第四章 连续系统频域分析 引言 周期信号: 非周期信号: 1) 处理时间变量 t 处理频率变量 2) 求解微分方程 求解代数方程 第四章 连续系统频域分析 引言 周期信号: 非周期信号: 1) 处理时间变量 t 处理频率变量 2) 求解微分方程 求解代数方程 3) y(t)的时间函数 y(t)的频率结构,系统功能 4) 主要应用 分析系统的频率特性

4-1 周期信号通过线性系统 对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成： 一、基本信号 ： 4-1 周期信号通过线性系统 对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成： 一、基本信号 ： H(j)为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。 可见，ejt通过线性系统后响应随时间变化服从ejt ， H(j)相当加权函数。

二、正弦信号 ：

二、正弦信号 ： 三、任意周期信号：

三、任意周期信号：

四. 周期信号通过线性系统响应的频谱 对于周期信号 周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号; 周期激励信号的频谱为冲激序列 ，其响应信号的频谱也为冲激序列。

例：图（a）所示系统，若激励如图(b)所示，求响应i(t)。 【解】 (n为奇数) (a) (b)

激励u(t)的频谱： (n为奇数) 响应i(t)的频谱： (n为奇数)

练习：图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。其中 【解】 方法1： (a) (b) 方法2：

4-2 非周期信号通过线性系统 一、系统函数 （1）h(t)的傅立叶变换； （2）描述系统频率特性。 系统函数定义： 系统函数计算：

练习：求系统函数H(j)。 二、系统响应： yx(t)—系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值； yf(t)—系统零状态响应，取决于系统函数和激励。 三、系统频率特性： 系统幅频特性：响应与激励信号幅度比 系统相频特性：响应与激励信号相位差

例1：求图示电路的单位阶跃响应。 解： (a) (a) (b) (b)

解： 解： 例2: h(t)=(e-2t-e-3t)U(t), f (t)=e-tU(t), 求系统零状态响应 y(t) 。 例3: 图示电路， 解：

例4：图示系统，激励f(t)和系统的频率特性如图所示，求零状态响应 y(t)。 解：

例5: x(t) 图示系统， 求零状态响应 y(t) 。已知： 解：

4-3 信号通过线性系统不失真条件 1）时域： 一、信号失真 线性失真：幅度失真、相位失真 非线性失真： 产生新的频率成分 4-3 信号通过线性系统不失真条件 一、信号失真 线性失真：幅度失真、相位失真 非线性失真： 产生新的频率成分 二、无失真传输条件 1）时域： 全通幅频特性 2）频域： 线性相移特性

例1：图示电路，f(t)=GT(t-T/2)，求响应y(t) 。 解：

图示系统，若要求不失真传输，求图(1)中R1和R2； 例2: 解: 无失真

4-4 理想低通滤波器 一. 理想低通滤波器 k C 为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。 4-4 理想低通滤波器 k 一. 理想低通滤波器   C  为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。 在0～ C 的低频段内，传输信号无失真。（有时延） 二. 单位冲激响应h(t)

二. 单位冲激响应h(t) 或

讨论： 1、h(t)与(t)比较，严重失真； 2、h(t)为抽样函数，峰值为 3、滤波器限制输入信号高频成分； 理想低通滤波器是物理不可实现 5、物理可实现的滤波器，其幅频特为 Paley -Wiener 准则 （佩利-维钠准则）

三. 理想低通滤波器阶跃响应 正弦积分函数

三. 理想低通滤波器阶跃响应: 正弦积分函数

正弦积分函数Si(t) 记作: 单位阶跃响应讨论： 2．上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，记作 3．阶跃响应上升时间与系统带宽成反比。

四、矩形脉冲响应

4-5 抽样定理 周期 序列 信号数字处理原理： 一、抽样(采样、sample)： 4-5 抽样定理 信号数字处理原理： 周期 序列 一、抽样(采样、sample)： 利用抽样序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。 需解决的问题：

二、理想冲激序列抽样 f(t)：有限带宽信号

1) 当s 2m时，Fs(j )是F(j )在不同s倍数上的重复与再现，幅值为原值的1/Ts 。 讨论：采样周期变化对频谱的影响 1) 当s 2m时，Fs(j )是F(j )在不同s倍数上的重复与再现，幅值为原值的1/Ts 。 2) 当s<2m时，Fs(j )中出现F(j ) 的叠加与混合（混迭现象） 。

三、矩形脉冲序列抽样

四、信号f(t)的恢复 即：从 fs(t)中恢复f(t) 实现：低通滤波器 要求低通滤波器：： 1）理想冲激抽样时 2）矩形脉冲抽样时

五、时域抽样定理 一个最高频率为m的有限带宽信号f(t)，可用均匀抽样间隔Ts1/(2fm)的抽样值fs(t)唯一确定。 说明： 1) f(t)为有限带宽信号，即： |  | > m时,F(j )=0 2) 抽样间隔 奈奎斯特抽样间隔 或: 抽样频率 奈奎斯特抽样频率 若从fs(t) 恢复f(t),可用一个接理想低通滤波器实现，滤波器增益为Ts，截止频率:

在同一时间里传送不同信号，PCM电话中采用时分复用方式。 六、抽样定理意义 1、实现连续信号离散化，为信号的数字处理奠定基础； 2、实现信号的时分复用，为多路信号传输提供理论基础。 在同一时间里传送不同信号，PCM电话中采用时分复用方式。

例：图(a)示系统，其H1 (j )和f1(t) 如图(b) 、(c) 所示。 1) 求F1(j )的频谱图； 2）求T (t)中抽样间隔Ts最大值； 3） 求s=2m时Fs(j )的频谱图； 4）欲使y(t)=f(t)，求H2 (j )的频率特性。 解： 4）欲使y(t)=f(t)，H2 (j )应有右图频率特性。

七、频域抽样定理 一个持续时间有限信号f(t)的频谱F (j ) ，可用均匀抽样间隔fs1/2tm的抽样值F (jn s)唯一确定。 说明： 1) f(t)为持续时间有限信号，即： | t | >tm时,f(t)=0 2) 抽样间隔 这样可得到f(t)在时域中重复形成周期信号fs(t) ，不会产生混叠。 若从fs(t) 恢复f(t), 可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲就可无失真地恢复原信号。

4-6 调制与解调 载波信号 载波频率 一、调制: 使一个信号的某些参数按 另一个信号的变化规律而变化的措施。 幅度调制系统

二、解调： 将已调制的信号恢复成原信号的过程。 ) ( t f x =

三、调幅信号作用于线性系统 例：图示系统中: , 求 解: 45° -45° 1 99 101 100

本章要点： 1、信号通过系统的响应求解； 2、频域系统函数H(j):定义、物理意义、求解方法、系统频率特性； 3、理想低通滤波器及其传输特性； 4、信号传输不失真条件：时域条件、频域条件。 5、抽样信号与抽样定理。 6、调制与解调。

时域与频域分析对比 1、对应关系 时域 频域 分析变量 时间变量 频率变量 基本信号 (t) e jt 系统特性 h(t) H(j) 激励分解 响应求解 2、特点：时域突出信号与系统的时间特性：直观简便，物理意 义明确，便于实时处理； 频域突出信号与系统的频率特性。

练习：图(a)所示系统中，已知 H1(j)、H2(j)图 (b)、(c)所示，且已知2>  0 ，并可无失真地恢复出f(t)。 1、画出f(t)、f1(t)、f2(t)、f3(t)的频谱函数图； 2、若使f1(t)和f2(t)的 频谱不混叠， 2 、0应满足什么条件？ 3、若使f5(t)=kf(t)(k是常数)，3 和k应为多大？