导数的应用 ——函数的单调性与极值
引例：零售产品的生存期 售出的产品数量是随时间而变化，销售量从低水平开始并且增加到最大销售量，之后销售量减少并且下降到较低水平，可能是因为诸多新产品竞争的结果．于是公司通过改进产品来恢复其销售量．
一个产品的典型生存期图形说明了我们在本章要讨论的主题思想．我们即将用微积分的工具—导数来提供函数的有关信息，解决如何获得商业活动中成本最小化、利润、产出最大化等问题。
一、函数的单调性 分清函数在何处递增和递减是有用的。
如图(b)所示，函数递减，则曲上每点向下倾斜，倾斜角都是钝角 函数单调性的判定 直观上看图(a)所示，函数在某区间上是递增函数，则曲线上每点切线向上倾斜，倾斜角都是锐角，即斜率 也就是 如图(b)所示，函数递减，则曲上每点向下倾斜，倾斜角都是钝角 (反之亦然)
定理 运用中值定理可严格证明此定理． 通过观察有下列规律． 设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导， (1)若 ，则函数 上单调增加； ,则函数 (2)若 上单调减少. 定理 运用中值定理可严格证明此定理．
例题与练习 需求函数 所以需求函数为减函数。 总成本函数 因为产量是非负数，所以边际成本大于零，也就是总成本函数为增函数。
一个函数可能在有些区间内增加，有些地方减少。 函数单调区间的解题步骤 一个函数可能在有些区间内增加，有些地方减少。 1．指出函数的定义域； 2．求出 (为了方便其符号的确定，通常应将分子、分母整理为最简因式的乘积，其负指数次幂也应化为分式的形式)； 3．指出 的点和 不存在的点，并以这些点为分界点将定义域分为若干个子区间； 4．列表判别：确定在各个子区间的符号，从而判定函数的单调性．
例题与练习 产品的收益函数为： 试求收益函数的增区间及减区间。 解 （1）收益函数产量 应是非负数，即定义域为 （2） 令 （3） 解 （1）收益函数产量 应是非负数，即定义域为 （2） 令 （3） 得驻点 。另外，函数中没有导数不存在的点。它们将定义域分为两个区间：（0,50） ，
（4）列表判别： （0,50） + - ↗ ↘
二、函数的极值
观察可以看到:在极值点处或者函数的导数为零（如 x1, x2, x4, ）或者导数不存在（如x3 ）.今后，称使 的点为函数 的驻点. 结合函数的单调性，下面给出极值的判别方法.
函数极值第一判别法 设函数f(x)在x0处连续且在x0的某一去心邻域 内可导，则： (1) 若当x<x0时， ；当x>x0时， 那么函数f(x)在x0处有极大值； (2) 若当x<x0时， ；当x>x0时， 那么函数f(x)在x0处有极小值；
判定函数极值的一般步骤： (3)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻域内) 的符号，依定理判定xi是否为f(x)的极值点.
例题与练习 解 （1）因产量非负，所以 （2） 得驻点为 ，无不导点。 （3）这些点将定义域分为两个区间
（4）列表判别： 。 10 + - ↗ 极大值点 ↘ 所以在产量为10时，收益达到极大值。 极大收益为