第4讲 专题 求解平衡问题的常用 方法及特例 1．整体法与隔离法：正确地确定研究对象或研究过程，分清内力和外力． 第4讲 专题 求解平衡问题的常用 方法及特例 1．整体法与隔离法：正确地确定研究对象或研究过程，分清内力和外力． 2．平行四边形定则和三角形定则；确定合矢量与分矢量的关系． 3．正交分解法：物体受多个力的平衡情况． 4．力的合成法． 特别适合三个力平衡时，运用其中两力之和等于三个力列方程求解．

5．图解法：常用于处理三个共点力的平衡问题，且其中一个力为恒力、一个力的方向不变情形． 6．相似三角形法 在共点力的平衡问题中，已知某力的大小及绳、杆等模型的长度、高度等，常用力的三角形与几何三角形相似的比例关系求解．

7．正弦定理 如果物体受三个不平行力而处于平衡状态，如图2－4－1所示， 则 图2－4－1

“动态平衡”是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”．

【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60° 【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是(　　) A．增大 B．先减小，后增大 C．减小 D．先增大，后减小 图2－4－2

解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大． 方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将FAB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出：

乙 甲 FABcos 60°＝FB Csin θ， FABsin 60°＋FB Ccos θ＝FB， 联立解得FBCsin(30°＋θ)＝FB/2， 显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大．　　　　　　　　 答案：B

1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β ＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N的大小变化情况是(　　) 图2－4－3

A．F逐渐增大，T逐渐减小，FN逐渐减小 B．F逐渐减小，T逐渐减小，FN逐渐增大 C．F逐渐增大，T先减小后增大，FN逐渐增大 D．F逐渐减小，T先减小后增大，FN逐渐减小 解析：利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知T是先减小后增大．斜面 对球的支持力FN′逐渐增大，对斜面受力分析如图乙所示，可知F＝FN″sinθ，则F 逐渐增大，水平面对斜面的支持力FN＝G＋FN″·cos θ，故FN逐渐增大． 答案：C

【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是(　　) A．FN先减小，后增大 B．FN始终不变 C．F先减小，后增大 D．F始终不变 图2－4－4

解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此力的三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解． 如图所示，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得 　 ，FN＝ G，F＝ G 式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小． 答案：B

2－1如图2－4－5所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为(　　) A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1<F2 D．无法确定 图2－4－5

解析：两球间放劲度系数为k1的弹簧静止时，小球B受力如右图所示，弹簧的弹力F与小球的重力G的合力与绳的拉力F1等大反向，根据力的三角形与几何三角形相似得 ，由于OA、OB均恒为L，因此F1大小恒定，与弹簧的劲度系数无关，因此换用劲度系数为k2的弹簧后绳的拉力F2＝F1，B正确． 答案：B

【例3】如图2－4－6所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块，如果小圆环、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子又不可伸长，若平衡时弦AB所对应的圆心角为α，求两物块的质量比m1∶m2. 图2－4－6

解析：如图所示，A环受m1g、m2g、FN三个力的作用，处于平衡状态． 图中θ＝ ，设m2g与FN的合力为F，由正弦定理得 又F＝m1g，即 ，化简得 答案：

3－1 质点m在F1、F2、F3三个力作用下处于平衡状态，各力的方向所在直线如图2－4－7所示，图上表示各力的矢量起点均为O点，终点未画，则各力大小关系可能为(　　) A．F1＞F2＞F3 B．F1＞F3＞F2 C．F3＞F1＞F2 D．F2＞F1＞F3 图2－4－7 解析：质点m在三个力的作用下处于平衡状态，尽管这三个力的大小未知，但三个力的方向确定，依据正弦定理可得三个力的关系为： 由于sin 75°>sin 60°>sin 45°，所以有F3>F1>F2，C正确． 答案：C

临界问题 某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件．

【例4】如图2－4－8所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 图2－4－8

解析：本题两物体均处于静止状态，故需分析好受力图示，列出平衡方程求解． 用正交分解法，对球和三角劈分别进行受力分析，如图甲、乙所示． 由于三角劈静止，故其受地面的静摩擦力． F≤Fmax＝μFNB.由平衡条件有： 对球有：GA＝FNcos 45°① FNA＝FNsin 45°② 对三角劈有　FNB＝G＋FN′sin 45°③ F＝FN′cos 45°④ F≤μFNB，⑤ ∵FN＝FN′⑥ 由①～⑥式解得：GA≤ G. 答案：球的重力不得超过 G

处理平衡物理中的临界问题和极值问题，首先仍要正确受力分析，搞清临界条件并且要利用好临界条件，列出平衡方程，对于分析极值问题，要善于选择物理方法和数学方法，做到数理的巧妙结合．

4－1如图2－4－9所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止．试求： (1)小环对杆的压力； (2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？ 图2－4－9

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