e-mail: mazq@mail.ihep.ac.cn 散射相移和束缚态数目的关系 ------Levinson定理 马中骐 中国科学院高能物理研究所 e-mail: mazq@mail.ihep.ac.cn

报告内容 Jost函数方法证明薛定谔方程 的Levinson定理 2. Sturm-Liouville定理方法证明 薛定谔方程的Levinson定理 3. 结论

GEORGE SUDARSHAN has been nominated for the Nobel Prize six times and has received many awards, including the Bose Medal in 1977.

This book provides a pedagogical introduction to the formalism, foundations and applications of quantum mechanics. This book is intended for use as a textbook for beginning graduate and advanced undergraduate course.

(2) (12)

(20)

(15b) (24)式前面 (26)

Jost 函数方法证明Levinson定理 讨论有球对称势的薛定谔方程 U(r)在原点比 更少奇异 在无穷远比 收敛更快

Jost 函数方法证明Levinson定理 讨论有球对称势的薛定谔方程 U(r)在原点比 更少奇异 在无穷远比 收敛更快

Jost 函数方法 Levinson定理： 1.Jost函数解析性质和零点重数的研究很困难。 2.对势函数的条件太苛刻。 3.定理中包含 项 3.定理中包含 项 4.推广到Dirac方程很困难。

Sturm 比较定理 在区域[a,b], , c是Y第一个零点 1. 。 2.在[a,b]内 y 两个相邻零点间 至少有 Y 一个零点。 1. 。 2.在[a,b]内 y 两个相邻零点间 至少有 Y 一个零点。 3.在[a,b]内 y 第k个零点在Y第k零点的右面。

“For the Sturm-Liouville problem, the fundamental trick is the 一个相角随能量单调变化 Professor C. N. Yang pointed out In a talk on monopole (1981) “For the Sturm-Liouville problem, the fundamental trick is the definition of a phase angle which is monotonic with respect to the energy.”

Sturm-Liouville 定理 径向函数的Wronskian 波函数对数微商

Sturm-Liouville 定理 对 取 在无穷远趋于零， 两侧波函数对数微商都随能量单调变化， 随势函数也单调变化。

薛定谔方程的Levinson 定理 现在研究束缚态，E<0,在区域 解为 其中 ，对数微商为

薛定谔方程的Levinson 定理 在区域 ，自由粒子（ ）解为 对数微商为

薛定谔方程的Levinson 定理 随着 由0增加至1， 保持不变， 而 要发生变化。 由于单调性，只要注意 的变化

薛定谔方程的Levinson 定理 每当 下降而经过 值时， 一个散射态变成了一个束缚态，反之亦然。 与此同时， 跳进

薛定谔方程的Levinson 定理 临界情况， 在区域 有解 是束缚态， 取负值。 是半束缚态， 取无穷大。

薛定谔方程相移的性质 在区域 径向方程依赖于势，设解为 在区域 径向方程可解，E>0时为 可算得对数微商为

薛定谔方程相移的性质 由衔接条件 解得

薛定谔方程相移的性质 1. 相移 周期性的约定 过去 和 实际只要势函数不太奇异，

薛定谔方程相移的性质 1.相移 周期性的约定 2.取截断势 可分两区域 和 分别计算， 在区域 为自由粒子，解已知。 1.相移 周期性的约定 2.取截断势 可分两区域 和 分别计算， 在区域 为自由粒子，解已知。 3.在 处用波函数对数微商衔接条件

薛定谔方程相移的性质 对给定的 因为 所以要计算 时的相移值

薛定谔方程相移的性质 时的相移为

薛定谔方程相移的性质 1. 由于因子 ， 很小，

薛定谔方程相移的性质 1. 由于因子 ， 很小， 例外： 和 时 ， 是半整数

薛定谔方程相移的性质 1. 由于因子 ， 很小， 例外： 和 时 ， 是半整数 随 跳跃变化，每次跳 随 跳跃变化，每次跳

薛定谔方程相移的性质 1. 很小时， 2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变。 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 ，反之亦然。

薛定谔方程相移的性质 1. 很小时， 2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变， 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 。 3.临界情况，

薛定谔方程相移的性质 1. 很小时， 2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变， 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 。 3.临界情况， 1. 很小时， 2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变， 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 。 3.临界情况， 对小的E值， 已经是负值。

薛定谔方程的Levinson 定理 当势能满足条件 时有 半束缚态发生在S波的临界情况：

势函数在无穷远存在尾巴的情况 满足Levinson定理，而 满足修改的Levinson定理。

Newton的两个反例 Levinson定理不会成立， 但修改的Levinson定理成立。 反例1：

Newton的两个反例 反例2：

讨论 1.用Jost函数的解析性质证明Levinson定理， 势函数需要满足更强的条件 原条件是 2. 在正常情况下 但在特殊条件下， 2. 在正常情况下 但在特殊条件下， 原来的Levinson定理不成立。 如正无穷方势阱， 还有非定域势，并存在正能束缚态情况。 3. 在无穷远存在 形式的势能尾巴时，Levinson 定理不成立，但我们的修改的Levinson定理成立。 4. 我们的方法便于推广，如推广到Dirac方程。

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