共有六個運算性質 包括它的證明以及相關題型

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共有六個運算性質 包括它的證明以及相關題型 對數的運算性質 共有六個運算性質 包括它的證明以及相關題型

性質1:設 且 , , 為任 意實數,則 證明> 設 , , 由對數的定義得知 , 利用指數律可得 , 再由對數的定義知 。

範例:試求下列各式的值: (1) (2) 解>由運算性質知: (1) (2)

性質2: 證明> 設 , , 由對數的定義得知 , 利用指數律可得 , 再由對數的定義知

範例:試求下列各式的值 (1) (2) 解>由運算性質知 (1) (2)

性質3: 證明> 設 , 由對數的定義得知 利用指數律可得 , 再由對數的定義知

範例:試求下列各式的值 (1) , (2) , 解>(1)因為 ,所以 (2)因為 , 所以可得 ,即 我們令 , 範例:試求下列各式的值 (1) , (2) , 解>(1)因為 ,所以 (2)因為 , 所以可得 ,即 我們令 , 由對數基本定義知 , 又 ,所以可得到

範例:利用性質1、2、3,試求下式的值 解>

觀念思考 設 ,則下面幾個式子,應該可以等 於何值,或是何種表示法? (1) (2) (3) Ans:(1) 0 (2) 1 (3)

性質4 : 證明> 我們由性質3: 以及前一頁的 ,得知:若 , 因為 , 所以

範例:求下列各式的值 (1) (2) 解>由性質4,我們可輕易的得到 (1) (2)

性質5: 由指數式與對數式的關係: 由 可得 因此 , 代入 , 即得

範例:試求下列各式的值 (1) (2) (3) 解>由運算性質知 (1) (2) (3)

性質6:設 ,且 , 則 ,也就是我們稱的換底公式。 性質6:設 ,且 , 則 ,也就是我們稱的換底公式。 證明> 設 , 由對數的定義得知 , , 即 ,故得 。

範例:試求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 解>首先我們看到題目後,要先考慮應以多少為底數,才方便我們解題,盡量找底數與真數共同的質因數。 (1) (2)

另外,若底數與真數沒有共同的質因數,則 由前後的對數式中的真數與底數找是否有其 相同之處。 (3) (4)