高等代数中概念、实例、定理的内涵、背景与应用 陈尔明 华侨大学 数学系

高等代数教学内容中, 有一些内容表面上是孤立的, 但实际上很多这样的内容都有其生动的背景与应用. 这反映了数学个学科间的广泛联系 高等代数教学内容中, 有一些内容表面上是孤立的, 但实际上很多这样的内容都有其生动的背景与应用. 这反映了数学个学科间的广泛联系. 了解有关的联系, 提高我们的综合数学修养, 会使我们得到对教学内容更精确与深入的理解, 更好的掌握教学, 得到更丰富的与学生交流的素材. 下面我们列举若干这类内容, 以说明这方面的问题.

1. 向量空间的概念 我们常把向量空间的概念与中学里平面解析几何的内容做类比. 但有的学生也问: 为什么向量空间的理论中不研究坐标平移 1. 向量空间的概念 我们常把向量空间的概念与中学里平面解析几何的内容做类比. 但有的学生也问: 为什么向量空间的理论中不研究坐标平移. 实际上向量空间的概念是纯代数的. 回答上面的问题,我们需要其几何化的概念, 这就是仿射空间的概念. 在微分流形、张量分析的教材中有相应的公理化的定义.

D.[1] 设V是n维向量空间, A是一个非空集, A中的元素称为点,如果存在映射 , 使得A中任意一对有序点P,Q映为V中的一个向量 ,且满足: (1) (2) 存在唯一的一点 ,使得 (3) 恒成立

则称A是n维仿射空间. V是其伴随的向量空间. 在A中任取一点P, 及V中一个基底 ,则 为A中一个标架 则称A是n维仿射空间. V是其伴随的向量空间. 在A中任取一点P, 及V中一个基底 ,则 为A中一个标架. 利用n维仿射空间的理论与中学里平面解析几何内容相类比, 就可以很好的回答上面的问题了.

2. Vandermonde 行列式的应用 在一般教材中, Vandermonde 行列式常作为一个行列式计算的实例而出现 2. Vandermonde 行列式的应用 在一般教材中, Vandermonde 行列式常作为一个行列式计算的实例而出现. 实际上它本身有许多重要的应用. 我们举一例. 把Vandermonde 行列式应用于下面拓扑学定理的证明,可以得到非常简洁的陈述.下述定理中的n维单纯复形K是指: 次数不超过n的一些不同维数的单形的集合, 他们要规则放置.

定理[2] 任意n维单纯复形K可以嵌入 中. 证明: 因为K可以与一个抽象复形同胚, 我们考虑K为抽象复形 定理[2] 任意n维单纯复形K可以嵌入 中. 证明: 因为K可以与一个抽象复形同胚, 我们考虑K为抽象复形. 设K的全部顶点为 , 选择 中m+1个点, 他们有性质: 其中有2n+2个是独立的. 注意m可能比n大很多. 这件事这样 办到: 取m个点 , . 利用Vandermonde 行列式可知:

方程组: 只有0解, 所以上面m+1个点中任意2n+2个都是独立的. 也称为这m+1个点处于一般位置 方程组: 只有0解, 所以上面m+1个点中任意2n+2个都是独立的. 也称为这m+1个点处于一般位置. 然后 把这m+1个点与K的 m+1个顶点对应,再按K的 单形相对应的单形. 这些单形是否构成一复形,

只需证明: 任意两个单形的交如果不空, 则其交 是他们的公共面 只需证明: 任意两个单形的交如果不空, 则其交 是他们的公共面. 由于复形K是n维的, 其单形的最大维数是n, 所以两个单形的顶点的总和不超 过2n+2, 从而在我们构造中是独立的.他们张成 中一个单形,上面所述两单形是此单形的两个面, 这两个面的交当然是这两个面的公共面, 如同正 4面体的任意2个2维面的交若不空, 是1维的公共棱, 或0维的公共顶点, 而不会是其它的任意的 情形. 证毕.

这个结论是比较深刻的. 他体现在复形的 维数固定, 他的顶点个数可以是任意大的有限数，所以其证明有一定难度.

3. 对称变换的一个背景 在高等代数教材中, 对称变换是欧氏空间中的一个内容, 在教材中他的出现是比较孤立的.但是他实际是一些具体现象的抽象. 在若干具体背景中微分几何中的背景是较生动的一个. 首先来看对称变换的定义: D. 欧氏空间中对任意 , 满足关系: 的 的线性变换 ,称为对称变换.

微分几何中有一种重要的映射, 称为Weingarten映射. 为此首先明确Gauss映射. D 微分几何中有一种重要的映射, 称为Weingarten映射. 为此首先明确Gauss映射. D. 曲面每一点有一个单位法向量n(u,v),将其起点平移至原点O，我们就得到Gauss映射g,它使g(r(u,v))=n(u,v) 则Weingarten映射为：W=-. 易知W是对称变换.

对称变换具有下列性质 : Th. n维欧氏空间的一个对称变换的属于不同本征值的本征向量彼此正交

4．Jordan分解、标准型的应用 Jordan分解是关于线性变换的较深刻的结论. 他有很多重要应用. 其中, 有两方面的应用意义重大 4．Jordan分解、标准型的应用 Jordan分解是关于线性变换的较深刻的结论.他有很多重要应用. 其中, 有两方面的应用意义重大. (1) 在动力系统中的应用 自治型微分方程 是最简单最重要的方程. 当我们可以经坐标变换使方程变形, 当A经坐标变换化为Jordan标准型, 我们就可以定性的判断方程解的动力形态.

(2) 在Lie代数中的应用 我们知道Lie代数中有一种重要运算, Poisson括号积 (2) 在Lie代数中的应用 我们知道Lie代数中有一种重要运算, Poisson括号积. 由两个线性变换A,B构成的线性变换AB-BA即为一括号积. 所以有限维空间上线性变换以此为积构成Lie代数, 这是最重要最基本的Lie代数.对此Lie代数研究其半单子代数与线性变换分解为半单的与幂零的线性变换密切相关, 且任意Lie代数又都有伴随表示, 即与一个线性变换构成的Lie代数同态. 所以, 把一个线性变换分解为半单的与幂零的线性变换的和是非常重要的, 从而Jordan分解及向量空间按一线性变换分解为根子空间的直和是经常需要的.

5. 多元多项式 教材中对多元多项式的介绍一般不多. 但是多元多项式的理论对现代数学的发展至关重要. 了解一些相关的知识非常必要 5.多元多项式 教材中对多元多项式的介绍一般不多.但是多元多项式的理论对现代数学的发展至关重要.了解一些相关的知识非常必要. (1) n元齐次多项式 齐次多项式有一个简单的性质: 若一个点p是齐次多项式 的根,则cp也是其根.即含有p的1维子空间上的每一点都是其根. 而1维子空间为n维射影空间的一点: 故齐次多项式 可表示n维射影空间的一曲线.

(2)结式 结式可以表示两多项式的公共零点的情形. 在代数几何种有广泛应用. 我们引用一段简单证明说明他的应用. P (2)结式 结式可以表示两多项式的公共零点的情形. 在代数几何种有广泛应用. 我们引用一段简单证明说明他的应用. P. 在R[x,y]中(Y)是V(Y)的最大定义理想. 因为若(Y)非最大, 则有多项式p在V(Y)上取值0, 且p不在(Y)中, 与Y互素. 那末, 结式 . 且 只含有有限个点所以p不能在V(Y) 上每都取0. 从而说明V(Y)最大定义理想.

6．正定、半正定二次型的应用 正定二次型在优化理论中有重要应用. 凸性在优化理论中有重要作用, 而凸性与半正定性密切相关. D 6．正定、半正定二次型的应用 正定二次型在优化理论中有重要应用. 凸性在优化理论中有重要作用, 而凸性与半正定性密切相关. D. , f 称为S上的凸函数, 如果对任意 , 有 成立.

Th. [6] 设 是非空开凸集，f 是定义在S上的二次可微函数,则f 是凸函数的充分必要条件是在S的每一点Hesse矩阵正半定 Th.[6] 设 是非空开凸集，f 是定义在S上的二次可微函数,则f 是凸函数的充分必要条件是在S的每一点Hesse矩阵正半定. 如果每一点Hesse矩阵正定,则f 是严格凸函数. Hesse矩阵是由f 的2阶偏导构成的矩阵. Hesse矩阵是对称的实矩阵。

我们想表达的是教学与科研相辅相成, 教学与科研一样无止境. 提高教学水平有很多方面的工作, 其中数学修养的提高是改进教学水平的重要方面之一 我们想表达的是教学与科研相辅相成, 教学与科研一样无止境. 提高教学水平有很多方面的工作, 其中数学修养的提高是改进教学水平的重要方面之一. 也说明即使我们很熟悉的基础课教学, 也需要不断学习, 不断作小学生.

参考文献 [1] 微分流形初步, 陈维桓, 北京大学出版社1998 [2] 张量分析及应用, 李开泰等, 科学出版社 2004 [3] Algebraic Topology , C.R.F. Maunder, Cambridge press 1980 [4] 微分几何初步, 陈维桓, 北京大学出版社1990 [5] 微分方程,动力系统和线性代数, M.W.Hirsch, S.Smale 高教出版社 1986 [6] Elementary Algebraic Geometry, K.Kendig, Springer-Verleg,1977 [7] 最优化理论与方法,袁亚湘等, 科学出版社 1997