浅谈3-SAT问题 陈昕昀
SAT问题的定义
k-SAT
3-SAT 完备性算法 非完备性算法 一些拓展
完备性算法 根本思想:回溯法 优化: (1)优先确定短的子句中包含的变量的值 (2)优先确定在较多子句中出现的变量的值
问题模型的转化
问题模型的转化 将X中所有变量的一个赋值方案记为 a={a1,a2,…,an} 令 则原问题转化为判断上述函数最小值 能否达到0
非完备性算法 爬山法 模拟退火 遗传算法 ……
粒子群优化算法 J. Kennedy,R. C. Eberhart(1995) 第i个粒子的状态用三元组(ai,vi,pi)表示
应用于3-SAT问题 记ai=(xi1, xi2,…, xin) vi=(vi1,vi2,…, vin) (ai,vi,pi)的更新方式如下: 当sig(vij(t+1))≤r3时,xij(t+1)=0,反之为1 其中t为迭代次数,sig(x)=1/(1+e-x) ω∈(0,1),为惯性因子;c1,c2为事先确定的正常数 pg表示整个粒子群所达到过的最优解 r1,r2,r3为相互独立的(0,1)之间的随机数
应用于3-SAT问题 单纯用这种方法求解容易使f(pg)停留在某个很小的正整数而无法得到0 这个解有可能在最优解的附近 记当前所得f(pg)=c;若最优解存在的话,至多需要改变 3c个变量的值 将其余变量的值固定,对这几个变量使用局部随机搜索 若仍无法达到最优解,则认为当前解为局部极小值,更新其余解
伪代码 maxTimes=200, vmax=2; size=100,c1=c2=2.0,w=0.8,i=1,currentTimes=0; initialize population; while i<=size do currentTimes=currentTimes+1; if f(xi)<f(pi) then {pi=xi;currentTimes=0;} if f(pi)<f(pg) then pg=pi; if f(pg)=0 then return pg; for j=1 to n calculate vij; if (vij<-vmax)vij=-vmax; if (vij>vmax)vij=vmax; get r3; if sig(vij)<=r3 then xij=0 else xij=1; end for
伪代码 if currentTimes>=maxTimes then while 1 do c=f(pg); c2=local_search(pg); if c2=0 then return pg; if c2<=c then update pg else i=i+1,currentTimes=0,break; end while end then return (pg,f(pg));
一些拓展 转化为独立集问题 对Xi’中每个元素建立一个节点对应于相应变量 的取值,并两两之间相互连边 假如Xi’与Xj’中同时存在xk和￢ xk,将对应的两个 点连边 3-SAT问题有解当且仅当该图中存在点数为m 的独立集
一些拓展 转化为独立集问题 举个例子:
一些拓展 一个8/7-近似算法 假设在一个3-SAT问题中每个语句恰好包含3个 子句,如果我们只要求满足大部分语句的话,存在 一个确定性算法能够满足7/8的语句 首先,考虑在一随机指派下满足语句个数的期望 值,记为E(X),每个语句记为Xi 则P(Xi=1)=7/8,P(Xi=0)=1/8,E(Xi)=7/8(1≤i≤m) 故 E(X)=7m/8 因此,基于随机指派的算法的期望近似比≤m/(7m/8)=8/7
一些拓展 一个8/7-近似算法 首先考虑变量x1 由于E(X)=E(X|x1=1)P(x1=1)+E(X|x1=0)P(x1=0) =0.5E(X|x1=1) +0.5E(X|x1=0) 故必存在对于x1的某个赋值a1(a1∈{0,1})使得 E(X|x1=a1)≥7m/8 同理,可依次找到a2, a3 …,an∈{0,1}使得 E(X| x1=a1,…, xn=an)≥7m/8,则该方案即为所求 该确定性算法的近似比≤m/(7m/8)=8/7,时间复 杂度为O(nm)
结 语
References Carla P. Gomes, Henry Kautz, Ashish Sabharwal, Bart Selman,“Satisfiability solvers” He Yichao,Wang Yanqi,Kou Yingzhan, “A New Method for Solving 3-SAT Problems” Riccardo Poli, James Kennedy, Tim Blackwell, “Particle swarm optimization”
Thanks for Listening！