XIV. Orthogonal Transform and Multiplexing  14-A Orthogonal and Dual Orthogonal Any M  N discrete linear transform can be expressed as the matrix form: Y = A X inner product

Orthogonal: when k  h orthogonal transforms 的例子：  discrete Fourier transform  discrete cosine, sine, Hartley transforms  Walsh Transform, Haar Transform  discrete Legendre transform discrete orthogonal polynomial transforms Hahn, Meixner, Krawtchouk, Charlier

為什麼在信號處理上，我們經常用 orthogonal transform?

 If partial terms are used for reconstruction for orthogonal case, perfect reconstruction: partial reconstruction: K < N reconstruction error of partial reconstruction 由於 一定是正的，可以保證 K 越大, reconstruction error 越小

For non-orthogonal case, perfect reconstruction: partial reconstruction: B = A−1 K < N reconstruction error of partial reconstruction 由於 不一定是正的， 無法保證 K 越大, reconstruction error 越小

 14-B Frequency and Time Division Multiplexing 傳統 Digital Modulation and Multiplexing：使用 Fourier transform  Frequency-Division Multiplexing Xn = 0 or 1 Xn can also be set to be −1 or 1 When (1) t  [0, T] (2) fn = n/T it becomes the orthogonal frequency-division multiplexing (OFDM).

Furthermore, if the time-axis is also sampled t = mT/N, m = 0, 1, 2, ….., N−1 then the OFDM is equivalent to the transform matrix of the inverse discrete Fourier transform (IDFT), which is one of the discrete orthogonal transform. Modulation:

Modulation: Demodulation: Example: N = 8 Xn = [1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1] (n = 0 ~ 7)

 Time-Division Multiplexing (also a discrete orthogonal transform)

思考： 既然 time-division multiplexing 那麼簡單 那為什麼要使用 frequency-division multiplexing 和 orthogonal frequency-division multiplexing (OFDM)?

 14-C Code Division Multiple Access (CDMA) 除了 frequency-division multiplexing 和 time-division multiplexing，是否還有其他 multiplexing 的方式？ 使用其他的 orthogonal transforms 即 code division multiple access (CDMA) CDMA is an important topic in spread spectrum communication 參考資料 [1] M. A. Abu-Rgheff, Introduction to CDMA Wireless Communications, Academic, London, 2007 [2] 邱國書, 陳立民譯, “CDMA 展頻通訊原理”, 五南, 台北, 2002.

CDMA 最常使用的 orthogonal transform 為 Walsh transform channel 1 channel 2 channel 3 channel 4 channel 5 channel 6 channel 7 channel 8

當有兩組人在同一個房間裡交談 (A 和B交談)， (C 和D交談) ， 如何才能夠彼此不互相干擾？ (1) 不同時間 (2) 不同聲調 (3) 不同語言

CDMA 分為： (1) Orthogonal Type (2) Pseudorandom Sequence Type   Orthogonal Type 的例子： 兩組資料 [1, 0, 1] [1, 1, 0] (1) 將 0 變為 −1 [1, −1, 1] [1, 1, −1] (2) 1, −1, 1 modulated by [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] (channel 1)  [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 1, 1, −1 modulated by [1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1] (channel 2)  [1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1] (3) 相合 [2, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -2, -2, -2, -2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2]

demodulation [2, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -2, -2, -2, -2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2] [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1] [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 內積 = 8

注意： (1) 使用 N-point Walsh transform 時，總共可以有N 個 channels (2) 除了 Walsh transform 以外，其他的 orthogonal transform 也可以使用 (3) 使用 Walsh transform 的好處

 Orthogonal Transform 共通的問題: 需要同步 synchronization   但是某些 basis, 就算不同步也近似 orthogonal <R1[n], R1[n]> = 8, <R1[n], Rk[n]> = 0 if k  1 <R1[n], Rk[n1]> = 2 or 0 if k  1.

Pseudorandom Sequence Type 不為 orthogonal，capacity 較少 但是不需要同步 (asynchronous) Pseudorandom Sequence 之間的 correlation b1p(t+ 1) + b2p(t + 2) recovered: (若 C(0) = 1, C(2  1)  0) 1, 2 不必一致 C() -axis

CDMA 的優點： (1) 運算量相對於 frequency division multiplexing 減少很多 (2) 可以減少 noise 及 interference的影響 (3) 可以應用在保密和安全傳輸上 (4) 就算只接收部分的信號，也有可能把原來的信號 recover 回來 (5) 相鄰的區域的干擾問題可以減少

相鄰的區域，使用差距最大的「語言」，則干擾最少 B 區 A 區 假設 A 區使用的 orthogonal basis 為 k[n], k = 0, 1, 2, …, N−1 B 區使用的 orthogonal basis 為 h[n], h = 0, 1, 2, …, N−1 設法使 為最小 k = 0, 1, 2, …, N−1, h = 0, 1, 2, …, N−1

附錄十五 3-D Accelerometer 的簡介 許多儀器(甚至包括智慧型手機) 都有配置三軸加速器 可以用來判別一個人的姿勢和動作 應用： 動作辨別 (遊戲機) 運動 (訓練，計步器) 醫療復健，如 Parkinson 患者照顧，傷患復原情形 其他 (如動物的動作，機器的運轉情形的偵測)

z-axis y-axis x-axis 根據 x, y, z 三個軸的加速度的變化，來判斷姿勢和動作 平放且靜止時， z-axis 的加速度為 –g = – 9.8

若加速規傾斜， z-axis 的加速度將不再是 – 9.8, 沿著 x 和 y 軸的加速度不再是 0

例子：若將加速規放在腳上……………. 走路時，沿著其中一個軸的加速度變化

期末的勉勵  人生難免會有挫折，最重要的是，我們面對挫折的態度是什麼 想一想，就連舉世聞名的 Fourier transform，也是 1812 年投稿，中間被退稿很多次，直到 1822年才被接受、刊登，比較起來，我們已經算是很幸運了  長遠的願景可以美麗，短期的目標要務實

祝各位同學暑假愉快！   各位同學在研究上或工作上，有任何和 digital signal processing 或 time frequency analysis 方面的問題，歡迎找我來一起討論。