医学信号处理的原理和方法 曹 银 祥 Dept. of Physiology & Pathophysiology Shanghai Medical College Fudan University
第十讲 生物信号的频域分析 （1）频域分析方法概述 （2）简单信号和复杂信号 （3）FFT算法和自回归模型(AR)算法 （4）频域的相关性分析(Coherence) （5）频谱分析举例-脑电频域分析
频域分析方法概述 频域分析是信号处理中非常重要的方法。通过频域分析可知道各频率分量的分布情况，知道信息是集中在低频部分，还是集中在高频部分。根据频谱的变化可以判断机体的形态和功能变化。
复数
付里叶（ Fourier）级数，三角级数
简单波和复杂波 一个复杂的连续信号，一般来说，总可以分解为许多正弦波的叠加。在有限区间上的复杂信号表示成简单波的叠加，这在数学上称为付里叶级数（付氏级数）。
简单波（正弦波或余弦波） 正弦波可以用下式表示 其中A为振幅，θ为初位相，f 为频率（1/f 为 谐波的周期）。 对长度为T的时间区间而言，其基频f 0 = 1/T， n次谐波可写成
复杂波由N个简单波叠加而成
时域表示与频域表示的对应关系
复杂波由N个简单波叠加而成 的计算机演示
频谱分析算法
付里叶变换与反变换 对于周期为T的信号，可用付里叶级数表示；对于 非周期的信号，可用付里叶积分来表示。用付里叶变 换，可以由信号求出它的频谱；反之，用付里叶逆变 换，可以由频谱求出原始信号。 对于有N个点的离散时间序列，它所对应的离散的 付氏变换和反变换式子为 ：
快速付里叶变换(FFT) 直接用公式求N个点的频谱，要做N(N-1)次复数加法和N2次复数乘法，当N大到数千点乃至更大时，计算工作量很大，在当时即使用最快的计算机，也要花费大量时间，因而几乎没有实用价值。1965年，Cooley和Tukey提出了快速付氏变换方法，简称FFT（Fast Fourier Transform），使计算量大为减少。由于FFT的出现，使付氏变换得以广泛应用。
时域分解FFT算法 Nlog2N次加法和N(log2N-2)+2次乘法
频域分解FFT算法 Nlog2N次加法和1/2N(log2N-2)+1次乘法
信号的幅度谱、相位谱和功率谱 用FFT求得的谱是复数形式的， 求它的模得到幅度谱，求它的辐角得 到相位谱，求模的平方得到功率谱。
自回归模型(AR)算法 自回归模型(AR)是一种最大熵谱 估计法，较之FFT算法具有较高的 分辩率, 自回归模型(AR)有Burg、 Marple等递推算法。
自回归模型(AR)计算公式 自回归模型(AR)表达为： 其中e(t) 为预测误差，a(p) 为待定系数。 P阶AR模型的系统传递函数为： PSD可由下式求得：
频域的相关性分析(Coherence) 相干性分析用于分析两信号中各频率成分在幅度和相位上的相似性。相干系数的值在0-1之间。如某一频率的相关系数为0，则提示两个信号中此频率的谐波毫不相关，反之，如某一频率成分的相关系数为1，则提示两个信号中此频率的谐波完全相关。
相干系数公式 * CPSDxy 信号x(t)和y(t)的互功率谱（Cross Power Spectrum Density） * PSDx 信号x(t)的功率谱 * PSDy 信号y(t)的功率谱
频域分析方法的应用举例 肌肉在强直收缩时，随着时间的延续，会产生疲劳，表现为收缩力下降，肌电频谱中高频成分减少。 脑电图的频率主要分为4个波段：δ波、θ波、α波和β波，各占一定比例，当出现病理变化时，波段比例异常，并可出现棘波、尖波等高频成分。 当血管硬化时，脉搏波频谱中高频成分增加，中心频率右移。 在心率变异性(HRV)分析中，RRI频谱中的高、低频分别反映了迷走神经和交感神经活动的波动性，LF/HF可用以评判植物神经系统的机能状况。
脑电波的形成 皮层表面的电位变化是由突触后电位变化形成的。然而，单一神经元的突触后电位显然不足以引起皮层表面的电位改变，必须有大量的神经元同步发生突触后电位，才能总和起来引起皮层表面的电位改变。 某些自发脑电的形成，就是皮层与丘脑非特异投射系统之间的交互作用，一定的同步节律的丘脑非特异投射系统的活动，促进了皮层电活动的同步化。 脑电图的波形分类，主要依据其频率的不同来划分。各种波形都可在皮层的不同区域引得，但在不同脑区和在不同条件下的表现可有显著的差别。
脑电图在疾病诊断上的应用 脑电图描记是检查脑功能正常与否的一种重要手段。如大脑皮层有肿瘤时，由于肿瘤本身不发生电波，但脑瘤对周围组织有破坏作用，在检查时即可在脑瘤部位记录到周围损伤组织不正常的θ波或δ波，由此可诊断脑瘤的大小与部位。又如癫痫病人，脑电图常出现高振幅的棘波、尖波或棘慢综合波等“抽搐放电”的波形。这些波形的改变对协助诊断、疗效观察与评价预后都有一定意义。
脑电波的成分图示
脑电波的成分 δ波-频率为0.5~3次/秒，波幅为20~200 V 。 θ波-频率为4~7次/秒，波幅约为100~150 V 。
正 常 脑 电 波 的 功 率 谱
癫痫波图示
青霉素致痫实验的结果