第五讲 从常用连续分布到二维变量分布 本次课讲授：第二章的2.3-2.4.2； 下次课讲第三章的2.4.2-2.8; 第五讲 从常用连续分布到二维变量分布 本次课讲授：第二章的2.3-2.4.2； 下次课讲第三章的2.4.2-2.8; 下次上课时交作业P19—P22 重点：常用分布密度与离散变量函数分布 难点：分布密度与变量函数的分布

第五讲 连续随机变量的分布函数 一、连续型随机变量的分布函数 1.用分布函数描述连续型随机变量的背景 第五讲 连续随机变量的分布函数 一、连续型随机变量的分布函数 1.用分布函数描述连续型随机变量的背景 研究离散变量时，我们使用了概率函数（分布律）和分布函数两个工具。概率函数计算的是离散变量的点概率，第一章我们已经知道，连续随机变量计算的是长度面积等的度量，而点的度量为零，由于连续变量的特点之一是点的概率为零。所以，若像离散变量那样研究连续随机变量，则不满足和为一性： 因此，用概率函数研究连续型随机变量是不可行的，于是，考虑第二个工具：以区间概率为基础的随机变量的分布函数， 其中，连续变量的区间概率常用下图示意：

第五讲 连续随机变量的分布函数 2.概率的分布函数的定义： 3.分布函数的性质回顾（负正无穷0、1间，还有不等单不减）

第五讲 连续随机变量的分布函数 4.与区间概率的关系： 由于连续随机变量的点概率为零，所以：

第五讲 连续随机变量的分布函数

第五讲 连续随机变量的分布函数 例5-1-1 解：利用分布函数的一般形式和两等式一个不等式解题

第五讲 连续随机变量的分布函数

第五讲 连续随机变量的分布函数 例题5-1-2（2010,4分） 第五讲 连续随机变量的分布函数 我们已经清楚，连续型随机变量是不用考虑边界点的，但是，经常地，我们会碰到一个随机变量是连续的但在边界点是不连续的现象，这时，就不能像连续型随机变量那样不考虑边界点了。看下例： 例题5-1-2（2010,4分）

第五讲 连续随机变量的密度函数 二、概率密度函数的概念 1.概率密度函数定义：

第五讲 连续随机变量的密度函数 2.密度与分布和区间概率之间的关系

第五讲 连续随机变量的密度函数

第五讲 连续随机变量的密度函数 2.概率密度的性质：

第五讲 连续随机变量的密度函数

第五讲 连续随机变量的密度函数 例题5-2-1 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为 第五讲 连续随机变量的密度函数 例题5-2-1 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为 求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率; (3)随机变量X的概率密度. 解 (1) 解得 (2) (3)

第五讲 连续随机变量的密度函数 例题5-2-2 函数 可否是随机变量X 的概率密度, 如果X 的可能值 充满区间: (3) 与 矛盾, 第五讲 连续随机变量的密度函数 函数 可否是随机变量X 的概率密度, 如果X 的可能值 充满区间: 例题5-2-2 (3) 当 时, 与 矛盾, 不是.

第五讲 连续随机变量的密度函数 解 (1) (2)由密度求区间概率 (3)由密度积分求分布 当 时,

第五讲 连续随机变量的密度函数 三、常用的连续分布：均匀分布与指数分布 1.均匀分布： 定义 第五讲 连续随机变量的密度函数 三、常用的连续分布：均匀分布与指数分布 1.均匀分布： 定义 设连续型随机变量 X 的一切可能值充满某一个有限区 并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即： 则这种分布叫做均匀分布（或等概率分布）。 间

第五讲 均匀分布与指数分布

第五讲 均匀分布与指数分布 2.指数分布 定义2 其中  ＞0 为常数。 设连续型随机变量X 的概率密度 此类分布为指数分布， 验证： 第五讲 均匀分布与指数分布 2.指数分布 定义2 其中  ＞0 为常数。 设连续型随机变量X 的概率密度 此类分布为指数分布， 验证： 指数分布 的分布函数:

第五讲 均匀分布与指数分布 例5-3-1(2013,4分)

第五讲 均匀分布指数分布 例5-3-2(1989) 设随机变量 X 在[2,5]上服从均匀分布,现对 X 进行3次 第五讲 均匀分布指数分布 独立观测,试求至少有2次观测值大于3的概率. 设随机变量 X 在[2,5]上服从均匀分布,现对 X 进行3次 例5-3-2(1989) 因随机变量 X 在[2,5]上服从均匀分布,则 X 的概率密度: 解:

第五讲 均匀分布与指数分布 3次观测中有2次观测值大于3的概率为: 例5-3-3(1989)： 第五讲 均匀分布与指数分布 3次观测中有2次观测值大于3的概率为: 例5-3-3(1989)： 试求:在仪器使用的最初200小时内至少有一只元件损坏的概率 .

第五讲 均匀分布与指数分布 P(A)=P( 0≤ X ≤200 )

第五讲 均匀分布与指数分布

第五讲 均匀分布与指数分布

第五讲 离散变量函数分布

第五讲 离散变量函数分布 例5-4-1 设随机变量X 的概率分布为： -2 -1 1 2 3 0.10 0.20 0.25 0.15 第五讲 离散变量函数分布 例5-4-1 设随机变量X 的概率分布为： -2 -1 1 2 3 0.10 0.20 0.25 0.15 求：(1)随机变量Y1= - 2X的概率分布； (2)随机变量Y2=X 2的概率分布。 X P(X=xi )

第五讲 离散变量函数分布 解（1），由已知，直接列表求出 把随机变量的可能值由小到大排列 的概率分布为 （2）同理，先列表求解 X -2 第五讲 离散变量函数分布 解（1），由已知，直接列表求出 X -2 -1 1 2 3 P(X) 0.1 0.2 0.25 0.15 Y1=-2X 4 -4 -6 P(Y1) 把随机变量的可能值由小到大排列 的概率分布为 Y1=-2X -6 -4 -2 2 4 P(Y1) 0.1 0.15 0.2 0.25 （2）同理，先列表求解 X -2 -1 1 2 3 P(X) 0.1 0.2 0.25 0.15 Y2=X2 4 9 P(Y2)

第五讲 离散变量函数分布 求随机变量 的概率分布。 1 2 n 例5-4-2 设随机变量 的概率分布为： 解 Y2=X2 1 4 9 第五讲 离散变量函数分布 Y2=X2 1 4 9 P(Y2) 0.25 0.4 0.1 求随机变量 的概率分布。 1 2 n 例5-4-2 设随机变量 的概率分布为： 解

第五讲 离散变量函数分布 同理可解：

第五讲 离散变量函数分布 -1 1 变量函数值概率，离散对应和解出。

第五讲 连续变量函数分布 五、连续随机变量函数的分布 1.定义 例5-5-1

第五讲 连续变量函数分布

第五讲 连续变量函数分布 2.单调时变量函数的密度函数的求法：

第五讲 连续变量函数分布