1．4.3　含一个量词的命题的否定

1.能正确的对含有一个量词的命题进行否定． 2.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

1.对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 2.对量词的否定词的理解．(难点) 3.常与命题的真假性判断结合考查.

1．(1)所有同学都顺利通过了考试； (2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径长． 写出以上两个全称命题的否定，从中你能发现原命题和它的否定在形式上有什么变化吗？ 2．(1)有的函数是奇函数； (2)至少有一个三角形没有外接圆． 写出以上两个特称命题的否定，从中你能发现原命题和它的否定在形式上有什么变化吗？

1．含有一个量词的命题的否定 2.重要结论 (1)全称命题的否定是 ； (2)特称命题的否定是 ． 命题 命题的表述 全称命题p ∀x∈M，p(x) 全称命题的否定¬p ∃x0∈M，¬p(x0) 特称命题p ∃x0∈M，p(x0) 特称命题的否定¬p ∀x∈M，¬p(x) 特称命题 全称命题

1．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为(　　) A．任意四边形都没有外接圆　　 B．任意四边形不都有外接圆 C．有的四边形没有外接圆 D．有的四边形有外接圆 答案：　C

2．命题p：“∀a∈R，方程x2＋y2＋2x－y－a2＝0表示圆”，则(　　) A．綈p为“∀a∉R，使方程x2＋y2＋2x－y－a2＝0表示圆”，p为真命题 B．綈p为“∃a∈R，使方程x2＋y2＋2x－y－a2＝0不表示圆”，p为真命题 C．綈p为“∀a∉R，使方程x2＋y2＋2x－y－a2＝0不表示圆”，p为假命题 D．綈p为“∃a∉R ，使方程x2＋y2＋2x－y－a2＝0表示圆”，p为假命题 答案：　B

3．命题“一次函数都是单调函数”的否定是________． 答案：　有些一次函数不是单调函数 4．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假： (1)p：二次函数的图象是抛物线； (2)p：直角坐标系中，直线是一次函数的图象； (3)p：有些四边形存在外接圆； (4)p：有些棱柱侧棱垂直于底面．

解析：　(1)綈p：∃x∈{二次函数}，x的图象不是抛物线．假命题．

判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形． (2)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根． (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解． (4)每个三角形至少有两个锐角．

[解题过程]　(1)真命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形． (2)假命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根． (3)假命题，其否定为∃a，b∈R，方程ax＝b没有唯一解． (4)真命题，其否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．

[题后感悟]　(1)全称命题的否定是特称命题．因为要否定全称命题“∀x∈M，p(x)成立”只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也即“∃x0∈M，¬p(x0)成立”． (2)要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反例． (3)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．

1.写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)任何一个素数是奇数； (2)任何一个平行四边形的对边都平行； (3)∀x∈R，都有|x|＝x； (4)每个二次函数的图象都开口向下．

解析：　(1)命题的否定为：存在一个素数，它不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题． (2)命题的否定为：存在一个平行四边形的对边不都平行，其否定是假命题． (3)命题的否定为：∃x0∈R，有|x0|≠x0，如x0＝－1，|－1|≠－1，其否定是真命题． (4)命题的否定为：存在一个二次函数的图象开口不向下，其否定是真命题．

[解题过程]　`(1)命题的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”． 由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题． (2)命题的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

[题后感悟]　(1)特称命题的否定是全称命题，要否定特称命题“∃x∈M，p(x)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“∀x∈M，¬p(x)成立”． (3)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．

2.写出下列命题的否定，并判断真假． (1)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. (2)∃x0∈R，x－3x0＋3≥0. (3)有的四边形是正方形． (4)有一个奇数不能被3整除．

解析：　(1)命题的否定为： 对任意的实数x，有x3＋1≠0，假命题． (2)命题的否定为： ∀x∈R，x2－3x＋3＜0，假命题． (3)命题的否定为：所有四边形都不是正方形，假命题． (4)命题的否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题．

1．如何对全称命题和特称命题进行否定？ (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题． (2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词． (3)否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． [提醒]　无量词的全称命题要先补回量词再否定．

2．如何理解全称命题和特称命题的关系？ 全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外，而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象，有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

3．常见词语的否定 词语 词语的否定 等于 不等于 大于 不大于(即小于或等于) 小于 不小于(即大于或等于) 是 不是 都是 不都是(与“都不是”区别开) 至多一个 至少两个 至少一个 一个也没有 任意 某个 所有的 某些

◎写出下列命题的否定： (1)矩形的四个角都是直角； (2)所有的方程都有实数解； (3)4＜3. 【错解】　(1)矩形的四个角都不是直角． (2)所有的方程都没有实数解． (3)4＞3.

【错因】　(1)“四个角都是直角”的否定有以下几种情况：四个角都不是直角；有三个角不是直角；有两个角不是直角；有一个角不是直角．上述否定形式只指出了反面的一种情况而没有否定全部情况． (2)否定词使用错误． (3)认为4＜3的反面是4＞3，忽略了4＝3的情况． 【正解】　(1)矩形的四个角不都是直角． (2)有的方程没有实数解． (3)4≥3.

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