第二章 立体的投影 §2-1 立体及其表面的点和线 §2-2 平面与平面立体表面相交 §2-3 平面与回转体表面相交 §2-2 平面与平面立体表面相交 §2-3 平面与回转体表面相交 §2-4 两回转体表面相交

§2-1 立体及其表面上的点和线 常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体

2.1.1 平面立体 　　平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的轮廓线，其投影以粗实线表示，不可见的轮廓线，则以虚线表示。在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。 a' d' e' b' c' a b dc e e" c" d" a" b" A D C E B X Z Y 正六棱柱的投影 一、棱柱 1、 棱柱的组成 由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。 如图,为一正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面及侧面投影积聚为一直线。

棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一条直线。 a' d' e' b' c' a b dc e e" c" d" a" b" A D C E B X Z Y 正六棱柱的投影

棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。 a' d' e' b' c' a b dc e e" c" d" a" b" A D C E B X Z Y 正六棱柱的投影

2、 棱柱的三视图 棱柱具有这样的投影特点：一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。 作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-2所示。 X Z YH YW d’ e’ a” d” a’ b’ 　棱柱具有这样的投影特点：一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。 c” c’ b” a' d' e' b' c' a b dc e e" c" d" a" b" A D C E B X Z Y a (b) d(c) e 正六棱柱的投影图

3、棱柱表面上取点 注意：从现在开始，投影图中将不画出投影轴。 取点方法： C’ C’’ a 注意：从现在开始，投影图中将不画出投影轴。 取点方法： 首先判断点在哪个棱面内。取点方法同在平面表面取点，但要注意可见性的判别。 (b’) b’’ a a b C

二、棱锥 1、 棱锥的组成 由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。

2、 棱锥的三视图投影 左图所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为△ABC，是水平面，水平投影△abc反映实形。 W V a' s' b' s" a b c b" a" c" s X Y Z 正三棱锥的投影 左图所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为△ABC，是水平面，水平投影△abc反映实形。 棱面△SAB、 △SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形。 棱面△SAC为侧垂面，其侧面投影s”a”c” 为一直线。

作三视图时，先画出底面△ABC的各个投影，再作出锥顶S的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的三面投影。 正三棱锥的三面投影图 X YH Z YW O s’ s” a’ c’ b’ a”(b”) c” S A B C W V a' s' b' s" a b c b" a" c" s X Y Z a b c s

3、三棱锥表面上取点M 方法一： 连接s’m’并延长，与a’c’交于2’， a’ s b c s’ a c’ b’ a”(b”) c” s” 正三棱锥的三面投影图 s’ a c’ b’ a”(b”) c” s” m’ X Y H Z YW 在投影ac上求出Ⅱ点的水平投影2。 m” 连接s2，即求出直线SⅡ的水平投影。 2’ 根据在直线上的点的投影规律，求出M点的水平投影m。 m 2 再根据知二求三的方法，求出m”。

过m’作m’1’ ∥a’c’，交s’a’于1’。 方法二： s c’ b’ 正三棱锥的三面投影图 s’ a b c a’ a”(b”) c” s” m’ 过m’作m’1’ ∥a’c’，交s’a’于1’。 1’ 求出Ⅰ点的水平投影1。 过1作1m ∥ac，再根据点在直线上的几何条件，求出m 。 1 m 再根据知二求三的方法，求出m”。（具体步骤略)

三棱锥表面上取点N n n N n

三棱锥表面上取点K k （k） k K

2.1.2 回转体 工程中常见的曲面立体是回转体，其中圆柱、圆锥、球、环等为基本回转体。回转体是一动线（直线、圆弧或其它曲线）绕一定线（直线）回转一周形成的曲面。动线称为母线，曲面上任意位置的母线称为素线。 回转体（面）的形成

在投影图上表示回转体，就是把组成立体的回转面或平面表示出来，然后判断可见性。如图所示。 回转面用转向轮廓线表示。转向轮廓线是与曲面相切的投射线与投影面的交点所组成的线段，它是回转体判断可见性的分界线。 转向轮廓线 转向轮廓线

一、圆柱 1、圆柱的形成 圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。

一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。 2、圆柱的投影 X Z Y 圆柱的三面投影图 H V W 如图所示，圆柱的轴线垂直于H面，其上下底圆为水平面，水平投影反映实形，其正面和侧面投影重影为一直线。而圆柱面则用曲面投影的转向轮廓线表示。 a’ b’ c’d’ 一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。 d” c” a”b” A C D B a c d b

3、圆柱投影图的绘制 （1） 先绘出圆柱的对称线、回转轴线。 c’(d’) c d d’ c’ a”(b”) a b a’ b’ 圆柱的投影 c’(d’) c d d’ c’ a”(b”) a b a’ b’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。 （3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。 X Z Y H W a’ b’ c’d’ a c d b A C D B d” c” a”b” V 正面转向轮廓线 侧面转向轮廓线

4、圆柱表面上取点 已知圆柱表面上的点A、B、M及N正面投影a’、 b’、m′和n′，求它们的其余两投影。 b’ (b”) a’ a” b 在圆柱表面上取点

二、圆锥 1、圆锥的形成 圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。

对于圆锥面，要分别画出正面和侧面投影的转向轮廓线。 2、 圆锥的投影 如图所示，圆锥轴线垂直H面，底面为水平面，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影重影为一直线。 X Z Y 图3-11 圆锥的三面投影图 H V W a’ b’ c’d’ s’ s” c” d” a” (b”) A C B S 对于圆锥面，要分别画出正面和侧面投影的转向轮廓线。 正面转向轮廓线 a c d b 侧面转向轮廓线

（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。 圆锥投影图的绘制 （1） 先绘出圆锥的对称线、回转轴线。 圆锥的投影 s” a’(b’) s’ a’ b’ c” d” （2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。 (3) 作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。 c’(d’) X Z Y H V W a c d b A C B S a’ b’ c’d’ s’ s” c” d” a” (b”) c d s a b

3、圆锥表面上取点 方法一：素线法 在圆锥表面上求点，有两种方法：即素线法和纬圆法。 Z X Z Y 圆锥的三面投影图 H V W a c d b A C B S a’ b’ c’d’ s’ s” c” d” a” (b”) 方法一：素线法 过M点及锥顶S作一条素线SⅠ,先求出素线SⅠ的投影,再求出素线上的M点。 m’ m” M m

已知圆锥表面的点M的正面投影m’,求出M点的其它投影。 a’(b’) 图3-14 圆锥的投影及表面上的点 s s” a b c d c” d” s’ a’ b’ c’(d’) m’ 已知圆锥表面的点M的正面投影m’,求出M点的其它投影。 m” 过m’s’作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1’。 1’ 1” 求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。 m 求出M点的水平投影和侧面投影。 1

方法二：纬圆法 X Z Y 圆锥的三面投影图 H V W a c d b a’ b’ c’d’ s’ s” c” d” a” (b”) A C B S 过M点作一平行于底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过m’且平行于a’b’的直线2’3’，它们的水平投影为一直径等于2’3’的圆，m在圆周上，由此求出m及m”。 m’ m” M m

已知圆锥表面上点M及N的正面投影m′和n′，求它们的其余两投影。 ( ) n ( ) a’ (a”) n a m 在圆锥表面上取点

三、圆球 1、 圆球的形成 球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一平面上的轴线回转而形成的。 回车继续

2、球的投影 球的三个投影均为圆，其直径与球直径相等，但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线。 回车继续

圆球的画法及投影特点

3、圆球表面上取点

四、圆环 1、圆环的形成 圆环面是由一个完整的圆绕轴线回转一周而形成，轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。

2、圆环的画法

3、圆环投影可见性的判别 由上向下看，此部分可见 由前向后看，此部分可见

4、圆环表面上取点 1' m' 1 m （n'） 2' 2

§ 2-2 平面与平面立体相交 1、平面截切的基本形式 截平面 截断面 截交线 截交线与截断面

截交线的性质：  平面立体的截交线是截平面和平面立体表面的共有线，其形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置。 平面立体的截交线通常是一个封闭的平面多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每条边是截平面与棱面的交线，或是截平面和截平面的交线。 求截交线的实质是求两平面的交线  共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。

2、平面截切体的求法 关键是正确地画出截交线的投影。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 线的形状 ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 确定截交线 的投影特性 ★ 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线，或截平面间的交线，连接成多边形，并判别可见性。

例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。 图3-20 平面与三棱锥相交 s’ a’ b’ c’ c” a” b” s Pv s” 3’ 3” (1) 求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。 2’ 2” 1’ 1” (2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。 (3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。 3 1 2 (4) 补全棱线的投影。

例2 求做立体被截切后的投影 1’ 1” 2’ 3’(4’) 4” 2” 3” 4 2 1 3

例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 检查截交线的投影 求截交线 P 截交线的投影特性？ 分析棱线的投影 截交线的形状？ 4≡5 5 4 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 7 6 3 2 2≡3≡6≡7 1≡8 8 1 7 8 5 6 截交线的投影特性？ 检查截交线的投影 分析棱线的投影 截交线的形状？ 求截交线 3 4 1 2