第六章 連續型隨機變數及其常用的機率分配

6.1 連續型隨機變數 隨機變數分為兩大類。若隨機變數之可能值個數為有限個;或是可數 的無限多時（如人數、損壞物品個數），此時可將之歸類為離散型 (discrete type)隨機變數。而若隨機變數之可能值個數為不可數的無限 多時（如時間、身高），其可能值的集合為一區間，此時即將之稱 為連續型(continuous type)隨機變數。

6.1.1 連續型隨機變數之機率分配 當隨機變數為離散型時，我們可對每一Y之可能值賦予一大於零的機 率，並定義為其機率分配，其所有可能值機率總和為1。但對於連續 型隨機變數而言，由於其可能值個數無限多且無法計數，故其每一 個可能值的機率為0，勢必無法如離散隨機變數之機率分配定義方式， 來定義連續型之機率分配，所以我們將尋求以另一方式來定義連續 型隨機變數之機率分配。

考慮一連續型資料之隨機實驗，從中抽樣200組資料，繪出其相對次 數直方圖，如圖6.1所示。假若我們將抽樣資料數增多，甚至無限多； 同時將組間距縮小，甚至無限小，則繪出其相對次數直方圖必會如 圖6.2所示，變為一平滑曲線。圖6.2平滑曲線乃代表著 圖6.1相對次 數直方圖之極限形式。由相對次數直方圖性質可推知，曲線下與橫 軸所夾之面積，即為此連續型隨機變數出現在此區間的機率。於是 我們即藉由此曲線來定義連續型隨機變數之機率分配，並稱此曲線 為“機率密度函數”。

定義6.1.1 機率密度函數(probability density function)通常以表示，為一數學函數，用以描述連續型隨機變數Y之機率分配。

若一連續型隨機變數Y之機率密度函數為，則其必具有下 列之基本性質： 1. 對所有Y的可能值而言，f(y)≧0。 2. 隨機變數所有可能值機率總和為1，故若此機率密 度函數之兩 邊端點a與b，則整段函數與橫軸所涵蓋 的面積值必為1。 即 3. 欲求隨機變數Y落在曲線上任意兩點c與d之間的機率，也就是 區間機率P (c≦Y≦d)時，則

【例6.1】 假設Y為一連續型隨機變數，且其機率密度函數為 試求 (a) C值 (b) P (1≦Y≦2) (c) P (1＜Y＜2)

(a) 根據上述性質(二)，其機率總和為1，故 解： (a) 根據上述性質(二)，其機率總和為1，故

(b) 此隨機變數Y之機率密度函數為 (c) 因為在連續型隨機變數中，單點並無機率值

【例6.2】 科學家做一實驗：測試老鼠跑出迷宮所需的時間。假設老鼠跑出迷 宮，所花的時間為一隨機變數Y（單位：分鐘），其機率密度函數為 試問老鼠在3分鐘內跑出迷宮的機率為如何？ 解： 老鼠在3分鐘內跑出迷宮的機率即為 P (1≦Y≦3)，則

6.1.2 連續型隨機變數之累積分配函數 在連續型中，其累積分配函數定義本質與離散型時相同。不過由於 其各自的機率分配定義不同，故其計算累積分配函數方法也稍有不 同。 定義6.1.2 一連續型隨機變數Y之累積分配函數(cumulative distribution function)，即為

【例6.3】 令Y為一隨機變數，其機率密度函數為 試求: (a)累積分配函數F (y) (b)試利用F (y)求得P (1≦Y≦2)

解： (a) 依累積分配函數定義 ，則

(b) 依累積分配函數定義 P (1≦≦2)=P (≦2)－P (≦1)=F (2)－F (1) 故由(a)中得知 P (1≦≦2)= F (2)－F (1) = =1－(3/4)=1/4

6.2 期望值及變異數 在介紹離散型隨機變數時，我們曾經提及，描述一母體機率分配的 集中趨勢及離散程度，最常使用的就是期望值及變異數。而在連續 型隨機變數時，依舊是以期望值來測知此機率分配之中心點，以變 異數來測量此機率分配之離散情形。在此期望值及變異數的基本定 義仍然與離散型時相同，不過由於連續型之機率分配定義方式有些 不同，故其計算方式也有稍許不同。

6.2.1 連續型隨機變數之期望值及變異數 定義6.2.1 此連續型隨機變數的期望值(expected value)或平均數(mean) E [y] 定 義為 定理6.1 若g (y)為連續型隨機變數函數，則其期望值為

定義6.2.2 若連續型隨機變數Y的期望值為E [Y]=μ，則Y的變異數(variance)為 將變異數的正平方根 ＝ ＝SD (Y)，稱為隨機變數Y之標準差 （standard deviation）。

【例6.4】 Y為一連續型隨機變數，其機率密度函數 試求Y之期望值E(Y)與變異數V(Y)。

解： 依連續型隨機變數期望值之定義

依連續型隨機變數變異數之定義

依連續型隨機變數變異數之定義

6.2.2 期望值及變異數基本定理 定理6.2 若Y是一連續型隨機變數，;為兩常數，g1(Y )、g2(Y )…gk(Y )為隨機變 數Y之k個函數，則 （Ⅰ）E [aY＋b]＝aE [Y ]＋b （Ⅱ）V(aY＋b)＝a2V(Y ) （Ⅲ）E [g1(Y ) ＋ g2(Y )………＋gk(Y )] 　 ＝E [g1(Y )]＋E [g2(Y )]………＋E [gk(Y )] 定理6.3 若一連續型隨機變數Y，期望值E [Y ]＝μ，則變異數 V (Y )＝E [y2]－(E [Y ])2＝E [y2]－μ2

6.3 均勻分配 假設一隨機變數Y在某一區間[a,b]內發生的機率皆相同，則Y的機率 分配稱為均勻分配。 定義6.3.1 則Y的機率分配稱為均勻分配(uniform distribution)

通常均勻分配可表示為 Y～U ()，與稱為均勻分配的參數，也就是其 上下界。若a=0;b=1，則稱為標準均勻分配(standard uniform distribution)。 圖6.3為其密度函數圖形

由圖可知，均勻分配又可稱為矩形分配(rectangular distribution)。 總之，均勻分配最大的特點即是：隨機變數發生於某一段區間的機 率密度函數，必與此區間的長度成反比。 定理6.4 若Y為一均勻隨機變數，上下界為與，Y～U ()，則 期望值為

【例6.7】 假設一公車，在早上7:00～7:30之間到達某站牌的時間為均勻分配。 有一天，阿輝剛好7:00時到達此站牌，試問 (a) 阿輝等待的時間超過十分鐘的機率 (b) 阿輝等待時間的期望值與變異數

(a) 題意所示，假設隨機變數Y代表阿輝從早上7:00開始，等待公車的時間。則Y為均勻分配，Y～U (0,30)，其機率密度函數為

解： (a) 題意所示，假設隨機變數Y代表阿輝從早上7:00開始，等待公 車的時間。則Y為均勻分配，Y～U (0,30)，其機率密度函數為 則阿輝等待的時間超過十分鐘的機率即為

(b) 阿輝等待時間的期望值 阿輝等待時間的變異數

6.4 指數分配 6.4.1 指數分配的定義 在上一章中，我們曾經介紹一離散型隨機變數：卜瓦松隨機變 數。其定義為在某一單位區間內，某特定事件發生的次數。在 此同時，前所定義特定事件，兩兩之間所間隔的時間以隨機變 數Y表示，其機率分配即是將在這一節所介紹的連續型隨機變數： 指數分配。在所有不同常態分配下，我們都可透過一“標準化” 的程序，使每一常態隨機變數都轉換成標準常態隨機變數。 定義6.4.1 連續隨機變數Y，若其機率密度函數為 則Y的機率分配稱為指數分配(exponential distribution)

指數分配唯一的參數即為λ，不同的λ決定出不同的指數分配。圖 6.4為指數分配參數λ=1，λ=1/2，λ=1/3的圖形。

【例6.7】 假設欣力公司所生產的電視機，其壽命符合指數分配，且平均使用 時間為5年。今阿輝買了一台此品牌的全新電視。試問阿輝5年內不 用再換新電視的機率為何？

解： 設此電視壽命為Y，由其期望值為5，(1/λ)=5，可知λ=(1/5) Y符合指數分配，其機率密度函數即為 則阿輝5年內不用再換新電視，也就是此電視壽命超過五年的機 率為

6.4.2 無記憶性 我們接著試著證明指數分配是否真的具有無記憶性質，其證明 如下： 假若Y為指數分配，則 定理6.6 若一非負的隨機變數Y具有無記憶(memoryless)性質，則

6.5 常態分配 6.5.1 常態分配的定義 常態分配可說是整個統計學的基礎，在此後章節，無論是假設 檢定、估計，甚至是迴歸分析，無不以常態分配為理論基礎， 做出許多的應用推論。由此可知常態分配的重要性。

定理6.7 若Y為一常態隨機變數，Y～N ( )，則 期望值為

圖6.5為一常態分配Y～N ()之機率密度函數圖。由此圖，我們可知常 態分配具有下列性質： 1. 常態分配曲線兩端尾巴與.橫軸漸漸接近，但絕不與橫軸相交 2. 常態分配是以為中心的左右對稱分配，且其曲線形狀類似一鐘 型(bell-shaped)。由於其對稱的性質，故有下列的特性： 如：(1) P (Y＜ )＝P (Y ＞ )＝0.5 (2) 對常數與，P (Y＜-a)＝1－P (Y >a )＝P (Y＞a) P (a＜Y＜b)＝P (Y＜b)－P (Y<a )

6.5.2 標準常態分配及標準化 連續型隨機變數落在某一段區間的機率，定義為其機率密度函 數在此段所圍成的面積。我們可由圖6.5可知常態機率密度曲線 為鐘型，且由定義6.5.1瞭解常態機率密度函數的數學型式。讀 者不難發現，常態機率密度函數相當的複雜，若要算出其圍成 的面積，或許不是一件簡單的事。且不同的 及 2即形成不同 的常態分配，若將所有不同的常態分配都製成各自的機率表， 是不太可能的事情。還好，在常態分配中，我們可透過一“標準 化”的程序，將所有可能的常態分配全部轉換成標準常態分配， 再經由查標準常態分配的機率表。

而所謂的標準常態分配(Standard Normal Distribution)即指的是期望值=0; 變異數 2=1的常態分配。 定義6.5.2 連續型隨機變數Y，若其機率密度函數為 則Y的機率分配稱為標準常態分配(Standard Normal Distribution)

定理6.8 若Y為一常態隨機變數，Y～N ( )，令 則Z為一標準常態隨機變數，Z～N (0，1) 換句話說，若欲求一常態分配機率時，即可透過定理6.8所提供的轉 換函數，再透過標準常態分配表，經由附表三即可求得。例如，假 若Y～N ( )，則 因此

【例6.12】 若有一常態隨機變數Y，其期望值為3，變異數為9，即，試求： (a) P (Y＞0) (b) P (3＜Y＜6) 解：

6.5.3 二項分配近似於常態分配 在上一章離散隨機變數時，我們依序介紹了二項分配及卜瓦松分配。 並且當二項分配 ，且np≦7時，此時可用卜瓦松分 配P（λ＝np）來估計二項分配。而在此時，我們將再介紹以另一方 法來估計二項分配，也就用此節所介紹的常態分配來估計二項分配。 之前是以離散型隨機變數來估計離散型隨機變數，而此處則是以連 續型隨機變數來逼近離散型隨機變數。 由中央極限定理(central limit theorem)可知，當隨機變數Y為二項分配， 且其n很大時，隨機變數 之機率分配近似於標準常態的 機率分配。 如此，我們即可以 之常態分配來估計之。

之前我們強調過，常態分配估計二項分配為連續型隨機變數估計離 散型隨機變數之例。如此不免有些誤差。為了增加準確性，所以在 應用上，通常在端點加或減 ，我們將之稱為連續性修正(continuity correction)，在實務上，假如二項分配的直方圖不太偏斜，且 與 ，則可以常態分配來估算二項分配，因此，