線 性 代 數 第 2 章 矩 陣

本章內容 2.1 矩陣之加法、純量乘積及乘法 2.2 矩陣運算之性質 2.3 對稱矩陣及考古學之年代排序 2.4 反矩陣與密碼學 2.5 Leontief經濟模式 2.6 馬可夫鏈、族群遷徙及基因 2.7 聯繫模式與社會學之群體關係

2.1 矩陣加法、純量乘積及乘法 矩陣的元素及對角線 a12 = −2, a23 = 4, a31 = 2。

2.1 矩陣加法、純量乘積及乘法 矩陣加法 C = A + B, 則

2.1 矩陣加法、純量乘積及乘法 矩陣純量乘積 矩陣變號及減法

2.1 矩陣加法、純量乘積及乘法 矩陣乘積

2.1 矩陣加法、純量乘積及乘法 乘積矩陣之大小 零矩陣(zero matrix) 對角矩陣(diagonal matrix) 單位矩陣(identity matrix) A m  r B r  n = AB m  n

2.1 矩陣加法、純量乘積及乘法 以行為單元計算矩陣乘積 A為 m × n 矩陣, B為一具有 n 元素之行矩陣，則通常以行矩陣 A1, A2, …, An 表示矩陣A，即將矩陣A寫成[A1, A2, …, An]，因此

2.1 矩陣加法、純量乘積及乘法 矩陣分割

2.2 矩陣運算之性質 令A, B及C為矩陣，而a, b及c為純量，並假設這些矩陣之大小可使下列運算成立。 矩陣加法及純量乘積之性質 A + B = B + A 加法交換性 (commutative) A + (B + C) = (A + B) + C 加法結合性 (associative) A + O = O + A = A (O為適當大小之零矩陣) c(A + B) = cA + cB 加法分配性 (distributive) (ab)C = a(bC) 加法分配性 (distributive)

2.2 矩陣運算之性質 令A, B及C為矩陣，而a, b及c為純量，並假設這些矩陣之大小可使下列運算成立。 矩陣乘法之性質 (AB)C = A(BC) 乘法結合性 (associative) A(B + C) = AB + AC 乘法分配性 (distributive) (A + B)C = AC + BC 乘法分配性 (distributive) AIn = InA = A (In為適當大小之單位矩陣) c(AB) = (cA)B = A(cB) 註：通常AB  BA 矩陣乘法不具交換性 (commutative)

2.2 矩陣運算之性質 例題1: 例題2:

2.2 矩陣運算之性質 例題3: 解:

2.2 矩陣運算之性質 矩陣乘冪 (Power of Matrices) 例題4: 解: 若矩陣A為一n × n方陣，r與s為非負整數，則有 1. ArAs = Ar+s. 2. (Ar)s = Ars. 3. A0 = In

2.2 矩陣運算之性質 例題5:試簡化下列之矩陣表示 解:

2.2 矩陣運算之性質 線性方程式系統

2.3 對稱矩陣 例題1: 求列矩陣的轉置矩陣 解:

2.3 對稱矩陣 轉置之性質 1. (A + B)t = At + Bt 矩陣加法之轉置 2. (cA)t = cAt 純量乘積之轉置 對稱矩陣指一原矩陣與其轉置矩陣相同之矩陣 軌跡 Trace of a Matrix tr(A) = a11 + a22 + … + ann 1. (A + B)t = At + Bt 矩陣加法之轉置 2. (cA)t = cAt 純量乘積之轉置 3. (AB)t = BtAt 矩陣乘法之轉置 4. (At)t = A

2.3 對稱矩陣 例題4: 試求矩陣A之軌跡 解:

2.3 對稱矩陣 複矩陣 例題5: 解:

2.3 對稱矩陣 例題6: 解: 計算 A + B, 2A, 及 AB.

2.3 對稱矩陣 共軛轉置矩陣

2.3 對稱矩陣 共軛轉置之性質 1. (A + B)* =A* + B* 矩陣加法之共軛轉置 2. (zA)* = A* 純量乘積之共軛轉置 3. (AB)* = B*A* 矩陣乘法之共軛轉置 4. (A*)* = A

2.4 反矩陣與密碼學 例題2: 求A之反矩陣 解:

2.4 反矩陣與密碼學 例題2: 求A之反矩陣 解: A-1不存在

2.4 反矩陣與密碼學 反矩陣之性質 令A, B分為可逆矩陣，c為非0常數，則 (A–1)–1 = A (cA)–1 = A–1 (AB)–1 = B–1A–1 (An)–1 = A–n (At)–1 = (A–1)t

2.4 反矩陣與密碼學 例題4: 已知A,A-1求(At)-1 解:

2.4 反矩陣與密碼學 例題5: 求線性方程式之解 解:

2.4 反矩陣與密碼學 基本矩陣 基本矩陣指可以由單位矩陣In經由一次基本列運算而得之矩陣 2,3列互換

2.6 馬可夫鏈 隨機矩陣(stochastic matrices)指矩陣元素之意義為機率，且各行元素和均為1之方陣。 下列為隨機矩陣 下列不為隨機矩陣

2.6 馬可夫鏈 X1 = PX0, X2 = P2X0, X3 = P3X0, …, Xn = PnX0, X i+n = PnXi Pn稱為n次轉換矩陣(n-step transition matrix) Pn之第(i, j)元素代表經過n個階段後由j 狀態至i 狀態之機率 例題2： 解:

習題: 綜合習題 1,2,3,4,5,6,7,8,9,19 本 章 結 束 !