第六章 萬有引力定律 六－１ 早期的天體運動學說 六－２ 克卜勒行星運動定律 六－３ 萬有引力定律 六－４ 克卜勒定律與萬有引力定律 第六章　萬有引力定律 六－１　早期的天體運動學說 六－２　克卜勒行星運動定律 六－３　萬有引力定律 六－４　克卜勒定律與萬有引力定律 六－５　萬有引力定律的應用 六－６　失重狀態 第六章　萬有引力定律

六－１　早期的天體運動學說 東方－中國 （１）蓋天說 認為天尊地卑，主張「天圓如張蓋，地方如棋局」的天圓地方說，穹隆狀的天覆蓋在呈正方形的平直大地上，即認為天是半球形而地是水平的。 六－１　早期的天體運動學說 東方中國－蓋天說

六－１　早期的天體運動學說 東方－中國 （２）渾天說 主張天是一個完整的球殼，地球位於其中，天每日帶著日、月、星辰繞行一周，可以轉到地下去，近似現代天球的概念。 　　張衡說：「渾天如雞子，天體圓如彈丸，地如雞子中黃，孤居於內，天大 而地小。天表裡有水，天之包 地猶殼之裹黃。天地各乘氣而 立，載水而浮。周天三百六十 五度又四分之一......」。 六－１　早期的天體運動學說 東方中國－渾天說

六－１　早期的天體運動學說 東方－中國 （３）宣夜說 主張天乃無邊無際的空間而非具體形質，日、月、眾星等天體乃自然浮生虛空之中，是最先進的一種。 六－１　早期的天體運動學說 東方中國－宣夜說

六－１　早期的天體運動學說 西方 （１）地心說 由希臘人托勒密於西 元二世紀提出，主張 地球是宇宙的中心， 日、月、行星和其餘 的星球都環繞著地球 旋轉，行星除了繞地 球公轉（均輪）外也 在各自的公轉軌道上 沿小圓（本輪）轉動。 六－１　早期的天體運動學說 西方－地心說

六－１　早期的天體運動學說 西方 （１）地心說（續） ①模型與逆行： 六－１　早期的天體運動學說 西方－地心說：模型與逆行

六－１　早期的天體運動學說 西方 （２）日心說 由波蘭教士哥白尼於 西元十六世紀提出， 主張太陽是宇宙的中 心，地球和其它行星 在不同的圓軌道上繞 太陽公轉，各行星在 公轉的同時也繞著各 自的轉軸自轉。 六－１　早期的天體運動學說 西方－日心說

六－１　早期的天體運動學說 西方 （２）日心說（續） ①模型與逆行： 六－１　早期的天體運動學說 西方－日心說：模型與逆行

六－１ 早期的天體運動學說 西方 （３）行星的逆行：日心說較容易解釋逆行 （４）動畫：地心說vs.日心說（模擬） 六－１ 早期的天體運動學說 六－１　早期的天體運動學說 西方 （３）行星的逆行：日心說較容易解釋逆行 （４）動畫：地心說vs.日心說（模擬） 六－１　早期的天體運動學說 西方－行星的逆行

六－２ 克卜勒行星運動定律 第一定律：橢圓軌道定律（橢圓與圓的差異） 太陽系各行星繞太陽公轉時的軌道為橢圓，太陽位於該橢圓的焦點之一。 六－２　克卜勒行星運動定律 第一定律：橢圓軌道定律（橢圓與圓的差異） 太陽系各行星繞太陽公轉時的軌道為橢圓，太陽位於該橢圓的焦點之一。 （１）軌道半長軸OA=a、半短軸OB=b，則 ①橢圓上任一點P至兩焦點F1、F2的距離和等於2a ②近日距r近=DF1=a-c、遠日距r遠=AF1=a+c，則 六－２　克卜勒行星運動定律 第一定律：橢圓軌道定律－意義

六－２ 克卜勒行星運動定律 第一定律 （２）焦距長OF1=OF2=c，則 a2=b2+c2  （３）橢圓的面積：A橢圓=pab 六－２　克卜勒行星運動定律 第一定律 （２）焦距長OF1=OF2=c，則 　　　a2=b2+c2　 （３）橢圓的面積：A橢圓=pab （４）橢圓的離心率：代表橢圓偏離圓的程度，圓(a=b)的離心率為0，橢圓的離心率介於0~1。 （５）趣味範例：火箭吃蘋果 六－２　克卜勒行星運動定律 第一定律：橢圓軌道定律－特性

六－２ 克卜勒行星運動定律 第二定律：等面積定律（適用同一行星） 行星繞太陽公轉時，其與太陽的連線在相同時距內掃過相同的面積。 六－２　克卜勒行星運動定律 第二定律：等面積定律（適用同一行星） 行星繞太陽公轉時，其與太陽的連線在相同時距內掃過相同的面積。 （１）行星公轉時的「面積速率」為 ①不同行星有不同的定值； ②近日點最快，遠日點最慢。 六－２　克卜勒行星運動定律 第二定律：等面積定律－意義

六－２ 克卜勒行星運動定律 第二定律 （２）近日點和遠日點f=90，故  （３）等面積定律是「角動量守恆定律」的另一 種表示法 六－２　克卜勒行星運動定律 第二定律 （２）近日點和遠日點f=90，故 　　　 （３）等面積定律是「角動量守恆定律」的另一 種表示法 六－２　克卜勒行星運動定律 第二定律：等面積定律－特性

六－２　克卜勒行星運動定律 第二定律 （４）動畫示範 六－２　克卜勒行星運動定律 第二定律：等面積定律－動畫示範

六－２　克卜勒行星運動定律 第三定律：週期定律（適用不同行星） 太陽系中所有行星公轉時的平均軌道半徑R之立方和週期T之平方的比值為一定值，此定值和太陽的質量有關。 六－２　克卜勒行星運動定律 第三定律：週期定律－意義

六－２ 克卜勒行星運動定律 第三定律 （１）平均軌道半徑： 六－２　克卜勒行星運動定律 第三定律 （１）平均軌道半徑： （２）週期定律適用於所有繞同一顆星球的天體，例如：木星的衛星之間、繞地球的人造衛星之間也滿足相同的關係，只是上式中的定值不一樣罷了。 六－２　克卜勒行星運動定律 第三定律：週期定律－特性

六－２ 克卜勒行星運動定律 第三定律 （３）範例 （４）參考資料：動畫示範 ①太陽系： ②地球： 六－２ 克卜勒行星運動定律 六－２　克卜勒行星運動定律 第三定律 （３）範例 ①太陽系： ②地球： （４）參考資料：動畫示範 六－２　克卜勒行星運動定律 第二定律：等面積定律－意義

六－２　克卜勒行星運動定律 總結（動畫） 六－２　克卜勒行星運動定律 總結

六－３ 萬有引力定律 萬有引力的特性 （１）現象的觀察 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性 （１）現象的觀察 ①行星受太陽吸引而繞太陽公轉、月球受地球吸引而繞地球轉動、物體受地球吸引而掉至地面、...... 　推論一：所有物體之間都有一股「互相吸引的作用力」 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性－現象的觀察

六－３ 萬有引力定律 萬有引力的特性 （１）現象的觀察（續） ②地球給月球的吸引力為月球公轉所需的向心力： 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性 （１）現象的觀察（續） ②地球給月球的吸引力為月球公轉所需的向心力： 　地球給物體的吸引力為重量：W=F地物=mg9.8m  　R地－月=3.84108m，R地－物=6.4106m 　推論二：萬有引力的大小和兩物體之間距離的平方成反比 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性－現象的觀察（續）

六－３ 萬有引力定律 萬有引力的特性 （２）力的型式：假設行星公轉軌道為圓，則  行星給太陽的吸引力F行日= F日行  六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性 （２）力的型式：假設行星公轉軌道為圓，則 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　行星給太陽的吸引力F行日= F日行 　　　　　　　 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性－力的型式

六－３ 萬有引力定律 萬有引力的特性 （２）力的型式（續） 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性 （２）力的型式（續） 　　兩物體之間的萬有引力和其質量（M、m）的乘積成正比，和其質心距離（R）的平方成反比，「-」號表示該作用力為吸引力。 ①有質量的物體就會產生萬有引力； ②萬有引力必為吸引力，其方向為連心線的方向； ③適用對象：質點、均勻實心球體、均勻球殼； ④多質點或連續物體必須用「疊加原理」來計算。 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性－力的型式（續）

六－３ 萬有引力定律 萬有引力的特性 （３）疊加原理 兩質點對其它物體所產生的萬有引力 =個別質點對該物體之萬有引力的向量和  六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性 （３）疊加原理 兩質點對其它物體所產生的萬有引力 =個別質點對該物體之萬有引力的向量和 　　 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性－疊加原理

六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性 （４）球殼定理 質量均勻分佈的薄球殼對位於球殼外的質點之萬有引力=球殼的全部質量集中在球心處所產生的萬有引力，當質點位在球殼內部時球殼對其萬有引力為零。 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性－球殼定理之內容

六－３ 萬有引力定律 萬有引力的特性 （４）球殼定理（續） ①簡易證明： 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性 （４）球殼定理（續） ①簡易證明： 　球殼上任一區域的萬有引力會被對 角的另一塊抵銷掉，故整個球殼對 內部任何質點之重力必為零。 ②嚴格計算：利用微積分。 ③厚球殼可視為由很多個薄球殼所組成 ，故球殼定理亦適用於厚球殼或球體。 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性－球殼定理之證明

六－３ 萬有引力定律 萬有引力的特性 （５）實心球體的萬有引力 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性 （５）實心球體的萬有引力 ①若將一質量m的質點置於質量M、半徑R的均勻實心球內離球心r處，則根據「疊加原理」此時m所受的萬有引力可分成兩部份： 半徑r內部的實心球M1所施的力F1 半徑r以外的球殼M2所施的力F2 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性－實心球特性

六－３ 萬有引力定律 萬有引力的特性 （５）實心球體的萬有引力（續） ②根據「球殼定理」，F2=0，而  六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性 （５）實心球體的萬有引力（續） ②根據「球殼定理」，F2=0，而  　實心球體所產生的萬有引力在 表面最大，往內呈線性遞減、直至球心處為零，往外呈平方反比遞減、直至無窮遠處趨近於零。 六－３　萬有引力定律 萬有引力的特性－實心球公式

六－３ 萬有引力定律 重力常數G的測量：卡文狄西扭秤 六－３　萬有引力定律 重力常數G的測量：卡文狄西扭秤 （１）結構：包括石英纖維懸線、平面鏡、輕桿、光源、直尺、小實心球m12、大實心球m22 六－３　萬有引力定律 重力常數G的測量－結構

六－３ 萬有引力定律 重力常數G的測量 （２）測量步驟 ①在m2未出現的情形下讓系統處於靜止狀態，並以此當做m1不受力的狀態（歸零）； 六－３　萬有引力定律 重力常數G的測量 （２）測量步驟 ①在m2未出現的情形下讓系統處於靜止狀態，並以此當做m1不受力的狀態（歸零）； ②將m2擺在m1的某一邊，靜止於距離R時測量懸線扭轉的角度q1；調換m2至m1的另一邊，R相同時測量懸線扭轉的角度q2； 六－３　萬有引力定律 重力常數G的測量－測量步驟

六－３ 萬有引力定律 重力常數G的測量 （２）測量步驟（續） ③算出懸線扭轉的平均角度：q=(q1+q2)/2 六－３　萬有引力定律 重力常數G的測量 （２）測量步驟（續） ③算出懸線扭轉的平均角度：q=(q1+q2)/2 ④算出輕桿轉動時的力矩：t=2FL=2Gm1m2L/R2 ⑤平衡時：t=kq 　　2Gm1m2L/R2=k(q1+q2)/2 　 六－３　萬有引力定律 重力常數G的測量－測量步驟（續）

六－３ 萬有引力定律 重力常數G的測量 （３）公認值：G6.6710-11N-m2/kg2 （４）參考動畫：扭秤實驗 六－３　萬有引力定律 重力常數G的測量 （３）公認值：G6.6710-11N-m2/kg2 （４）參考動畫：扭秤實驗 六－３　萬有引力定律 重力常數G的測量－公認值

六－３　萬有引力定律 重力場 （１）「場」的概念 ①能產生「超距力」的物理量（例如：質量、電荷、磁荷等）會對其周圍的空間造成某種性質上的 改變，使得其它相同的物理量移至此空間範圍時會「立即」感受到一股作用力，此種概念稱為「場」的概念，例如：重力場、電場、磁場（皆為向量場）等。 六－３　萬有引力定律 重力場－概念：意義

六－３ 萬有引力定律 重力場 （１）「場」的概念（續） 六－３　萬有引力定律 重力場 （１）「場」的概念（續） ②仿此概念，我們可用一速度場（向量場）來描述流體流速或用溫度場（純量場）來描述空氣溫度。 六－３　萬有引力定律 重力場－概念：向量場與純量場

六－３ 萬有引力定律 重力場 （１）「場」的概念（續） 六－３　萬有引力定律 重力場 （１）「場」的概念（續） ③超距力的作用類似蜘蛛與昆蟲的交互作用，後者並非直接接觸產生交互作用，而是透過蜘蛛網的存在來產生交互作用，我們可以說：蜘蛛與昆蟲的交互作用是靠「蜘蛛場」（蜘蛛網）來進行。 六－３　萬有引力定律 重力場－概念：比喻

六－３ 萬有引力定律 重力場 （２）定義：重力場強度=重力加速度的大小 =單位質量所受到的重力大小 ，其方向和重力相同。 六－３　萬有引力定律 重力場 （２）定義：重力場強度=重力加速度的大小 　　　　　=單位質量所受到的重力大小 　　，其方向和重力相同。 ①重力場為向量場，遵守「疊加原理」，即空間中某一點的重力場為各質點在該點之重力場的向量和； 　　　　　　　　　　　 ②質點或均勻球體之重力場的方向恆指向質心 ③質量m的質點所受的重力大小為F=mg 六－３　萬有引力定律 重力場－定義

六－３ 萬有引力定律 重力場 （３）星球產生的重力場（飄浮術、穿越重力阱）  六－３　萬有引力定律 重力場 （３）星球產生的重力場（飄浮術、穿越重力阱） 　 　　實心球產生的重力場強度在球面最大，往 內呈線性遞減、直至球心處為零，往外呈平 方反比遞減、直至無窮遠處趨近於零。 六－３　萬有引力定律 重力場－星球

六－４ 克卜勒定律與萬有引力定律 等面積定律：其常數只和中心星球的質量以及行星的軌道半徑有關  週期定律：其常數只和中心星球的質量有關 六－４　克卜勒定律與萬有引力定律 等面積定律：其常數只和中心星球的質量以及行星的軌道半徑有關 　 週期定律：其常數只和中心星球的質量有關 六－４　克卜勒定律與萬有引力定律 第二與第三定律

六－４ 克卜勒定律與萬有引力定律 等速圓周運動與萬有引力定律 萬有引力提供星球做圓周運動所需的向心力 （１） （２） （３） 六－４　克卜勒定律與萬有引力定律 等速圓周運動與萬有引力定律 萬有引力提供星球做圓周運動所需的向心力 （１） （２） （３） （４）參考資料：為什麼月亮不會掉下來？ 六－４　克卜勒定律與萬有引力定律 等速圓周運動與萬有引力

六－５ 萬有引力定律的應用 星球的資料 （１）質量：任何衛星 設人造衛星繞質量M的地球轉動時的軌道半徑為R、週期為T，則  六－５　萬有引力定律的應用 星球的資料 （１）質量：任何衛星 設人造衛星繞質量M的地球轉動時的軌道半徑為R、週期為T，則 　　　　　　　　　 （２）密度：表面衛星 設人造衛星繞密度為r的星球表面（稱「表面衛星」）做圓周運動，若其週期為T，則 六－５　萬有引力定律的應用 星球的資料－質量與密度

六－５ 萬有引力定律的應用 重力隧道 物體在離隧道中點x處所受之外力大小Fx為  （１）此簡諧運動的週期為 六－５　萬有引力定律的應用 重力隧道 　物體在離隧道中點x處所受之外力大小Fx為 　 （１）此簡諧運動的週期為 （２）此簡諧運動的週期與隧道的位置d無關，只和星球的質量M、半徑R或密度r有關。 六－５　萬有引力定律的應用 重力隧道

六－５ 萬有引力定律的應用 雙星系統：設雙星的距離為d （１）軌道半徑（星球與質心的距離）和質量 成反比  r1：r2=m2：m1 六－５　萬有引力定律的應用 雙星系統：設雙星的距離為d （１）軌道半徑（星球與質心的距離）和質量 成反比 　　　r1：r2=m2：m1 （２）向心力：方向指向質心 　　　F1：F2=1：1 六－５　萬有引力定律的應用 雙星系統－軌道半徑與向心力

六－５ 萬有引力定律的應用 雙星系統 （３）向心加速度：方向指向質心  a1：a2=m2：m1 （４）軌道速率：雙星的運動方向永遠相反 六－５　萬有引力定律的應用 雙星系統 （３）向心加速度：方向指向質心 　　　a1：a2=m2：m1 （４）軌道速率：雙星的運動方向永遠相反 　　　v1：v2=m2：m1 六－５　萬有引力定律的應用 雙星系統－向心加速度與軌道速率

六－５ 萬有引力定律的應用 雙星系統 （５）動量：質心保持靜止不動，總動量為零。  p1：p2=1：1 六－５　萬有引力定律的應用 雙星系統 （５）動量：質心保持靜止不動，總動量為零。 　　　p1：p2=1：1 （６）週期：雙星永遠保持在質心的相異邊，週期相等。 　　　T1：T2=1：1 六－５　萬有引力定律的應用 雙星系統－動量與週期

六－５ 萬有引力定律的應用 雙星系統 趣味範例：拋體與衛星軌道、軌道的變化、日地月系統、太空領航員、重力高爾夫 六－５　萬有引力定律的應用 雙星系統 （７）角速率：週期相等，角速率也相等。 　　　w1：w2=1：1 （８）參考資料：質心看雙星互繞、總結 趣味範例：拋體與衛星軌道、軌道的變化、日地月系統、太空領航員、重力高爾夫 六－５　萬有引力定律的應用 雙星系統－角速率

六－６ 失重狀態 實重的意義：物體靜止或做等速度運動時的重量（實重W）＝物體所受之重力大小 N=W=mg 六－６　失重狀態 實重的意義：物體靜止或做等速度運動時的重量（實重W）＝物體所受之重力大小 　　N=W=mg 　因g值隨地點而異，故物體的重量也會隨地 　點改變。 六－６　失重狀態 實重的意義－靜止或等速度運動

六－６ 失重狀態 視重的意義：若物體處於加速運動狀態（例如隨著電梯做加速運動），則磅秤給予的正 向力（視重W'）便會改變。 六－６　失重狀態 視重的意義：若物體處於加速運動狀態（例如隨著電梯做加速運動），則磅秤給予的正 向力（視重W'）便會改變。 （１）電梯向上加速時： 　N-W=ma 　　N=W+ma=W'>W 　　重量變大 （２）電梯向下加速時： 　W-N=ma 　　N=W-ma=W'<W 　　重量變小 六－６　失重狀態 視重的意義－加速度運動

六－６ 失重狀態 意義：當電梯向下做a=g的加速運動（和自由落體一樣）時 N=W-ma=mg-mg=0 六－６　失重狀態 意義：當電梯向下做a=g的加速運動（和自由落體一樣）時 　N=W-ma=mg-mg=0 　，此時磅秤量不到重量，物體所受的重力 　成為做加速度運動所需的力，即該物體處 　於「失重狀態」。 六－６　失重狀態 意義

六－６ 失重狀態 意義 （１）失重狀態≠「沒有重力」的狀態 （２）太空船裏頭的物體也處於失重狀態，此時重力＝物體做圓周運動所需的向心力。 六－６　失重狀態 意義 （１）失重狀態≠「沒有重力」的狀態 （２）太空船裏頭的物體也處於失重狀態，此時重力＝物體做圓周運動所需的向心力。 六－６　失重狀態 意義

六－６ 失重狀態 因地表物體會隨地球轉動，所以有一部份重力提供此圓周運動所需的向心力，即地表物體的重量N會略小於地球給物體的重力W。 六－６　失重狀態 因地表物體會隨地球轉動，所以有一部份重力提供此圓周運動所需的向心力，即地表物體的重量N會略小於地球給物體的重力W。 （１）若增加地球自轉角速率，使得地表物體處於失重狀態，則此自轉週期可以計算如下： 　　N=0　 　　 參考資料：擰毛巾、飄浮、艙外活動 六－６　失重狀態 地表的視重

參考資料 錯覺－球往高處滾（鄭永銘） 萬有引力定律的應用（南一） 創意教學－不偏心的萬有引力（南一） 科技驚奇－GPS（牛頓） 參考資料