1、2 确定信号分析 课程目标 了解信号与系统的分类 深刻理解傅立叶变换的物理含义 掌握“谱”的概念和实际应用 掌握通信系统中最常使用的分析方法——频谱分析

信号与系统的分类 一、信号的分类 1、确知信号与随机信号 确知信号：可准确描述信号在任一时刻t的取值f(t),只具有分析价值，和在测试时使用。 随机信号：在任一时刻t的取值不确定，只能用统计方法描述（实际通信系统中的信号都是随机信号）

一、信号的分类 2、周期信号与非周期信号 周期信号：f(t)=f(t+T) 3、能量有限信号和功率有限信号

二、系统的分类 1、线性系统与非线性系统 系统

3、信息：消息中有意义的部分 信息量：传输信息的多少（单位为bit） 公式： I(x)=log2(1/P(x))=-log2(P(x)) (bit) 4、通信系统质量指标：有效性、可靠性 模拟通信系统质量指标：

2.确定信号分析 一、预备知识 1、 2.

f(t)=cos w0t ① t f(t)=cos 2w0t ② t f(t)=cos 3w0t ③ t f(t)=sin w0t ④ t

预备知识（续） 3，谱：组成分量如：(色谱、菜谱） 4.频谱：按照信号频率的不同划分的组成成分

=cos w0t t =sin w0t t f(t) F(W) = п (δ（w-w0）+ δ(w+w0）) f(t) jF(W)

f(t)=cos2 w0t t f(t)=cos 3w0t t F(w)= п (δ（w-2w0）+ δ(w+2w0）)

f(t)=cos w0t+cos 2 w0t F(w)=  (δ（w-w0）- δ(w+w0）) f(t)=jsin w0t+jsin 2 w0t W0 2 W0 -2W0 -W0 W f(t)=cos w0t+cos 2 w0t F(w)=  (δ（w-w0）+ δ(w+w0）) + (δ（w-2w0）+ δ(w+2w0）) -2W0 -W0 W0 2 W0 W f(t)=cos w0t+cos 2 w0t +cos 3 w0t F(w)=  (δ（w-w0）+ δ(w+w0）) +  (δ（w-2w0）+ δ(w+2w0）) +  (δ（w-3w0）+ δ(w+3w0）) -3W0 -2W0 -W0 W0 2 W0 3 W0 W

预备知识（续） 5.还记得复指数函数吗？

t f(t) =cos w0t F(w) t f(t) =jsin w0t jF(w) W0 2W0 3W0 4W0 W

ejw0t cosw0t jsinw0t F(w) jF(w) F(w) W0 2W0 3W0 4W0 W

确定信号分析 我们可以用正弦信号的叠加组成绝大多数的确定信号 让我们一起来看一个周期性信号的例子——

T F(w) f(t) t T/4 3T/4 5T/4 7T/4 -T/4 -3T/4 -5T/4 -7T/4 9T/4 W0 W 3W0 1/2 T W0 W 3W0 2W0 5W0 4W0 6W0 7W0 8W0 9W0 … 1 F(w) 1/п 使用学生毕业设计作品进行演示 1/5  1/9  -1/3  -1/7 

提醒学生留意此处Fn与F(w)之间的线性关系,以与后面的公式前后呼应 t T/4 3T/4 5T/4 7T/4 -T/4 -3T/4 -5T/4 -7T/4 9T/4 f(t) 1 F(w) W0 W 3W0 2W0 5W0 4W0 6W0 7W0 8W0 9W0 … 1 1п 那么它的频域表达式为F(w)＝C0б(w)+ C1б(w-w0)+ C2б(w-2w0)+ C3б(w-w3)+… 提醒学生留意此处Fn与F(w)之间的线性关系,以与后面的公式前后呼应 1/5  1/9  -1/3 -1/7 

周期矩形脉冲频谱的特点： 离散性：由不连续的线条组成 谐波性：线条之间的距离相等，谐波频率与基波频率间有简单的整数倍关系

周期性信号的频谱分析——傅立叶级数法 傅立叶级数

周期性信号的频谱分析——傅立叶级数法 周期信号的时域表达式为： 则该信号对应的频域表达式为： 此处提问Fn（傅立叶系数）的物理含义

结论：时域内周期信号由一系列冲激函数所组成，这些冲激函数位于信号的各次谐波nw0处，并且每一个冲激函数的强度为傅立叶系数Fn的 2倍.

f(t) A  -/2 /2 t T

τ不变，T﹣﹥ ∞时，频谱间隔趋于0; 离散谱变为连续谱。 作业 周期矩形脉冲频谱图 T=2 T=5 T=10 T=20 Vn 4/ 2/ 配合板书画出矩形脉冲波变化的波形 -0 0 w T=20 τ不变，T﹣﹥ ∞时，频谱间隔趋于0; 离散谱变为连续谱。 作业

傅立叶变换：在频域中描述非周期性信号，就称为傅立叶变换。 傅立叶（傅氏）变换 时域－>频域 傅立叶（傅氏）反变换 频域－>时域 此处通过对公式形式的分析（结合上页图），推导出傅立叶变换的性质（只需要放大、比例、时移、频移和叠加） 傅氏变换关系

周期性信号的频谱分析 ——傅立叶级数法 非周期性信号的频谱分析 ——傅立叶变换 结论： 1、时域内周期信号由离散的频谱组成 2、时域内非周期信号由连续的频谱组成

w t t F1(w) f1(t) f2(t) W f(t)cosw0tF(w-w0）+F(w+w0） f(t) W 频域卷积 时域相乘

w t t t F1(w) f1(t) f2(t) W f(t)sinw0tF(w-w0）-F(w+w0） f(t) W 时域相乘 jF2(w) W W F(w) f(t)sinw0tF(w-w0）-F(w+w0） f(t) t f(t)*正余弦或复指数函数，体现为频域中的频谱搬移 典型应用：调制 时域相乘 频域卷积

w t f2(t)=e-jwt F1(w) f1(t) W f(t) f(t)ejw0t F（w-w0） W f(t)×ejw0t，体现为频域中的频谱搬移到w0处 时域相乘 频域卷积

付氏变换的频率搬移特性 信号在频域内搬移w0（卷积）等效于在时域中乘以ejw0t （乘积）. f(t)ejw0t F（w-w0） f(t)cosw0t  F(w-w0）+F(w+w0） f(t)sinw0t  F(w-w0)- F(w+w0) 信号在频域内搬移w0（卷积）等效于在时域中乘以ejw0t （乘积）. 调制过程就是将信号在正、负频域内分别搬移到w0处 ——调制定理。

-----傅立叶变换的频移特性 结论： 1、调制定理：调制就是将信号频谱搬移到w0处； 2、时域相乘等于频域卷积；时域卷积等于频域相乘 对数学推导公式稍加解释

练习题 调幅信号都可看成乘积信号 矩形调幅 三角调幅 求它们的频谱= ？

（1）直流信号（幅度为A）频谱为A () 6、常用信号的频谱函数 （1）直流信号（幅度为A）频谱为A () t f(t) W F(w) A 2A

5、常用信号的频谱函数 （2） (t) 的频谱为1； t f(t) W F(w) (0) 1

5、常用信号的频谱函数 （3）门函数 Dτt 的频谱为 t f(t) W F(w)

cos0t[(+ 0)+ (- 0)] 5、常用信号的频谱函数 （4）正余弦函数的频谱为 cos0t[(+ 0)+ (- 0)] sin0tj[(+ 0)- (- 0)] t f(t) W F(w) 1  - W jF(w)

练习题 … … … 有如下信号,请画出它的频谱图(查表)： 答案： f（t） A -3T －2T -T 0 T 2T t F(w) -3W －2W -W 0 W 2W W

2、已知f(t)的频谱函数为下图，画出f(t)cosw0 t的频谱图。设w0＝5wx 作业 1、画出下列波形的频谱图 －0.001s 0.001s 1 f(t) t T=0.02S 2、已知f(t)的频谱函数为下图，画出f(t)cosw0 t的频谱图。设w0＝5wx 1 F(W) W -WX WX 相关知识回顾

3、信号的能量谱和功率谱 ——能量和功率随频率分配的关系 一，能量信号和功率信号 信号f(t）(电压或电流)在1电阻上所消耗的能量定义为信号的归一化能量，简称能量，表示为： t f2(t) 功率和能量代表了信号的强弱 举例：在嘈杂的环境中讲话， t f(t)

当信号能量趋于无穷大时，其平均功率是存在的， 即 P－平均功率，T－取时间平均的区间 f2(t) t T t f(t) T

二、帕什瓦尔定理 ——把功率信号或能量信号与频谱联系起来 若f（t）为能量信号，且f(t)F(w)，则： 若f（t）为周期性功率信号，则：

时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量能量的连续和。 二、帕什瓦尔定理 ——把功率信号或能量信号与频谱联系起来 时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量能量的连续和。 时域内功率信号的总平均功率等于频域内各个频率分量功率的总和。

三、能量谱密度和功率谱密度 1、能量信号，E表示能量，若有 则称E(W)为能量谱密度，单位为J/Hz（焦耳/赫兹）。 则有能量谱密度：

2、功率信号 (P表示功率): 若有: 则称P(W)为功率谱密度，单位为J/Hz 可见功率谱密度： 描述能量、功率的意义，说明为什么要学习能量谱和功率谱——确定信号的带宽（可靠性和有效性格的问题）

四、波形的相关 1、波形f1(t)和f2(t)的相关系数 f1(t)与f1(t)相关系数为＋1；（相等） f1(t) t f2(t) f3(t) T/4 T/2 f1(t)与f1(t)相关系数为＋1；（相等） f1(t)与f2(t) 相关系数为0 ；（不相似） f1(t)与f3(t)相关系数为－1；（相反）

四、波形的相关 相关系数描述波形的相关程度 取正值：相似 ；＋1 相同； 取0：不相似； 取负值：反相似；－1 相反；

2、自相关函数

3、自相关函数的特性 偶函数R () ＝R(－); 原点值最大R(0) |R()|;无时移时相关性最强，当t增加，信号与时移后的本身信号相关程度减弱。 R (0)表示能量信号的能量或功率信号的功率； R (0)＝E, R (0)=P;

4、自相关函数与能量谱密度、功率谱密度函数的关系

四、信号带宽B 带宽 信号带宽;由信号（或噪声）的能量谱密度或功率谱密度在频域中的分布规律确定的；（单位：Hz） P()或E()  始终联系通信系统设计的有效性和可靠性 -B B P()或E()  ………

常用的三种带宽的定义方式 1、以集中一定百分比的能量或功率来定义 对能量信号，可取90％、95％或99％，求得B; P()或E() 

2、以能量谱（功率谱）密度下降3dB内的频率间隔作为带宽 对功率信号；有 求得信号的带宽B; 2、以能量谱（功率谱）密度下降3dB内的频率间隔作为带宽 -B B  1 0.5 P()或E() -B B F()  1 0.707

3、等效矩形带宽B 用一个矩形的频谱代替信号的频谱，矩形频谱具有的能量与信号的能量相等，矩形频谱的幅度为信号频率f=0时的幅度； P()或E() 

总结： 付氏变换揭示了信号在时间域和频率域之间的相互联系。 时域和频域内的冲击函数是在研究通信系统原理时最有用的一种函数。(0)= 频率搬移性质和调制定理是在研究通信系统原理时经常遇到的问题 通过时间卷积可以求出网络输出的时间响应，是时域分析法的基础。在特殊情况下，通过频率卷积可以用简便的方法求出相乘信号频谱函数。 自相关函数和能量（或功率）频谱密度是一对付氏变换，因此它是描述信号能量（功率）特性的一种函数关系。用于确定、随机信号分析

思考题 试确定下列信号的功率（方差），并画出其功率频谱密度曲线 Acosw0t+Bsinw0t

确定信号分析要点回顾 返回目录 1、什么是冲击函数？ 2、什么是能量信号？ 3、什么是功率信号？ 什么是冲击函数？ 2、什么是能量信号？

5、傅立叶变换 的性质 （1）线性 （2）时延特性 （3）频移特性 （4）卷积特性

求下列时域函数的频谱的带宽 f1(t) 1 -1 t 时移不影响带宽 f2(t) 1 2 t 时域重复影响频幅度 不影响频谱带宽 f3(t)

调幅信号都可看成乘积信号 矩形调幅 指数衰减振荡 三角调幅 求它们的频谱= ？（略）

三、随机变量与概率分布 x 图2.11 概率分布函数 1、随机变量 在数学分析中，将每次实验的结果用一个变量来表示，如果变量的取值是随机的，则这种变量称为随机变量。 2、概率分布函数和概率密度 设随机变量用X表示。定义随机变量X的概率分布FX(x)是X的取值小于或等于x的概率，即 FX(x)=P(Xx) 如掷硬币事件，变量X，x=0,1,P(0)=P(1)=1/2, x FX(x) 1/2 1 图2.11 概率分布函数

FX(0)=P(X0)=1/2 FX(1)=P(X1)=1/2+1/2=1 FX(x)特性： 0  FX(x) 1 FX(-)=0, 不可能事件 FX()=1，必然事件 FX(x)是非降函数 概率密度函数pX(x)是概率分布函数的导数，单位变量的概率。

3、随机变量的数字特征 Page23-24 （1）均值（数学期望） （2）方差 随机变量的统计平均值，反映X取值的集中位置。 随机变量X与它的数学期望aX之差的平方的数学期望。

4、高斯分布 Page 31, 学生成绩分布 图2.12 学生成绩分布图 比例 成绩 a x p(x) 图2.13 高斯分布 60 50 40 50 60 70 80 90 100 60 50 40 30 20 10 图2.12 学生成绩分布图 比例 成绩 a x p(x) 图2.13 高斯分布

特性： p(x)关于x=a对称  p(x)在（－,a）单调上升，在（a,）单调下降 a点达到极大值（ ）

四、信道与噪声 1、信道的定义与模型 信道：为发送设备和接收设备之间用于传输信号的传输媒质。 图2.14 调制信道 调制信道 编码信道 编码器 调制器 发转换器 媒质 收转换器 解调器 解码器 调制信道 编码信道 图2.14 调制信道

时变线性 网 络 ei(t) eo(t) 图2.15 调制信道模型 eo(t)=k(t) ei(t)+n(t) k(t)-乘性干扰 n(t)-加性干扰

2、噪声 人为噪声－来源于无关的其它信号源， 如电火花，干扰源等。 噪声来源 自然噪声－自然界中各种电磁波源如 闪电、雷暴、各种宇宙噪声； 内部噪声－系统设备本身产生的各种 噪声,如热噪声，散弹噪声等 3、高斯白噪声

τ不变，T﹣﹥ ∞时，频谱间隔趋于0; 离散谱变为连续谱。 作业 周期矩形脉冲频谱图 T=5 T=5 T=10 T=20 F(w) 4/ 2/ -0 0 w w Vn 0 -0 T=5 周期矩形脉冲频谱图 T=10 4/ 配合板书画出矩形脉冲波变化的波形 2/ T=20 τ不变，T﹣﹥ ∞时，频谱间隔趋于0; 离散谱变为连续谱。 作业

t w w t F1(w) f1(t) -3w －2w -w 0 w 2w t f(t) 卷积 相乘 f2(t)=δ（t-nt0） f1(t)  δ（t-nt0）F1(w) δ（w-nw0） t －2T -T 0 T 2T 3T t f2(t)=δ（t-nt0） F2(w)=δ（w-nw0） -3w －2w -w 0 w 2w t w F (w) f(t) 时域与冲击函数序列的卷积的典型应用为采样，在频域中体现为相乘 t 卷积 相乘

例：求余弦脉冲的频谱 卷积 相乘

2、互相关函数——不同时刻函数之间的关系 t f1(t) f2(t) T/4 T/2 1 -1 f3(t) 图2.9 互相关波形

f1(t)与f2(t)在t＝T/4时相关系数最大，为1； 在t＝－T/4时相关系数负最大，为－1； 在t＝0，T/2,…不相关； R12(t) T/4 T/2 1 -1 R13(t) 图2.10 互相关波形 f1(t)与f2(t)在t＝T/4时相关系数最大，为1； 在t＝－T/4时相关系数负最大，为－1； 在t＝0，T/2,…不相关；

3、相关函数的性质 （1）互相关函数的特性 *若对所有的，R12()=0，则两个信号互不相关。 *当0时， R12()  R21()；而是R12() ＝R21(－)。 *当=0时, R12(0) ＝R21(0)。 （2）自相关函数的特性 偶函数R () ＝R(－); 原点值最大R(0) |R()|;无时移时相关性最强，当t增加，信号与时移后的本身信号相关程度减弱。 R (0)表示能量信号的能量或功率信号的功率； R (0)＝E, R (0)=P;