 則 且 =( )/2 。 EF AB//EF//CD AB+CD 將四邊形EFCD以F點為旋轉中心,順時針旋轉180度, 可拼出平行四邊形(Why?),進而推得上述結論。 A B C D D C 「點對稱」的應用。 F E E 梯形面積:(上底+下底)×高/2=中線長 ×高

梯形兩腰中點連線-(2) 還可利用平行四邊形兩對邊中點的連線說明: 梯形中線 ,則 且 =( )/2 。 還可利用平行四邊形兩對邊中點的連線說明: 梯形中線 ,則 且 =( )/2 。 EF AB//EF//CD AB+CD 取兩全等的梯形以 中點「F」為旋轉中心,順時針旋轉180度,因為全等梯形等高,兩底平行,可拼出「點對稱」的平行四邊形。兩梯形中線能連成直線(旋轉180度), 得「平行四邊形兩對邊中點的連線」的圖形, ,且 2 = 。 EF BC AD+BC AB//EF//CD 「點對稱」的應用。 A B C D D A E C B F E

奇妙的分割組合-鴿眼翻轉-(1) 分別取出任意四邊形四個邊的中點,再做對邊中點連線,很簡單的切割方法,居然可拼湊組合成一個平行四邊形。 G S P 奇妙的分割組合-鴿眼翻轉-(1) 分別取出任意四邊形四個邊的中點,再做對邊中點連線,很簡單的切割方法,居然可拼湊組合成一個平行四邊形。 將此4塊一塊一塊翻轉使得外面的∠A、∠B、∠C、∠D翻到裡面,而裡面的∠1、∠2、∠3、∠4翻到外面。就可重新組合成平行四邊形。 A C D B 1 4 3 2 D 1 4 A 這是一個很具體、生活化的例子,能將學得的「平行四邊形」性質與判別方法「活用」出來。 先說明可拼出「四邊形」。 再說明此四邊形是「平行四邊形」。 請您自己試試看囉,在圖形與操作過程中尋找適合的解釋性質。 A D 1 4 B C 2 3 2 3 B C

奇妙的分割組合-鴿眼翻轉-(2) 拼出的圖形有正反兩面,鴿眼翻轉可得反面圖形,使用 旋轉與平移可得正面圖形。 1. 固定甲不動, G S P 奇妙的分割組合-鴿眼翻轉-(2) 拼出的圖形有正反兩面,鴿眼翻轉可得反面圖形,使用  旋轉與平移可得正面圖形。 1. 固定甲不動, 將乙向左上方旋轉180°,可得一組平行線。 2. 將丁向右上方旋轉180°, 可得另一組平行線。 D 4 丁 C 3 丙 A C D B 1 4 3 2 D 4 丁 3. 將丙往左上方平移, 可以密合成平行四邊形。 還記得「平移」與「旋轉180度」所產生的效果吧。 但是,能夠密合(連成直線)成邊的理由為何呢? A 1 甲 B 2 乙 C 3 丙 4. 也可推得原四邊形對邊中點   的連線互相平分。 B 2 乙

其它的分割組合方法-(3) 固定一條對邊中點的連線,利用點對稱的觀念將另一條對邊中點的連線分成互相平行的兩段。 G S P 其它的分割組合方法-(3) 固定一條對邊中點的連線,利用點對稱的觀念將另一條對邊中點的連線分成互相平行的兩段。 A C D B 甲 乙 丙 丁 1 2 3 4 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 1 4 3 2 旋轉與平移 還是從原圖各邊中點作「切割」,動筆嚐試看看。 還有沒有想到其他的分割方法呢?試試看、畫畫看。

將正方形分割後拼成三角形 如何將正方形分割成四部分,再拼湊組合成三角形呢? G S P 將正方形分割後拼成三角形 如何將正方形分割成四部分,再拼湊組合成三角形呢? 取各邊中點通常是優先考慮的方向,接下來如何分割出三角形內角和=180度的三個內角呢?

謝謝瀏覽 歡迎建議與指教 ◎ 合理的「操作(非實測)」可以觀察圖形性質的產生 或變化,進而培養了幾何推理與邏輯思考的能力,有 助於往後「推理證明」的學習。 ◎ 「直觀操作」與「推理證明」兩者可以相輔相成,在 八九年級時可引導將「操作」轉換成「推理證明」的 敘述。所以,本簡報檔也適用於九年級預習或複習。 ◎ 提供另類方法給您參考,歡迎建議與指教,集思廣益 下,相信您可以找到更好的解說方式,也會有更理想 的內容增減取捨安排。 ◎ 完全開放式的 PPT 與 GSP 檔,可視您的需要自行加 以增減修正,謝謝您的瀏覽與指教。 結束

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