曲面簡介 從幾何到拓樸 邱鴻麟 國立中央大學數學系

三角形內角和 α + β + γ = ?

球面三角形 球面直線的概念 : 大圓 取材自項武義講義

球面三角形 取材自維基百科

球面三角形內角和 球面三角形內角和公式： (α + β + γ) - π = 三角形面積/R2 (1/R2 = 球面曲率)

例子 【阿基米德定理】：半徑為 R 的球面面積等于4 π R2 (α + β + γ) - π = 三角形面積/R2 = (½)π 取材自維基百科

曲面 Closed (封閉的) Orientable (可定位的)

高斯曲率 ‧ x K(x) > 0 x ‧ K(x) < 0 K(x) = 0 ‧ x 曲率: 曲面彎曲大小的量化描述•其值有正有負,其絕對值越大,表示彎曲之程度越大• R3上之閉曲面必有一點p, K(p)>0 p

曲面上的三角形 α β γ 三個邊是由測地線構成

Gauss-Bonnet 定理(局部) (α + β + γ) - π = ∫△K dA α β γ 曲率 K

Gauss-Bonnet 定理(局部) (α + β + γ) - π = ∫△K dA+ ∫b△kg ds α γ 高斯曲率 K

Gauss-Bonnet 定理(整體) ∫S K dA=2πV-πF =2π(V-E+F) ， g=0 3F=2E g=1 χ(S) = V-E+F = 2-2g g=2 g=genus g=n ‧ ‧ ‧

問題 K是閉曲面S的高斯區率，則∫SK dA=? 假如Sg是在R3上的一個閉曲面， g>1，則必有一點p ，其 K(p)<0

g=1

g=2

torus ＋ ＋

torus ＋ ＋

Mobius strip

Project plane ． x -x x ． Mobiu strip

封閉曲面分類定理 一個封閉曲面： 1.若是可定位，則必是一個球面或著是一個球面再接若干個把手； 2.若是不可定位，則必是一個球面去掉若干個圓盤，再個個回黏一個Mobius strip

問題 g= ?

Klein bottle ＋ －

Klein bottle

Klein bottle 1+ a 2+ b 3 c 2- Mobius strip d 1- 1+ 1- d a cylinder 3 b

計算尤拉數(Sphere) 圓板塊D χ(D)=V-E+F =4-6+3 =1 ﹥ χ(S2)=2 =2-2g g=0

計算尤拉數(1-fold Torus) χ(T1)=V-E+F =1-3+2 =0 =2-2g g=1

計算尤拉數(g-fold Torus) a b c a1 b1 a2 b2 2 copies c a b 2 copies

尤拉公式的應用-正多面體 χ(S2)=2 提出了頂點、邊和面之間數量的一種規範

五種正多面體—4,6,8,12,20 (4,3) (3,4) (3,3) χ(S2) =V-E+F =2 ＝＝＞正多面體就這五種 (n,r) , n邊正多邊形 , r條邊會一頂點, n, r>3 (3,5) (5,3)

證明 數邊數 得到 nF=2E, rV=2E 2E/n +2E/r - E=2 or 1/n + 1/r = ½ + 1/E n邊正多邊形 r條邊會一頂點 n, r>3 n邊 數邊數 得到 nF=2E, rV=2E 2E/n +2E/r - E=2 or 1/n + 1/r = ½ + 1/E (i)n=3, 1/r – 1/6=1/E, so r=3,4 or 5; (ii)n=4 , 1/r =1/4+1/E, so r=3, (iii)n=5 , 1/r =3/10+1/E, so r=3 (iv) n>=6, no solution.

尤拉數 χ(S) = V-E+F = 2-2g = (1/ 2π)∫S K dA

向量場奇點指標的解釋 S是一個封閉定位曲面, X是只有孤立奇點的向量場。 p奇點, i.e. X(p)=0 奇點的指標: Ind(X,p) 指標=1 Ind(X) = Ind(X,p) p奇點 p 指標= -1 Hopf指標定理: χ(S)=Ind(X)

Hopf指標定理=>χ(S)=V-E+F Proof: +1 -1 +1 -1 +1 T XT -1 +1

Morse理論的解釋 Ind(▽h,a) Ind(h,a) 水位 a0 2 1 a1 -1 Ind(h,a,)=﹟of negative eigenvalue of Hessian of h at a, which a is a non-degenarate critical point. a2 -1 a3 -1 h Tg= 1 a2g-1 -1 a2g -1 a2g+1 1

Morse理論的解釋 χ(S)= (-1)iνi Theorem(Morse): 2 i=0 νi=﹟of a : Ind(f,a)=i f : S R is a morse function

曲率的表示--Gauss-Bonnet定理 2πχ(S) =∫S K dA 陳省身先生在1944年Ann. Math的一篇短文給出Gauss-Bonnet定理的第一個intrinsic的証明,並重証了Hopf指標定理.

理解成橢圓算子的指標 χ(S)=Ind(D), D is the de-Rham Hodge operator Atiyah-Singer Index Theorem: Ind(D)=∫M ch(σ(D))Td(TMC)

Path integral representation 可透過Supersymmetric理論 重証 Gauss-Bonnet定理

結論 可透過空間物件或現象的探討反映出背景空間的拓樸性質 因此 如何從幾何或物理現象反映出空間拓樸(如時空拓樸)一直是核心問題 幾何拓樸學者必須熟透曲面理論