6 報酬、風險 與投資組合

學習重點 各種報酬率之計算 報酬率的功能組合暨機會成本的評估 探討風險溢酬之概念 認識報酬變異數、標準差及其風險組成因子 分析多角化經營對公司風險及報酬的影響 介紹投資組合風險衡量方式 學習效率投資組合並尋找最佳投資集合 定義 β 值並運用資本資產定價模型計算資金機 會成本

總報酬率 當投資人購買股票或是債券時，投資報酬主要來自 兩部分： 股票股利或債券利息 資本利得或資本損失 舉例，假設今天以每股 50 元價格（Pt）買進一張某 公司股票，一年後股價（Pt+1）漲到每股 60元，即 一年後資本利得為 60 − 50 = 10元

總報酬率 若這間公司一年後將發放現金股利（Divt+1）每股 6.5 元，一年後投資報酬率（Rt+1）為：

總報酬率 以上所計算的總報酬率等，是指名目報酬率 考慮通貨膨脹影響後，可計算出實質報酬率 假設今年一整年通貨膨脹率為2%，則購買此張股 票的實質報酬率為： 所獲得的實質報酬率為30.4%

持有期間報酬率 （Holding-Period Returns） 此例子裡，因為通貨膨脹率不高，所以實質報酬 率只略低於名目報酬率 假設收到現金股利後，立刻將股利拿去買進這間 公司股票，且往後每一期都買，報酬率如何計算？ 可用下面公式來計算，R1表利用公式（6.1）所求 得的第一期總報酬率，以此類推：

持有期間報酬率 （Holding-Period Returns） 假設此公司未來三年股票總報酬率分別為 33%、 18%、 10%，那可計算出，今天若投資 1元，三年 後投資總價值將為： 總價值 = (1 + 0.33) × (1 + 0.18) × (1− 0.10) = 1.41 注意，41%報酬率包含每年將股利再繼續投資這檔 股票的報酬率，稱41%為這三年的持有期間報酬率 （Holding-Period Returns）

報酬率的計算

報酬率的計算

年平均報酬率（Average Annual Returns） 將持有期間各年的報酬率加總後除以持有年數 假設各年報酬率為Rt，共持有 T 年，則年平均報酬 率可寫成以下公式：

年平均報酬率（Average Annual Returns） 回到範例 6-1。 假設 2017 年戴蒙公司股票年報酬率為5.6%，如 果有個投資者自2015 年起持有戴蒙公司股票至 2017 年底，那他持有三年的年平均報酬率則為：

年平均報酬率（Average Annual Returns） 注意，由於年平均報酬率是在計算報酬率的算數 平均數 當所計算範圍愈大，也就是期間愈長，所得到的 年平均報酬率將愈接近該股票真實報酬率 所以，購買股票前，可先計算該股票的歷史年平 均報酬率，作為該股票預期報酬率的參考數據

報酬率與風險溢酬 常拿來比較的投資工具是報酬率波動幅度較小的 政府公債 因為政府公債與股票相比相對沒有投資風險 常見的政府公債，例如：國庫券（Treasury Bills） 典型國庫券屬零息債券（Zero-Coupon Bonds）， 常在一年內到期

無風險報酬率（Risk-Free Return） 因為政府可稅收償還國庫券面額，所以國庫券基 本上沒有任何違約（Default）風險，因此稱國庫 券的報酬率為無風險報酬率（Risk-Free Return） 由於風險低，所以年平均報酬率也是各種投資商 品中最低

風險溢酬（Risk Premium） 將國庫券年平均報酬率與股票年平均報酬率相比， 兩者間差異稱為有風險資產的超額報酬（Excess Return） 之所以稱超額報酬，是因為股票多餘的報酬率源 自於股票市場風險，所以這超額報酬又稱風險溢 酬（Risk Premium）： 股票市場報酬率 = 國庫券利率 + 風險溢酬

風險溢酬（Risk Premium） 表 6.1 呈現 1928 至 2012 年美國各投資商品年平均 報酬率與風險溢酬的關係 市場風險溢酬為7.65%，表這八十五年期間投 資 人若投資於股票市場，比起投資於國庫券，每年 平均可多獲得7.65% 超額報酬率 股票市場有較高年平均報酬率的同時，也有較高 投資風險

風險溢酬（Risk Premium） 表 6.1 的三種投資商品中，股票市場雖有 最高 報酬率，但也有最高標準差

風險溢酬（Risk Premium） 若觀察每一年報酬率後，可發現許多年股票市場 的年報酬率高達40%，但也有許多年可低達30% 而國庫券報酬率卻從不曾低於0% 也就是說當投資人在股票市場享有7.65% 超額報酬 率時，也冒著損失30% 或更多資金的風險。

風險溢酬（Risk Premium） 另外，表 6.1 中的歷史資料可當作計算機會成本的 依據當評估投資的機會成本時，可預期在近似風 險下的投資報酬率至少要達到相同程度 舉例，假設有間公司投資生產計畫，經理人知道 該計畫風險與股票市場風險相近 對股東而言，公司生產計畫就須有相近於股票市 場的報酬率，否則股東不會有動機支持公司投資

風險溢酬（Risk Premium） 上例所指股票市場報酬率是否就是八十五年來的 平均報酬11.26% 呢？ 並非如此。不過國庫券報酬率每年波動幅度不大， 所以可利用國庫券年平均報酬率及歷史年平均風 險溢酬，來估計投資的預期機會成本

風險溢酬（Risk Premium） 假設今年國庫券利率5%，那今年股票市場預期報 酬率的估算過程如下： 今年股票市場預期報酬率 = 今年國庫券利率 + 年平均風險溢酬 = 5% + 7.65% = 12.65%

風險溢酬（Risk Premium） 以上是假設每年風險溢酬穩定的情況下所得答案 事實上，隨年數累積，歷史年平均風險溢酬仍有 些微波動，計算出的預期報酬率不全正確 大多數財務學者與經濟學家認為歷史年平均風險 溢酬是目前所能得到最好的參考標的，儘管有波 動，但一直維持在 9% 左右

風險 一般常用來衡量風險的統計工具，就是變異數 （Variance）和標準差（Standard Deviation） 前面提過，較高報酬率對應較高投資風險，即每年 報酬率波動幅度較大 變異數和標準差正是衡量波動幅度大小的統計工具

風險 變異數開根號後即為標準差 以下將以 Var 或 σ^2 代表變異數 以 SD 或 σ 代表標準差 變異數與標準差公式如下：

風險 其中，T 表計算期數，R 表年平均報酬率，Rt表各 期報酬率。 假設 2012至2016年某股票市場報酬率如下表，該 如何求出這五年來報酬率的變異數及標準差？

風險 首先計算這五年的年平均報酬率： 接著代入變異數公式：

多角化投資（Diversification） 表 6.2 呈現自 2007年至 2013/10 /31 ，臺灣股票市 場大盤報酬率的標準差及八個代表性個股標準差 將這些個股年報酬率標準差與大盤年報酬率標準 差38.11% 相比，可明顯發現沒有任何一間公司之 股票標準差比大盤還低 也就是說，這八間公司股票報酬率的波動幅度都 比大盤還大

多角化投資（Diversification） 於是產生一個問題：股票市場明明是由各類股票 所構成，大盤報酬率標準差應會接近個股標準差 平均，為什麼實際上大盤標準差卻較低呢？ 主要因為多角化投資（Diversification）可降低投 資風險

台股報酬率標準差

多角化投資（Diversification） 即使少量多角化投資，都可大大降低報酬率風險 接著看例子：假設股票 A、B，這兩張股票同時面臨正 常、景氣衰退、景氣繁榮三種情況，而這三種情況發 生機率一樣 表 6.3 中顯示A、B 股票在三種情況下的個別預期報酬 率及報酬率標準差 另外假設將 25% 錢投資於A、75% 投資於B 形成一個 投資組合 表6.3最右邊那欄為此投資組合的預期報酬率與標準差

多角化投資（Diversification）

多角化投資（Diversification） 由於股票 A 持有比例為 25%，B為75% 所以表 6.3 中最右一欄投資組合報酬率為 0.25 × (− 0.10) + 0.75 × 0.10 = 5%，其餘以此類推 因為三種景氣情況發生機率相等，所以股票 A 預 期報酬率為(− 0.10 + 0.10 + 0.30)÷3 = 10% 而股票 B預期報酬率為 4.33% 投資組合報酬率為 5.75%

多角化投資（Diversification） 接著利用以下標準差公式計算股票 A 及股票 B 報酬率 標準差： 其中 i 表示某檔股票， Rit 表示情況 t 下股票 i 報酬率 Ri 表示股票 i 預期報酬率 Pt 表示情況 t 發生機率（若計算歷史報酬率標準差時， 由於其為統計學上樣本的概念，所以應照 6.2.1 節公 式計算）

多角化投資（Diversification）

多角化投資（Diversification） 可求出股票 A 報酬率的標準差為 16.33%，B 為 6.65% 然而同時持有股票 A 與 B 時，其報酬率標準差卻 只有2.01%，即當持有投資組合時，報酬率波動程 度大幅下降

多角化投資（Diversification） 當挑選的投資組合內股票愈來愈多時，將可發現 投資組合股票數目與投資組合報酬率標準差兩者 關係如圖 6.1 即隨著投資組合股票數目增加，報酬率標準差將 逐漸降低

多角化投資（Diversification） 多角化投資之所以能形成此效果，是因為每個股 票價格走勢皆不相同 在許多情況下，某些股票價格下跌的效果會被其 他價格上漲的股票給抵銷，此抵銷過程就降低了 投資組合風險

非系統性風險 可透過多角化投資而降低的風險，稱為非系統性 風險（Unsystematic, Unique, 或 Firm-Specific Risk） 主要源自於公司本身經營問題、新競爭者出現等 可能影響到公司股價的因素

系統性風險 無法透過多角化投資降低的風險，稱為系統性風 險（Systematic, 或 Market Risk） 源自於所有公司都無法避免的整體經濟環境災害， 例如，美國次級房貸危機等因素 發生整體經濟環境災害時，幾乎所有股票股價都 可能同時下跌 這也是為什麼不論投資組合再多，仍有一定程度 風險存在

多角化投資（Diversification） 從圖 6.1 可看出，當投資組合愈多，非系統性風險 逐漸下降 但下降至某一程度時，其下降趨勢趨緩，並趨近 於系統性風險 也就是說，一個良好投資組合能幫助我們避免非 系統性風險，但還是得面對市場上不可預期之整 體經濟環境風險

投資組合的風險 任何兩股票的走勢往往不同，如果想衡量不同股 票報酬率間的關係，就須計算其 共變異數與相關係數是用來衡量兩個不同變數間 的關係 共變異數（Covariance） 相關係數（Correlation Coefficient） 共變異數與相關係數是用來衡量兩個不同變數間 的關係

投資組合的風險 沿用 6.2.2 例子介紹計算共變異數的步驟： 1. 在各種景氣情況下，將股票 A實際報酬率與預期 報酬率之差值乘以股票 B實際報酬率與預期報酬 率之差值，可寫成：

投資組合的風險 其中 RAt 為情況 t 時股票 A 報酬率 RBt 為情況 t 時股票B 報酬率 RA為三種景氣情況預期報酬率

投資組合的風險 以景氣衰退情況為例，在景氣衰退下，股票 A報 酬率為 10%，股票 A 在三種景氣情況下的預期報 酬為 10%，所以其差值為 20% 而股票 B 差值為 5.67% 所以在景氣衰退下，股票 A 與 B 差值的乘積為 ( − 0.20) × (0.0567) = − 1.134%。 其餘以此類推

共變異數與相關係數 （簡寫為 Cov (RA , RB) 或 σAB） 經計算後可求得股票 A、B的共變異數為：

共變異數與相關係數

共變異數與相關係數 注意，公式（6.3）隱含共變異數的意義 當股票 A 與B 的實際報酬率都大於其預期報酬率 時，即股票 A、B 走勢皆為上漲 或當股票 A 與B 的實際報酬率都小於其預期報酬 率時，即股票 A、B 走勢皆下跌時，公式（6.3） 所計算出的乘積將大於 0 也就是兩股票走勢相同時，共變異數會大於0

共變異數與相關係數 相反，若股票 A 實際報酬率大於預期報酬率，但 股票 B 實際報酬率小於預期報酬率時，兩者乘積 將小於 0 也就是兩者共變異數將小於 0 最後可將共變異數的公式寫成：

共變異數與相關係數 （簡寫為 Corr( RA,RB ) 或 σAB）： 3. 計算出共變異數後，將共變異數除以兩個股票標 準差， 即為相關係數 （簡寫為 Corr( RA,RB ) 或 σAB）：

共變異數與相關係數 根據公式（6.5），可計算出股票 A與B的相關係數 因為標準差永遠為正值，所以兩股票相關係數的 正負號永遠與共變異數相同 如果相關係數為正 稱為正相關（Positive Correlated）

共變異數與相關係數 若相關係數為負 若相關係數為 0 相關係數永遠介於 + 1 與− 1間，因為同時除以兩 股票的標準差之緣故 稱為負相關（Negative Correlated） 若相關係數為 0 稱為不相關（Uncorrelated） 相關係數永遠介於 + 1 與− 1間，因為同時除以兩 股票的標準差之緣故

共變異數與相關係數 另外根據公式（6.5），也可將共變異數公式寫成： 股票 A、B 的共變異數，會等於兩者的相關係數乘 以股票 A 標準差，再乘以股票 B 標準差

投資組合的風險 可利用表 6.5 的過程求出兩股票間的變異數，當中 可見有四格方格，分別計算出這四格子內的值 其中 XA 表持有股票 A 的比重，x2A 為股票 A 持有 比重的平方 同理，XB 表持有股票 B 的比重， x2B 為股票 B 持 有比重的平方

投資組合的風險 計算出這四格所有的值後，將所有值加總，即為 投資組合 A、B 的變異數：

投資組合的風險 求出投資組合的變異數後，自然可利用開根號求 出投資組合標準差 由公式（6.7）可知，投資組合變異數取決於個別 股票變異數及投資組合共變異數 在個別股票變異數已知情況下，當投資組合共變 異數為正，將增加投資組合報酬率波動程度

投資組合的風險 相反，當投資組合共變異數為負，將降低投資組 合報酬率波動程度 舉例，當手中握有兩張不同股票，其中一張上漲， 另一張下跌時，由於漲跌互抵銷，所以投資風險 降低 若兩張股票同時上漲或下跌，將承受較高風險

投資組合的風險 回到之前例子來計算股票 A、B 的變異數與標準差。 利用公式（6.7）： 另外先回顧共變異數的公式（6.6）：

投資組合的風險 所以可將公式（6.7）代換成： 利用公式（6.8），可算出股票 A、B 投資組合變 異數為：

投資組合的風險 注意這裡的相關係數（ AB）為−0.9209 假設將相關係數設為1，股票A、B投資組合的變 異數將變成多少？

投資組合的風險 可發現，當相關係數為 1，投資組合標準差剛好等 於用加權平均算出來的標準差 這是因為加權平均標準差是在假設兩張股票走勢 完全相同的情況下的標準差計算方式 只要投資組合內的股票走勢不完全相同，即AB<1 時，則投資組合報酬率標準差必然小於加權平均 標準差，這就是分散風險的效果

效率投資組合 兩個資產的效率投資組合 什麼樣的投資組合才有效率呢？ 以下將從最簡單情況開始介紹。 假設一個投資組合內只有股票A 與 B，其預期報酬率 與標準差如下表：

效率投資組合 兩個資產的效率投資組合 R(40, 60) = 0.40 × 26% + 0.60 × 6% = 14% 若股票 A 與 B 未來表現與風險持續與上表一致， 且兩股票相關係數為 0 那投資者該如何決定持有比重？怎樣的比重分配 會有最好結果？ 先計算各投資比重預期報酬率與標準差 以 40% 股票 A與 60%股票 B 為例，此投資組合預 期報酬率（R(40, 60) ）為： R(40, 60) = 0.40 × 26% + 0.60 × 6% = 14%

效率投資組合 兩個資產的效率投資組合 此投資組合的標準差為： 以同樣方法計算出各持有比重預期報酬率與標準差 如表6.6。 接著將表 6.6 的各筆資料連成一條平滑曲線如圖 6.2

效率投資組合 兩個資產的效率投資組合

效率投資組合 兩個資產的效率投資組合

最小變異數投資組合 （Minimum Variance Portfolio） 圖 6.2 中，點A與B分別表投資組合完全持有股票 A 或 B，其餘各點則表股票 A 與 B 的持有比重 (xA , xB) 從圖 6.2 可發現幾個重要觀念： 1.當投資組合的持有比重分配落在點 MV 時，投資 組合會有最小標準差，即點 MV有最小風險 點 MV 一般又稱為最小變異數投資組合

投資機會集合（Opportunity Set） 2. 當投資人面對由股票 A、B 組成的投資組合時，圖 6.2中的曲線 AB 稱為投資機會集合 任何持有比重的分配都會落在曲線 AB 上，除非投 資人增加其他不同股票進入投資組合。 如果投資人是傾向風險愛好者，則可能選擇持有 80%股票 A 與 20%股票 B 如果投資人是傾向風險趨避者，持有比重的選擇 可能會往點 MV 移動

向後彎狀態（Backward Bending） 3. 注意曲線 AB 從點 B 開始至點 MV 是呈現向後彎狀 態（Backward Bending） 即有一小段機會集合會出現風險下降但預期報酬 率卻上升的現象，此現象主要源自於多角化投資 的影響 當兩股票呈現負相關，漲跌會互抵銷，所以每多 增加一點股票 A 的比重反而會產生避險效果，於 是曲線AB 出現後彎

向後彎狀態（Backward Bending） 實際上，當相關係數ρ ≤ 0 時，機會集合曲線會產 生後彎現象，當ρ > 0 時則不會。 此後彎現象只會出現一小段 例如，點 B 到點 MV，超過點 MV 後，投資組合 會因為高風險之股票 A 持有比重增加，使投資組 合風險上升

向後彎狀態（Backward Bending） 圖 6.3 是投資組合在各種相關係數下的曲線。 可發現，當相關係數愈趨近於完全負相關 （ ρ = −1），投資機會集合曲線的後彎程度愈明顯 當ρ = 1，即兩股票完全正相關時，因為完全沒有 分散風險，所以投資機會集合呈現一條直線

向後彎狀態（Backward Bending） 理論上，當兩股票為完全負相關，投資組合 將可 完全避險，也就是標準差剛好等於 0 但現實市場上，很難找到兩股票完全負相關。 另外，一個投資組合只會有一條投資機會曲線， 圖 6.3 是為了解釋方便才將各投資集合放在同張圖

效率集合與無效率集合 4. 理性投資人並不會願意將持有比重分配在後彎那 一段的投資集合線上，即點 B 到點 MV 段

效率集合與無效率集合 在面對相同風險下，投資人都會追求較高報酬率， 所以只會考慮點 MV 到點 A 這段曲線 效率前緣（Efficient Frontier） 或效率集合（Efficient Set） 而點 MV 到點 B 這段曲線則稱 無效率集合（Inefficient Set）

投資機會集合曲線

效率集合與無效率集合 5. 實際市場中，圖 6.2 的投資機會集合很容易計算。 可收集到各種股票歷史報酬率資料 透過資料，計算出股票年平均報酬率及報酬率標 準差，自然可算出兩股票間的相關係數。 然而，計算出投資機會集合或效率前緣後，投資 人該如何決定持有比重的分配才是重點，這關係 到每個投資人對風險的忍受程度及預期報酬率等

多個資產的效率投資組合 由兩種以上股票所組成的投資組合，其投資機會 集合將如圖 6.4 由兩種以上股票所組成的投資組合，其投資機會 集合將如圖 6.4 圖中由點 B、C、D、A、MV 所圍成的區域，即為 多個股票的投資機會集合 這塊區域內所有點，都表由各持有比重所組成的 投資組合

多個資產的效率投資組合 舉例，假設共有100種股票，點W可能代表選出75 種股票所組成的投資組合 點Z 也可能代表由75 種股票所組成的投資組合， 只是兩者持有比重不同 點 Y 則可能代表由 50 種股票所組成的投資組合 區域內的組合無窮多，但這100種股票的可能組合 絕不會落在區域之外

多個資產的效率投資組合

多個資產的效率投資組合 圖 6.4 與圖 6.2 明顯不同處是，當只有兩種股票時， 投資機會集合是條曲線 當有多個股票時，投資機會集合是個區域 注意，即使多個股票的投資組合，效率前緣仍只 有點 MV 到點A 這段曲線

多個資產的效率投資組合 任何在效率前緣以下的點，在相同風險下的預期 報酬率較低 舉例，考慮點 X 與點 Y，假設點 Y 報酬率是所預期 的，那一定可在相同風險下找到更高報酬率的點 X 所以，理性投資人不會選擇效率前緣以外任何投 資組合

最佳投資組合 前面所介紹的投資機會集合，都假設所有投資商 品皆有風險 當然，投資人也可能會同時持有一部分風險投資 商品及無風險投資商品，例如，國庫券 假設有個投資組合如下表：

最佳投資組合 此投資組合的預期報酬率為： 預期報酬率 = 0.4 × 0.2 + 0.6 × 0.06 = 0.116 因為國庫券 T 的標準差為 0%， 所以共變異數 σAT = 0%，故投資組合變異數為：

最佳投資組合 當投資組合由有風險股票加上無風險國庫券所組 成時，此投資組合的預期報酬率與標準差的關係 可畫成圖 6.5 圖中的點代表持有比重 (xT , xA)，原有的投資組合 為點 (0.4, 0.6) 圖 6.5 和圖 6.2 不同的是，由一個無風險與一個有 風險資產組成之投資組合的關係是條直線，而非 曲線

風險資產與無風險資產的關係

風險資產與無風險資產的關係 假設有個投資人原先只投資股票 A共 1,000 元，今 天再以無風險利率（Rf = 6%）借了200 元繼續加碼 投資股票 A，總共投資股票 A共1,200 元 此時預期報酬率為： = 1.2 × 0.2 + (− 0.2) × 0.06 = 0.228

風險資產與無風險資產的關係 此時投資人比原先的投資多了1.2倍，報酬率也比 原先股票 A 的報酬率 20%還高 主要原因是投資人以低於 20% 的無風險利率 6% 借了200 元 此時標準差為：

風險資產與無風險資產的關係 雖然預期報酬率比股票 A高，但標準差 0.36 也比 股票 A 的0.30 還高，也是因為多借200 元的影響 當然圖 6.5的線也可由一個無風險資產和許多有風 險資產的投資組合構成 以圖 6.6 來表達。先看點 Y，它代表一個由許多股 票組成的投資組合

風險資產與無風險資產的關係 當投資人同時持有投資組合 Y 與一個無風險資產 時，其投資機會集合為直線 II 點 Z 則代表另一組有風險資產的投資組合Z

風險資產與無風險資產的關係 當投資人同時持有一個無風險資產加上投資組合 Z 時，其投資機會集合將為直線 I

風險資產與無風險資產的關係 可發現，在直線 II 上的任一點，都可在直線 I 上找 到同樣標準差而預期報酬更高的投資組合 如圖，直線 I 與多個風險資產的效率前緣相切，切 點為 Z 當直線 I 與風險資產效率前緣相切時，直線 I 就是 提供投資人最佳投資機會的投資組合

最佳投資組合(The Optimal Portfolio) 換句話，直線 I 可視為所有資產（無風險與風險資 產）的效率前緣，任何理性投資者都不會去選擇 直線 I 以外任何一點 所以投資人尋找最佳投資組合時，可分成兩步驟：

最佳投資組合(The Optimal Portfolio)

最佳投資組合(The Optimal Portfolio) 1. 完全客觀收集各種資料以計算出風險資產的投資 機會集合（多邊形 AZB），再計算出投資組合 Z 此時，投資組合 Z與無風險資產的組合會與多邊形 AZB 相切

最佳投資組合(The Optimal Portfolio) 2. 根據投資者本身的風險偏好程度做出投資決策 偏好風險高的人可能選擇點 Z 或點 4 的持有比重 風險趨避者則可能選擇點3 的持有比重

同質性預期（Homogeneous Expectation） 若市場上所有投資人有同質性預期時，那圖 6.6 對 每個投資人來說都一樣 也就是每位投資人都會畫出一樣的風險資產效率 前緣與直線 I，並找出投資組合 Z 最後再因為投資人不同風險偏好程度，而做出不 同持有比重之無風險資產的結合

β值 當所有投資人都決定出風險資產投資組合 Z 時， 投資組合 Z 就稱為 市場投資組合（Market Portfolio） 而通過市場投資組合的切線稱為 資本市場線（Capital Market Line, CML） 實務上，財務學者常利用整個大盤的指數來代替 市場投資組合，例如，S&P 500、香港恆生指數、 日經指數等 怎麼衡量這些指數中某個股票的風險呢？

預期報酬率 下表是在四種經濟情況下，大盤指數的預期報酬 率及盤內股票 K的預期報酬率：

預期報酬率 假設四種情況發生機率一樣，大盤指數只會有兩 種結果，但股票 K 則有四種可能 可算出大盤與股票 K 的預期報酬率為：

預期報酬率 接著來算股票 K 對大盤指數變動的反應程度 大盤在多頭市場的報酬率比空頭市場還高出 20% （= 15% − (− 5%)）

股票 K 的特性線（Characteristic Line） 將多頭市場的對應報酬率標記為點 A，空頭市場標記 為點 B，連結 A、B 兩點，這條線稱為股票 K 的特性線 （Characteristic Line） 這條線的斜率為2，此斜率 2又稱為股票 K 的β值 由特性線可知，股票K的報酬率會放大市場反應的2 倍

股票 K 的特性線（Characteristic Line） 由此可知單一股票 β值，是用來衡量其對於整個 大盤波動的敏感程度

股票 K 的特性線（Characteristic Line）

β 值 至於β值真實計算公式可寫成： 其中，σim 表股票 i 報酬率與市場投資組合報酬率 的共變異數 σ2m 表市場投資組合的變異數

β 值 注意，當把市場投資組合所有個股的 β值加權平 均後，市場投資組合的 β 值會等於 1： 其中，xi 表股票 i 的持有比重 N 是整個市場投資組合內不同股票的總數

資本資產定價模型 （Capital Asset Pricing Model, CAPM） 上小節介紹過 β值可用來衡量單一個股在市場投 資組合中的風險敏感度 假設每位投資人都持有市場投資組合時，單一個 股的預期報酬率會與其 β 值正相關，可將此關係 畫成圖 6.8

預期報酬率與 β 值

資本資產定價模型 （Capital Asset Pricing Model, CAPM） 根據圖 6.8，加上前面介紹的 β值觀念，任何資產 的風險溢酬應會等於其預期報酬率（R）減去無風 險利率（Rf） 又因為 β值是衡量單一資產對市場投資組合的敏 感度，所以任何資產的風險溢酬也會等於其β 值 乘以市場風險溢酬 可將這些關係寫成一般式： 任何資產的風險溢酬 = R − Rf = β (Rm − Rf) （6.11 式）

資本資產定價模型 （Capital Asset Pricing Model, CAPM） 再將公式（6.10）改寫，可得到任何資產的預期報 酬率會等於： R = Rf + β (Rm − Rf) （6.12 式） 公式（6.11）稱為資本資產定價模型

資本資產定價模型 （Capital Asset Pricing Model, CAPM） (1) 無風險利率 (2) 該資產的風險溢酬 其中，該資產的風險溢酬又是由該資產的值與市 場風險溢酬決定

資本資產定價模型 （Capital Asset Pricing Model, CAPM） 當β = 0 時，代表該資產沒有任何風險，此時預 期報酬率就會等於無風險利率（R = Rf）。 當β = 1 時，代表該資產的風險完全與市場風險 相符，預期報酬率就會等於市場報酬率（R = Rm）

證券市場線 （Security Market Line,SML） 公 式（6.11）其實就代表圖 6.8，無風險利率（Rf） 為截距，市場風險溢酬（Rm−Rf）為斜率，所畫出 的斜線稱為證券市場線 （Security Market Line,SML） 注意，證券市場線（SML）與資本市場線（CML） 完全不同，雖然兩者 Y 軸都是預期報酬率，但兩 條線有兩個不同：

證券市場線 （Security Market Line,SML） (1) 證券市場線以β值為X軸，資本市場線以標準差為X軸 (2) 任何單一個股或者投資組合都落在 SML 上，但只有 效率投資組合（Efficient Portfolio）才落在CML 上。

資本資產定價模型 （Capital Asset Pricing Model, CAPM）

CAPM 的應用 投資組合的β值 CAPM 主要在計算單一個股的報酬率 假如將投資標的改為投資組合，CAPM是否還適用？ 答案是肯定的 以下面例子說明。承範例 6-2，假設投資人今天持 有一個投資組合包含股票 A 與 B，持有比重各半， 那此投資組合的預期報酬率為多少？’ R = 0.5 × 16.8% + 0.5 × 13.2% = 15%

投資組合的β值 如果改成以 CAPM 來計算，投資組合的 β值為： = 0.5 × 1.2 + 0.5 × 0.8 = 1 所以投資組合的預期報酬率為： R = 0.06 + 1 × 0.09 = 15% 因為用加權平均算出來的預期報酬率等於以 CAPM 計算出來的結果，所以CAPM可用於計算投資組合 報酬率

證券市場線 若股票落在證券市場線以下會發生什麼情形？ 來看圖 6.9，圖中點 M 為市場投資組合 以股票 A 為例，股票 A的β值為0.5，假設今天想投 資一個投資組合 β值為 0.5 時，可持有 50% 國庫券 及 50%市場投資組合來達成 如果市場上每位投資人都抱持一樣想法，就不會 有人願持有股票 A 於是股票A的價格會下跌，直到預期報酬率回到 SML 上

證券市場線 再看股票 B，你可能會因為股票 B 的高報酬率而 心動，但在同樣風險（ β = 1.5）下，可用無風險 利率借 50% 資金去投資 150% 市場投資組合，達 到更高報酬率 假設每位投資人都有同樣想法，那也沒人願持有 股票 B，股票 B 股價會下跌，最後落回 SML 上 也就是，市場上任何股票長期平均下來都一定會 落在證券市場線上

資金機會成本（Opportunity Cost of Capital） CAPM 最大用處是什麼？ 我們可利用 CAPM 計算出投資組合的預期報酬率， 此預期報酬率有助估計資金機會成本 看下面例子。假設麥格公司正評估一個投資計畫， 並計算出該投資計畫內部報酬率（IRR）為 16% 若目前國庫券利率6%，而長期平均市場風險溢酬 9%，麥格公司應進行該投資計畫嗎？

資金機會成本（Opportunity Cost of Capital） 要解答這個問題，可先利用 CAPM 計算出資金的 機會成本（r） 假設麥格公司的投資計畫完全沒有風險，即β = 0， 那此投資計畫的資金機會成本就等於： r = 6% + 0 × 9% = 6%

資金機會成本（Opportunity Cost of Capital） 可將這 6% 看成折現率。 當 IRR = 16% > 折現率 = 6% 時，應進行此投資計畫 實際上幾乎沒有投資是沒有風險 又假設麥格公司投資計畫的風險略小於市場投資 組合風險，即 β = 0.9 那此投資計畫的資金機會成本會等於： r = 6% + 0.9 × 9% = 14.1%

資金機會成本（Opportunity Cost of Capital） 此時 IRR 仍大於資金機會成本，所以麥格公司仍 應進行此投資計畫 若麥格公司的投資計畫風險高於市場投資組合呢？ 假設投資計畫的 β = 1.4，那資金機會成本等於： r = 6% + 1.4 × 9% = 18.6% 此時可看到 IRR = 16% < 資金機會成本 = 18.6%，所 以麥格公司不應進行此投資計畫

資金機會成本（Opportunity Cost of Capital） 當然，也可將資金機會成本當成折現率，直接應 用於淨現值法去計算投資計畫的NPV 若 NPV > 0，投資該計畫 若 NPV < 0，拒絕該計畫 但不論用什麼方法評估，資金機會成本的高低均 與投資計畫風險相關

資金機會成本（Opportunity Cost of Capital） 從上面例子，可發現 β值的改變會影響資金機會 成本 風險愈大時，所需資金機會成本愈高 若風險愈小，甚至無風險，則資金機會成本會趨 近於無風險利率

CAPM 的限制 CAPM 在實務上的運作結果如何？ 是否每個投資組合都準確落在證券市場線上？ 很不幸，實證結果並非如此。 想像有 10 個投資人在 1931 年聚在一起，共同決 定採行 10 種不同投資策略

CAPM 的限制 投資人 1 決定每年購買股票市場上β 值前10%低的 股票 投資人 2 決定每年都購買股票市場上 β 值次 10% 低的股票 以此類推，投資人10 則購買股票市場上 β值前 10% 高的股票 相約之後六十年每年都如此，並在六十年後一起 觀看投資結果

CAPM 的限制 六十年後，這 10 個投資人重新聚在一起，圖 6.10 則是這 10 個投資人風險與報酬的對應圖 六十年後，這 10 個投資人重新聚在一起，圖 6.10 則是這 10 個投資人風險與報酬的對應圖 圖 6.10 中，投資人 1 的風險最低，β 值只有約 0.49，但其報酬率也最低，每年平均只有大於無風 險利率 9% 投資人 10 風險最高， β值約為 1.52，其報酬率也 最高，約高於無風險利率 17% 每位投資人都呈現風險愈高報酬率愈高的趨勢

CAPM 的限制 六十年間，市場投資組合（β = 1）的年平均報酬 率約大於無風險利率 14% 根據 CAPM，任何投資組合都應落在 SML 上，所 以投資人 1（ β = 0.49）年平均風險溢酬應為 7% 而投資人10（β=1.52）年平均風險溢酬應為 21% 然而，幾乎每位投資人的實際年平均風險溢酬都 沒有準確落在 SML 上 亦即 CAPM 所預估的數值與實際情況仍有差距

CAPM 的限制 是否意味CAPM 不適用呢？ (1) 幾乎所有投資人都同意需要面對更高風險才能獲 得更高報酬 (2) 投資人仍十分注意那些不能透過多角化投資分散 的系統性風險