第一章 测量误差与实验不确定度

第一节 测量和测量误差 一、测量及其分类 1 测量 第一节 测量和测量误差 一、测量及其分类 1 测量 在一定条件下使用具有计量标准单位的计量仪器对被测物理量进行比较，从而确定被测量的数值和单位。 2 测量分类 1)直接测量与间接测量 2)等精度测量与不等精度测量 3)单次测量与重复测量

直接测量 直接测量: 使用仪器或量具，直接测得被测量的量值的测量。由直接测量所得的物理量，称为直接测量量 。

间接测量 间接测量: 通过直接测量量，再根据某一函数关系把待测量计算出来的测量。

间接测量 用单摆测量某地的重力加速度g，是根据用米尺直接测得单摆的摆长l和用秒表直接测得周期T，再通过单摆公式： g=（42l）/T2

等精度、不等精度测量 等精度测量: 对同一类物理量的测量都是在相同条件（包括测量方法、使用的仪器、外界环境条件和观察者都不变）下进行的测量。 不等精度测量: 不满足上述条件的测量。

重复测量与单次测量 重复测量： 在相同条件（包括测量方法、使用的仪器、外界环境条件和观察者都不变）下对同一状态的物理量进行的多次测量。 当实际情况不能满足重复测量所要求的条件或不需要多次重复测量（例如每次重复测量示值都完全一致）时，才采取单次测量的处理方式。

被测量的物理量在特定条件下客观存在的真实量值称为该物理量的真值，记作X0。 二、测量误差及其分类 （一）误差的定义 被测量的物理量在特定条件下客观存在的真实量值称为该物理量的真值，记作X0。 测量值X和真值X0的差定义为测量误差，记为ΔX 即： ΔX = X – X0 它反映了测量值偏离真值的大小和方向。 （二）误差的分类

1 系统误差 1）系统误差 由于实验系统的原因，在测量过程中造成的误差。 2）误差来源 仪器误差、环境误差、理论(方法)误差、个人习惯误差。 3）误差特点 误差的大小和符号总是保持恒定，或按一定规律以可约定的方式变化 。 4）误差消除方法 找出原因，在实验前或实验后加以修正。

系统误差的修正举例 仪器误差 如电表的零点误差修正：接入电路前，先调机械零点。 机械零点调节螺钉 电表指针不在零点

操作者偏视习惯造成的系统误差及其消除方法 视线偏左

操作者偏视习惯造成的系统误差及其消除方法 视线正确

2 随机误差（偶然误差） 1）随机误差 由某些偶然的或不确定的因素，在测量过程中造成的误差。 2）误差来源 环境和实验条件的无规则变化。 3）误差特点 误差的量值和符号以不可约定的方式变化着，对每次测量值来说，其变化是无规则的，但对大量测量值，其变化则服从确定的统计分布（正态分布）规律。

随机误差服从的正态分布特点 x P -3σ -2σ –σ 0 σ 2σ 3σ

随机误差正态分布的特点 *单峰性 绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小。 *对称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等。 *有界性 绝对值非常大的误差出现的概率趋于零。 *抵偿性 误差算术平均值随测量次数增加而趋于零。

标准误差可描述偶然误差的可能范围与可信程度！ 标准误差： 式中：μ是测量列和算术平均值 标准误差的统计意义 系统误差已消除的条件下，重复测量次数n足够大时，任一次测量随机误差的绝对值小于σ的概率为68.3%，小于2 σ的概率为95.4%，小于3 σ的概率为99.7% 标准误差可描述偶然误差的可能范围与可信程度！

A) 增加重复测量次数 4) 减小随机误差的方法 一般重复5～10次即可。测量值波动范围越大，则需重复次数越多。 B) 以标准偏差代替标准误差来评估随机误差的范围与可信度。 C) 用测量平均值作为测量结果的最佳估计值。

1 ) 粗大误差 测量值明显偏离正常值的异常误差。 2 ) 误差来源 仪器使用方法错误、粗心大意、记录出错等。 3 ) 误差消除方法 3 粗大误差（过失误差） 1 ) 粗大误差 测量值明显偏离正常值的异常误差。 2 ) 误差来源 仪器使用方法错误、粗心大意、记录出错等。 3 ) 误差消除方法 用3σ准则（莱特准则）鉴别并剔除。 当测量次数较多时，若某测量值与算术平均值的偏差绝对值大于3倍标准偏差时，可认为该值是坏值而剔除。

第二节 不确定度及其概念 一、测量结果的表达方式 测量的目的是要获得被测物理量的真值！ 由于测量误差不可避免，真值也就无法确定，也无法确定误差的大小。 只能通过科学的方法确定的最佳估计值及其不确定度，把测量结果表达为： 物理量 最佳估计值 不确定度

测量结果 的含义 表示真值以一定的概率存在于 范围内； 测量结果 的含义 表示真值以一定的概率存在于 范围内； 同一项测量结果对应不同的置信概率要求，不确定度Δ的估算值也不同，通常要求的概率值越高，对应的Δ值越大。 Δ值通常只保留最大一位非零数，尾数一般只进不舍，例如计算结果是0.051，保留结果是0.06。 保留的末位数与Δ的非零数位同数量级，例： L = 3.566 ±0.007(mm)

二、不确定度基本概念 1 不确定度 不确定度是表征测量结果具有离散性的一个参数 。 2 不确定度分类 根据估算方法将不确定度分量分为两类： A类不确定度 用统计方法估算的分量， 记为ΔA 。 B类不确定度 用其他方法估算的分量，记为ΔB 。

3 总不确定度 总不确定度Δ是以上两类所有分量的合成。 若各ΔAi、ΔBi 相互独立，并具有相同置信概率，则

第三节 B类不确定度估算 一 仪器误差(限) 正确使用仪器时，仪器的示值与被测量真值之间可能产生的最大误差的绝对值被称为仪器误差(限)，用 Δ仪表示。 Δ仪的含义：在正常使用下仪器示值的最大可能误差，置信概率通常为95%～99%。

常用物理实验仪器的误差限Δ仪 名称 量程 最小分度(精度等级) Δ仪 钢尺 300mm 1 mm 螺旋测微计 20mm 0.005 mm 最小分度的1/2 游标卡尺 150mm 0.02mm（50分度） 0.02mm 机械表 12h 1s 最小分度值 水银温度计 100℃ 1 ℃ 磁电式电表 Nm K A · K · %

二 B类不确定度的估算 评定△ B需结合误差分布规律、参照标准、估算误差限等因素，故△ B有多项分量，评定方法也有多种。 常用评定方法有：根据测量条件估算误差限；根据理论公式或实验推算误差限；根据仪器误差限评定△ B 。 我们约定：在大学物理实验中，近似使用仪器误差限来确定△ B 。即: ΔB ≈ Δ仪

例题1 数字万用表误差限，Δ仪 = 读数×A% + N，其中:A为精度等级，N为显示末位上的字数。 某万用表20kΩ量程的电阻档A = 0.8，N =0.03，用该档测量某电阻，读数为5.36 kΩ，这次测量结果是多少？ 解： Δ=Δ仪= 5.36×0.8 % + 0.03=0.073 (kΩ) 测量结果表示为： R=5.36±0.08 （ kΩ ）

例题2 检定一块1. 5级，10 mA的电流表，发现在5 mA处它的误差最大，为0. 13 mA，而在其它刻度处，误差均小于0 例题2 检定一块1.5级，10 mA的电流表，发现在5 mA处它的误差最大，为0.13 mA，而在其它刻度处，误差均小于0.13 mA，试问，这块电表是否合格？ 解：该级别的电流表仪器误差限为： Δ仪= 10（mA）×1.5% = 0.15 （mA） 该电流表在所有刻度上，最大误差为0.13 mA，均小于仪器误差，故这块电表是合格产品。

第四节 直接测量结果与不确定度的估算 一 单次直接测量的不确定度 实际情况不允许重复测量或不需要多次测量时，可采取单次测量的方式。 第四节 直接测量结果与不确定度的估算 一 单次直接测量的不确定度 实际情况不允许重复测量或不需要多次测量时，可采取单次测量的方式。 若单次测量的主要误差来源是仪器误差时，以仪器误差限Δ仪作为单次测量不确定度。 Δ=Δ仪 注意：这是一种很粗略很近似的估算。

二 多次测量时随机误差的统计估计 设对某物理量 X 进行 n 次等精度测量，得一列测 量值： x1 、 x2 、 xn， 这一列测量值的算术平均值为：

2.多次测量时随机误差的统计估计 1）先计算残差（偏差）： 2）计算标准差（标准偏差）： 3）计算算术平均值的标准差：

* 3.异常数据的剔除 1）莱特准则（3σ准则） 若第 k 次测量值 x k 满足条件： | x k - |＞3σ 则可判断x k 是坏值。 2）莱特准则的适用范围 莱特准则以测量次数较多（大样本）为前提，一般适合于测量值呈正态分布（即高斯分布）的情况。

例题3 （P18 例1.4.1）对某物理量进行了15次等精度的测量，测量值如表所示。设这些测量值已经消除了系统误差，试判断在下列测量值中是否含有坏值？ 解: 由测量数据计算算术平均值:

由莱特准则知：第八测量值是一个坏值，应预以剔除。 由测量数据和算术平均值，可以计算出标准差： 由标准差计算出3σ： 3σ = 3×0.033 = 0.099 第八测量值的残差： 由莱特准则知：第八测量值是一个坏值，应预以剔除。

对剩余的14个数据重新计算： 新的算术平均值（剔除了第八测量值）为： 新的标准差为：

新的标准差计算出3σ’： 3σ’ = 3×0.016 = 0.048 再检查各测量值的残差，没有再出现|xk– |＞3σ 的情况，可认为，剩余数据中，没有坏值存在。

4.多次测量时A类不确定度的估算 重复测量次数为5～10次，置信概率在95%左右时， A类不确定度ΔA可按下式近似估算。 σ叫标准偏差(或简称标准差)计算标准偏差的公式叫贝塞尔公式.

5 多次测量的合成不确定度 在大学物理实验中，当测量次数5 ≤ n ≤ 10 时，合成不确定度可这样近似计算: A类分量:ΔA≈σ ，置信概率95% ； B类分量:ΔB ≈Δ仪，置信概率95% ； 测量结果的合成不确定度为:

例题4 用游标卡尺对某物体长度进行等精度测量10次，测量数据如下表，设仪器误差限为0.02mm。求不确定度并表示测量结果。 解: 1 求出算平均值: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 83.54 83.58 83.52 83.56 83.60 83.64 83.50

2 求出标准偏差 利用科学计算器统计功能可快速得到上述结果！ 3 计算合成不确定度 取ΔB ≈ Δ仪 4 测量结果为： X = 83.56 ± 0.05 (mm) （P = 0.95）

第五节 间接测量结果与不确定度的估算 一 间接测量值的算术平均值 设间接测量量 N 是直接测量量x，y，z的函数，即： 各直接测量量的测量结果为：

间接测量量 N 的算术平均值为: 例题5 测量出金属圆环的外直径D2 =（3.600 ± 0.004）cm ；内直径 D1 =（2.880 ± 0.004）cm ；高度 h =（2.575 ± 0.004）cm ；试求出这个金属圆环体积V 的平均值？

解：计算金属圆环体积V 的函数表达式为： 则金属圆环体积V平均值的函数表达式为： 代入各直接测量量的平均值，可得圆环体积算术平均值：

二 间接测量量的不确定度的合成 如前述:各直接测量量表示为： 每个直接测量量的误差都会传递给 N , 若各直接测量量完全独立，则ΔN 对应每个直接测量误差来源都对应有一个独立分量，分别记为ΔNx，ΔNy，ΔNz。

其中ΔNx∝Δx，比例系数是函数 f ( x, y, z ) 对自变量x的偏导数，即:

则间接测量量N 的不确定度可以用下式合成： 称为不确定度传递系数，它反映了各直接测量量的不确定度对间接测量量不确定度的贡献（权重）。

常用函数不确定度合成计算公式（一）

常用函数不确定度合成计算公式（二）

例题6 用单摆测量重力加速度。 已知摆长和周期的测量结果分别为： 试求重力加速度的测量结果。 解：重力加速度的函数表达式为

则重力加速度的平均值为： 先求重力加速度相对不确定度

重力加速度的合成不确定度为 重力加速度的测量结果为

第六节 有效数字与近似计算 1 有效数字的定义 实验中得到的测量值都是含有误差的数值，这些数值的尾数不能任意取舍，应反映出测量的准确度。 第六节 有效数字与近似计算 实验中得到的测量值都是含有误差的数值，这些数值的尾数不能任意取舍，应反映出测量的准确度。 一 有效数字的概念 1 有效数字的定义 在测量结果中，所有可靠数字再加上末位的存疑数字，统称为测量结果的有效数字。 有效数字中所有位数的个数称为有效数字的位数。

2、有效数字的读取规则 1）记录测量仪器的精度、级别、最小分度值（最小刻度值）； 2）估计测量仪器的仪器误差限； 3）记录有效数字时要记录到误差所在位。

例题7 用300mm长的毫米分度钢尺测量长度，应如何读取并记录数据？

例题8 伏安法测量电压和电流值。若使用量程分别为10V和10mA的 0.5级的电压表和电流表，应如何读取并记录数据？ 解：由仪器误差限计算公式（表1-3-1），可得： 因此读取并记录电压和电流的有效数字时，应分别记录到0.01V和0.01mA位。 如： 1.00V；2.00mA。

也有些仪器仪表一般不进行估读或不可能估读。 例如：数字显示仪表，只能读出其显示器上所记录的数字。当该仪表对某稳定的输入信号表现出不稳定的末位显示时，表明该仪表的不确定度可能大于末位显示的1，此时可记录一段时间间隔内的平均值。

3、有效数字在实际测量中的应用 1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关 2）有效数字的位数与小数点的位置无关。 3）关于“0”的处理 数值中间和末尾的“0”均为有效数字，如：50.07，2.400。 数值前的“0”不属有效数字。如：0.012

4）科学记数法 对数量级很大或较小的测量值，使用科学记数法，写成 的幂次形式，其中：a为1～9之间的实数，n为任意整数。 例如地球半径是6371 km，用科学记数法表示为 6.371  106 m。 氦－氖激光波长为 632.8 nm，用科学记数法表示为6.32810－7m。

5)尾数舍入规则(数字的截尾规则) 为了使运算过程简单或准确地表示有效数字，需要对不应保留的尾数进行舍入。 舍入规则是“四舍六入五凑偶” 即：小于五舍去，大于五进位，等于五时则把尾数凑成偶数。

例如:对以下数据保留4位有效位数字 1.04346→1.043 1.04368 → 1.044 5.76453 →5.764（舍5不进位） 5.76153 →5.762 （舍5进位）

二 有效数字的运算规则 1 有效数字运算的基本原则 1）准确数与准确数运算，结果为准确数。 2）可疑数与任何数运算，结果为可疑数。 3）运算过程中可保留 2 位可疑数，最终结果一般只保留1位可疑数。

2 有效数字运算规则 1）加减法运算 13.5＋1.625＝15.125，结果取15.1 71.3－0.753＝70.547，结果取70.5 2）乘除法运算 23.12.2＝50.82，结果取51 3725.8÷136＝27.4

3) 乘方、开方：一般与底的位数相同 765 2＝5.8510 5 三角函数、对数，由有效数字的位数确定 4) 函数运算(简算法) 三角函数、对数，由有效数字的位数确定 Sin 30012’=0.5030

3 测量结果的有效数字 不确定度的有效数字 ：一般只取一位有效数字 ，余数“只进不舍” 。 间接测量结果的有效数字 ：测量结果的有效位数的末位，要与不确定度所在的位对齐，舍去其它多余的存疑数字。

解：重力加速度计算公式 g =（42L）/T2， 重力加速度g 的算术平均值: 例题9 用单摆测量重力加速度g 。直接测量值为：周期 T ＝2.009 0.002（s），摆长L＝1.000 0.001（m）， 试计算不确定度并表示测量结果。 解：重力加速度计算公式 g =（42L）/T2， 重力加速度g 的算术平均值: = (4 3.142 1.000)/2.0092 = 9.771

计算g的相对不确定度 计算g的不确定度

只取一位有效数字 ，“只进不舍”，  Δg＝0.03 注意：测量结果值的有效位数的末位，与不确定度所在的位对齐。 重力加速度测量结果表示为： g＝9.77 0.03 （m/s2)