第二章 逻辑代数基础 10

2.1 概述 逻辑：事物的因果关系 逻辑运算的数学基础：逻辑代数 在逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用字母A、B、C、…表示 在二值逻辑中的变量取值： 0/1

例如,在下图所示的电路中,指示灯是否亮取决于开关是否接通 例如,在下图所示的电路中,指示灯是否亮取决于开关是否接通.如果我们定义：F = 1表示灯亮，F = 0 表示灯灭；则 A = 1 表示开关接通，A = 0 表示开关断开。

例如,在下图所示的电路中,指示灯是否亮取决于开关是否接通 例如,在下图所示的电路中,指示灯是否亮取决于开关是否接通.如果我们定义：F = 1表示灯亮，F = 0 表示灯灭；则 A = 1 表示开关接通，A = 0 表示开关断开。

与（AND） 或（OR） 非（NOT） 2.2 逻辑代数中的三种基本运算 以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开； 以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮； 三种电路的因果关系不同：

与 条件同时具备，结果发生 Y = A AND B = A&B = A·B = AB A B Y 0 0 0 1 1

或 条件之一具备，结果发生 Y = A OR B = A+B A B Y 0 0 0 1 1

非 条件不具备，结果发生 A Y 1

几种常用的复合逻辑运算 与非 或非 与或非

1．与非 ——由与运算和非运算组合而成 2．或非 ——由或运算和非运算组合而成

几种常用的复合逻辑运算 异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。 异或的逻辑表达式为： 异或也可写成与或非的形式：

同或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0。 异或的逻辑表达式为： (b) B A A B L = (a)

2.3 基本公式和常用公式 1.常量之间的关系： 与运算： 1 = . 或运算： 1 = + 非运算： 1 = 2.基本定律： 0-1律： = . 或运算： 1 = + 非运算： 1 = 2.基本定律： 0-1律： A + 0 = A A + 1 = 1 A·0 = 0 A·1 = A 互补律：A + A = 1 A·A = 0 自等律：A + A = A A·A = A 还原律：A = A

. = + B A + = . A B + = . ) ( C B A + . = ) ( C A B 反演律 （摩根定理 ） ： 交换律： 结合律： + = . ) ( C B A 分配律： + . = ) ( C A B 反演律 （摩根定理 ） ： . = + B A

基本公式 序号 公 式 10 1′= 0； 0′= 1 1 0 A = 0 11 1 + A = 1 2 1 A = A 12 公 式 10 1′= 0； 0′= 1 1 0 A = 0 11 1 + A = 1 2 1 A = A 12 0 + A = A 3 A A = A 13 A + A = A 4 A A′= 0 14 A + A′= 1 5 A B = B A 15 A + B = B + A 6 A(BC) = (AB)C 16 A+(B+C) = (A+B)+C 7 A(B+C) = AB + AC 17 A+BC = (A+B)(A+C) 8 (AB)′= A′+ B′ 18 (A+B)′= A′B′ 9 (A′)′= A

公式（17） A + BC = (A+B)(A+C) 的证明（公式推演法）：

公式（17）的证明（真值表法）： ABC BC A+BC A+B A+C （A+B）(A+C) 000 001 1 010 011 100 101 110 111

A (AB)′= A B′； A′(AB)′= A′ 常用公式 序 号 公 式 21 A + A B = A 22 A +A′B = A + B 23 A B + A B′ = A 24 A ( A + B) = A 25 A B + A′C + B C = A B + A′C A B＋ A′C + B CD = A B + A′C 26 A (AB)′= A B′； A′(AB)′= A′

证明22： A + A′B = (A + A′)(A + B)

证明25：A B + A′C + B C = A B + A′C + (A + A′)B C = A B + A′C + A B C + A′B C = A B (1 + C) + A′C (1 + B) = A B + A′C

2.4 逻辑代数的基本定理 1、代入定理 在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。 例：公 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D)

例：公式 （8）

2、反演定理 对任一逻辑式

应用举例：

注意事项： 1.逻辑运算的优先顺序：括号，与，或, 异或。 2.多个变量上的非号的处理：可保持不变；也可用代入法处理。 例如： 1.逻辑运算的优先顺序：括号，与，或, 异或。 2.多个变量上的非号的处理：可保持不变；也可用代入法处理。 例如： 已知：Y=A(B+C)+ CD 则： Y=(A + B C) CD =(A + B C) CD = A CD 或者，令E=CD 代入上式 Y=(A + B C) E 所以： Y=(A + B C) CD

2.5 逻辑函数及其表示方法 Y=F(A,B,C,······) 若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。 注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值0/1。

举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用A,B,C表示，其中A是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）时，运动员的试举才算成功。当用Y表示举重结果时，Y与A,B,C的逻辑关系可表示为：Y=A(B+C) 这就是一个逻辑函数的例子。

逻辑函数的表示方法 逻辑式 真值表 逻辑图 波形图 卡诺图 计算机软件中的描述方式 各种表示方法之间可以相互转换

逻辑函数式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。 举重裁判的函数式：Y=A(B+C) 特点： 便于运算、化简； 便于画逻辑图； 不便从逻辑问题直接得到。

真值表 输入变量 A B C···· 输出 Y1 Y2 ···· 遍历所有可能的输入变量的取值组合 输出对应的取值

A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 举重裁判的真值表： 当输入变量个数为n时，真值表共有2n行。 特点： 描述逻辑问题方便； 直观； 较繁琐。

逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。 波形图 将输入变量所有可能的取值与对应的输出按时间顺序排列起来画成时间波形。 & A Y B C Y=A(B+C)

卡诺图 EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit …)

各种表现形式的相互转换 真值表 逻辑式 例：奇偶判别函数的真值表 A=0,B=0,C=0 使 A′B′C′=1 真值表 逻辑式 例：奇偶判别函数的真值表 A=0,B=0,C=0 使 A′B′C′=1 A=0,B=1,C=1 使 A′BC =1 A=1,B=0,C=1 使 AB′C =1 A=1,B=1,C=0 使 ABC′ =1 这四种取值的任何一种都使Y=1，所以 Y = ? A B C Y 1

真值表 逻辑式： 找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。 每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。 将这些乘积项相加即得 Y。 把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表

逻辑式 逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。

逻辑式 逻辑图 用逻辑运算符代替图形符号， 从输入到输出逐级写出每个图形符号输出的逻辑运算式。

波形图 真值表

真值表 函数式 逻辑图 黑箭头容易实现。篮箭头不能直接实现，可借助函数式实现。

逻辑函数的两种标准形式 最小项之和 最大项之积 最小项定义 对于n个变量的函数，如果与或表达式的每个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别是逻辑变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为函数的最小项（共有2n个）。 这样的与或表达式称为最小项表达式（标准与或式）。

最小项 m： m是乘积项 包含n个因子 n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次 对于n变量函数 有2n个最小项

最小项举例： 两变量A, B的最小项 三变量A,B,C的最小项

最小项的编号 最小项 取值 对应 编号 A B C 十进制数 0 0 0 m0 0 0 1 1 m1 0 1 0 2 m2 0 1 1 3 m0 0 0 1 1 m1 0 1 0 2 m2 0 1 1 3 m3 1 0 0 4 m4 1 0 1 5 m5 1 1 0 6 m6 1 1 1 7 m7

最小项的性质 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。 全体最小项之和为1 。 任何两个最小项之积为0 。 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。 相邻：两个最小项仅有一个变量不同 如

逻辑函数最小项之和的形式 利用公式可将任何一个函数化为 例：

逻辑函数最小项之和的形式 利用公式可将任何一个函数化为 例：

逻辑函数最小项之和的形式 利用公式可将任何一个函数化为 例：

逻辑函数最小项之和的形式 利用公式可将任何一个函数化为 例：

例：

例：

例：

例：

最大项： 对于n变量函数 2n个 M是相加项； 包含n个因子。 n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。 如：两变量A, B的最大项

最大项的性质 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0； 全体最大项之积为0； 任何两个最大项之和为1； 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。

最大项的编号： 最大项 取值 对应 编号 A B C 十进制数 1 1 1 7 M7 1 1 0 6 M6 1 0 1 5 M5 1 0 0 4 M4 0 1 1 3 M3 0 1 0 2 M2 0 0 1 1 M1 0 0 0 M0

2.6.1 逻辑函数的化简法 化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时节省器件。 逻辑函数式最简的标准 逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等。 AB+AC 与或式 AB AC 与非与非式 A＋B+C 或非或非式 与或式使用最多，因此我们只讨论与或式的最简标准：

最简与或式 包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。

公式化简法 反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。

常用的公式化简方法：

A + AB = A A + AB = A+B A B+AB = A A B+AC+BC = AB+AC A B+AC =A B+A C 我们通过一些例子说明如何应用这些公式进行化简。 常用公式 A + AB = A A B+AB = A A B+AC+BC = AB+AC A + AB = A+B A B+AC =A B+A C 1. 2. 3. 4. 5. 吸收法 Y=AB+A(C+D)B 消因子法 =AB 1式 并项法 Y=AC+AD+CD =AC+AC D =AC+ D 2式 Y=ABC+AC+B C 消项法 Y=AB+AB+BC+BC =ABC+A B C 7 =AB+AB+BC +BC + AC =C 3式 =AB+BC +AC Y=AC+AD+C+D 或 Y=AB+AB+BC+BC + AC =AC+AD+C D =AB+BC +AC 4式 =AC+C D

A + AB = A A + AB = A+B A B+AB = A A B+AC+BC = AB+AC A B+AC =A B+A C 函数式中的任一与项都可重复使用： 常用公式 1. A + AB = A Y=ABC+ABC+ABC 2. A + AB = A+B =ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC 3. A B+AB = A 3式 =AB+BC 4. A B+AC+BC = AB+AC 5. A B+AC =A B+A C Y=AB C+CD .A =(AB C+CD) .A 5式 =A C D B C Y=AC+BC+BD+CD+A(B+C)+ABCD+ABDE =BC+BD+A

2.6.2 卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图表示法 以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使相邻的最小项（只有一个变量不同）所对应的方块在几何位置上也相邻地排列，就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。 实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来 1,4 -------将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，使相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列……

表示最小项的卡诺图 2变量卡诺图 3变量的卡诺图

4变量的卡诺图 1，8

五变量的卡诺图 已经不能直观地用平面上的几何相邻表示逻辑相邻，以中轴左右对称的最小项也是相邻的 因此，超过4个变量后，卡诺图失去直观性的优点，一般不用这种方法表示，化简函数

用卡诺图表示逻辑函数 将函数表示为最小项之和的形式 在卡诺图上与这些最小项对应的方块中添入1，其余地方添0。

用卡诺图表示逻辑函数 例：

用卡诺图表示逻辑函数 6

由真值表画卡诺图： BC A 00 01 11 10 1 例如： 1 1 1

用卡诺图化简函数 依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。 在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。

合并最小项的原则： 两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子 八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子

合并最小项的规律 00 01 1 11 10 在卡诺图上合并组成矩形的2k个小方格，得到的与项少k个变量。 红框合并2个最小项，对应与项ABC少1个变量。 篮（绿）框合并4个最小项，对应与项AB（AC）少2个变量。 10 11 01 00 AB CD 1 紫框合并8个最小项，对应与项A少3个变量。 注意： 1.只能合并2k个小方格； 2.边上方格的相邻性。

化简步骤 1.将函数变换为与或式； 2.画出卡诺图； 3.将2n个有1的相邻小方格圈出（所圈小方格数是2的整次幂，即：1个、2个、4个、8个……小方格为一个圈），提出公因子； 4.将公因子相加。

画圈原则 1.圈越大越好（圈大，消去的因子多）。 2.圈的个数越少越好（化简后的乘积项少）。 3.同一个“1”小方格可以被圈多次。 4.每个圈中要有新的“1”。 5.画圈时，可先圈大，后圈小。 6.不要遗漏任何“1”的小方格；最后还要删除多余圈。

例： BC 00 01 1 1 1 0 1 A

例： BC 00 01 1 1 1 0 1 A

例： BC 00 01 1 1 1 0 1 A

例： 化 简 结 果 不 唯 一

例： CD 00 01 11 10 AB

例： CD 00 01 11 10 1 AB

1. BC A 00 01 11 10 1 1 1 或: 1 1 1

2. C D A B 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 多余圈(删除) 1

2.7具有无关项的逻辑函数及其化简 在逻辑函数中，对输入变量取值的限制，在这些取值下为1的最小项称为约束项 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 约束项 任意项 逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。 在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响电路的功能，在这些取值下为1的最小项称为任意项

无关项在化简逻辑函数中的应用 合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。 加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少······ 从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形圈最大，矩形组合数最少。

CD 00 01 11 10 1 AB

CD 00 01 11 10 1 x AB

CD 00 01 11 10 1 x AB

例： CD 00 01 11 10 1 x AB

2.8 用multisim进行逻辑函数的化简与变换 例:已知逻辑函数Y的真值表如下,试用multisim求出Y的逻辑函数式,并将其化简为与-或形式 A B C D Y 1 X A B C D Y 1 X

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