Cohesion & Subgroups 內聚與次團體

Cohesive subgroups 內聚次團體為具有相對強、直接、密集、高頻率、及正向關係的行動者所組成的子集合。 何謂團體？ 內聚的分析嘗試將直覺上及理論上的社會團體概念給具體化。

連結與內聚 Durkheim何謂社會連帶 (social solidarity)社會連帶的最重要元素為何？ 1) Ideological: 共同意識(Common Consciousness) 2) Relational: 結構內聚(Structural Cohesion)

連結與內聚 Groups that are ‘held together’ well Groups should have ‘connectedness’ Cohesion = a “field of forces” that keep people in the group “resistance of the group to disruptive forces” “sticking together”

Social group and subgroup Friedkin (1984): 結構內聚模型奠基於一個因果命題：當兩人之間有正面價值互動存在時會產生行為態度一致性(uniformity)的壓力。這種壓力可以透過間接關係來傳遞；行動者之間的間接溝通管道越多，間接壓力愈大。

Social group and subgroup Collins (1988): 一個人與網絡的連結越緊密，受團體規範的影響越深。其間有兩個因素在運作: (1)一個人與多少團體成員有連結(2) 一個團體有多排外。與外界隔離且內部緊密連結的團體稱為「小團體」(clique)，在這種小團體內，成員一般具有十分類似的看法與想法。

Social group and subgroup 因為透過直接接觸、間接傳遞、或是與外界隔絕所產生的社會力量(social forces)使得內聚團體在理論上十分重要。 雖然社會團體的觀念在社會學及心理學普遍被使用，但很少有研究者給予其正式的定義。

Social group and subgroup 網絡分析以成員之間所具有的內聚力之基本性質來界定次團體。 內聚次團體有四種不同的基本性質： (1) 相互關係(mutuality of ties) (2) 成員之間的親密性(closeness)及相通性(reachability) (3)成員之間的連結數目(the frequency of ties) (4)相對於非成員，成員之間的互動關係頻率(the relative frequency of ties among subgroup members compared to non-members)

Social group and subgroup (1) 相互關係(mutuality of ties)： 成員彼此相互選擇。 (2) 成員之間的親密性(closeness)及相通性(reachability)： 成員彼此不一定相鄰但一定相通。 (3)成員之間的連結數目(the frequency of ties)： 每一個成員與其他成員有很多的連結。 (4)相對互動關係頻率： 與非成員相比，成員之間的互動密度較高、連結較多。

Connectivity & Cohesion 1) Actors must be connected: a collection of isolates is not cohesive. Minimally cohesive: a single path connects everyone Not cohesive

Connectivity & Cohesion 1) Reachability is an essential element of relational cohesion. As more paths re-link actors in the group, the ability to ‘hold together’ increases. The important feature is not the density of relations, but the pattern. Cohesion increases as # of paths connecting people increases

Connectivity & Cohesion Consider the minimally cohesive group: D = . 25 D = . 25 Moving a line keeps density constant, but changes reachability.

Connectivity & Cohesion What if density increases, but through a single person? D = . 25 D = . 39 Removal of 1 person destroys the group.

Connectivity & Cohesion Removal of 1 person destroys the group. D = . 25 D = . 39 Minimal cohesion D = . 39 More cohesive

Connectivity & Cohesion Substantive differences between networks connected through a single actor and those connected through many. Minimally Cohesive Strongly Cohesive Power is centralized Power is decentralized Information is concentrated Information is distributed Expect actor inequality Actor equality Vulnerable to unilateral action Robust to unilateral action Segmented structure Even structure Def 2. “A group is structurally cohesive to the extent that multiple independent relational paths among all pairs of members hold it together.”

概念複習 G代表一個具有N個行動者的網絡圖(graph) R來表示一個網絡中所有存在的L個關係 圖上的兩點如果被一關係連結我們稱之為為「相鄰」(adjacent) Gs代表由部分s個點或行動者(Ns)所組成的次集合(subset)所構成的子圖(subgraph)

概念複習 若圖中每一點與其他所有點皆相連，則此圖稱為完全圖(complete graph) 若子圖中每一點與其他子圖中的所有點皆相連，則此子圖稱為完全子圖(complete subgraph)

概念複習 一條連結兩點的路徑為由起始點到終點的所有點與線所組成的集合。 任意兩點間若存在一路徑，稱為「相通」(reachable)。 路徑長度為一路徑中的線(lines)數目。兩點之間最短的路徑的長度(the length of a the shortest path)成為geodesic簡稱距離：

概念複習 Diameter直徑：圖中任意兩點最遠的geodesic距離 子圖的直徑為子圖中任意兩點最遠的geodesic距離

概念複習 若圖中任意兩點皆存在至少一個路徑，則稱此圖為「連結」(connected) 換句話說，在一個連結圖中，任意兩點皆可「相通」(reachable)

maximal 具有某性質(如完全子圖）的一個子圖，如果在加入任何一個點或線後，此性質無法保持，稱此子圖在此一性質上極大化(maximal)。 如網絡「組成體」(components)為一極大化的連結子圖(maximal connected subgraph)。 如果一個圖中有兩個以上組成體，則此圖不連結(disconnected)。

Subgroups based on complete mutuality 一圖中含有三個以上點的極大化完全子圖(maximal complete subgraph)稱為小團體(clique)。 可以把小團體想成是由彼此互選的成員所構成的團體。

Subgroups based on complete mutuality 有多少個clique? Three cliques: {1,2,3} {3,4,5,6} {1,3,5}

連姻網絡中有多少cliques?

重疊的cliques數目

生意往來網絡中有多少cliques?

Knoke’s information exchange

Knoke’s information exchange

Clique的幾個問題 (1) Too stingy: 太過嚴格，一個連結緊密的子圖往往因為少一條線或少一個點clique就無法成為小團體。 (2) 在稀有關係（如聯姻）的稀疏網絡(sparse network)中，不容易有clique存在。即使有，也經常是規模小且重疊高的小團體。 (3) 若資料蒐集設計上限定了每一個行動者最多可以連結的數目，則clique也可能不易存在。如果限制行動者的連結數目為k，則網絡中不可能有k+1的小團體存在。 (4) 小團體內部缺乏區分，如沒有核心邊陲之分。

放鬆標準 (1)以相通、路徑距離、及直徑來延伸小團體的定義。 (2) 用點度數作為類聚次團體的標準。

以相通性來定義團體 假設：重要的社會過程透過中間人(intermediaries)才得以完成。 如資訊的傳播 次團體成員彼此間不一定要相鄰，只要他們能透過很短的路徑來連結即可。

「n-團體」n-cliques 「n-團體」為任意兩點的最短路徑不超過n的完全子圖(maximal subgraph)

作為中間者的6，可以不是n-clique的成員 找出任意兩點的最短路徑不超過2的子圖 2-cliques: {2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5} 作為中間者的6，可以不是n-clique的成員

Florentine marriage newtork

Florentine marriage newtork

Knoke’s information exchange

n-clan「n-派系」 我們進一步限制n-clique，排除直徑超過n的n-clique，稱為n-clan {1,2,3,4,5}這個2-cliques所構成的子圖的直徑>2 我們進一步限制n-clique，排除直徑超過n的n-clique，稱為n-clan

n-clan「n-派系」 n-clan：所有成員之間的距離d(i, j)不超過n的n-clique子圖。

Strozzi Castellani  Barbadori

基於點度數的子圖 以上用點之間的相通性來定義子團體，強調直接或透過間接的影響與傳遞所構成的緊密團體。 另外有些學者強調某些網絡過程只能透過直接的接觸(direct contact)來影響，將焦點置於鄰近性(adjacency)而非距離與路徑。

基於點度數的子圖 用鄰近性來定義次團體可以幫助我們理解必須透過直接接觸的社會過程。 Erickson指出重複的溝通管道與資訊的正確性及次團體的顯著性有關。 Seidman and Foster指出n-clique經常不夠穩固(robust)。穩固的一個測量方式為結構是否很容易受到移除幾個點的影響，若結構不易受移除一兩個點的影響，則稱結構十分穩固(robust)，反之，結構而十分脆弱(vulnerable)。

穩固(robust) vs. 脆弱(vulnerable) 2 1 3 4 上面的2-clique容易受到移除3的影響。

k-plex k-plex 為包含gs個點，且每一點都與不少於(gs-k)個子圖中的點相鄰的完全子圖(maximal subgraph)。 其中ds(i)為子圖Gs中的一個點i的度數

k-plex 當k=1時，1-plex = clique, 因為每一個點最多可與gs-1個點相鄰。

K-plex K-plex的直徑受限於k，Sediman and Foster證明： 如果k<(gs+2)/2，則 gs所構成的子圖Gs的直徑小於等於2。 也就是說，如果k值相較於k-plex的規模而言很小，則k-plex的直徑會很小。

為何Ridolfi不在團體內？

k-core「k-核心組」 k-核心組為每一個點至少與k個其他點相鄰的子圖。 k-plex界定每一個點至多可以缺少多少「線」，k-core界定每一個點至少要有多少「線」。一子圖Gs為一k-core如果以下條件成立：

k-core「k-核心組」

K-core 2-core

Salviati 連結兩點，為何Salviati不在2-core團體內？

內團體連結與外團體連結的比較 在網絡分析中，一個內聚的子團體通常被視為是一組內部連結比外部連結更緊密的團體。 子團體內：Strength, Frequency, Density, Closeness 外團體：Weakness, infrequency, sparseness, distance

內團體連結與外團體連結的比較 第四種內聚的定義是將次團體的內部連結與此團體的對外連結來作比較，即比較內、外凝聚力的差異。

內團體連結與外團體連結的比較 由N個actor及R個關係組成的圖G Gs是由N的部分集合Ns所組成的子圖 Nt為屬於N但不屬於Ns中的子集合，Nt與Ns為互斥及窮盡的子集合。也就是說，N被分割成Nt與Ns兩個子集合 Nt = N – Ns

內團體連結與外團體連結的比較 圖中有三種關係存在： (1) Ns內部的關係 (2) Nt內部的關係 (3)連結Ns與Nt的關係

內團體連結與外團體連結的比較 N中有g個點，Ns中有gs個點，Nt中有gt個點。 在整個圖中可能存在的關係有g(g-1)/2。 在Ns中，有gs(gs-1)/2種可能的關係存在。 Ns與Nt之間的關係可能有(gs×gt)/2

Complete component完全組成體 最極端的內聚子團體的理想型為完全組成體或稱為強聯盟(strong alliance) 所有在完全組成體中的點皆相鄰，且沒有任何非組成體的成員與該組成體相鄰。 強聯盟一定為clique，因為其為complete 及maximal。但被非所有clique皆為強聯盟。 強聯盟為非常嚴格的子團體定義，可以作為衡量其他團體凝聚程度的比較標準。

Lambda sets 一個內聚團體必須是在連結度上相對穩固(relatively robust in terms of its connectivity)的團體，即不容易因為移除幾條線就變成不連續。

線連結度line-connectivity 使一個圖變成不連結所需要移除的最少線數，以λ (G)來表示。 λ(G)的數值愈高，表圖的連結度越強（需要移除愈多線才能使圖變成不連結）。 設l為使圖不連結必須移除的最少線，則稱此圖為l-線連結度

線連結度line-connectivity 使兩點i與j之間變成不相通所需要移除的最少線數，以λ(i, j)來表示。 兩點間的線連結度等於兩點間獨立互斥的路徑數目(line-disjoint or line-independent paths)，即沒有任何重複線(lines in common)的路徑數目。 λ(i, j)的數值越大，i與j越不容易被拆散。 Borgatti等人利用線連結度定義出lambda set 的概念

Connectivity & Cohesion Formalize the argument: If there is a path between every node in a graph, the graph is connected, and called a component. In every component, the paths linking actors i and j must pass through a set of nodes, S, that if removed would disconnect the graph. The number of nodes in the smallest S is equal to the number of independent paths connecting i and j.

Connectivity & Cohesion Components and cut-sets: 1 2 5 4 3 6 8 7 Every path from 1 to 8 must go through 4. S(1,8) = 4, and N(1,8)=1. That is, the graph is a component.

Connectivity & Cohesion In this graph, there are multiple paths connecting nodes 1 and 8. Components and cut-sets: 1 2 5 4 3 6 8 7 1 But only 2 of them are independent. 5 2 4 3 8 1 1 6 6 2 5 7 7 4 3 8 6 8 8 5 N(1,8) = 2. 7 8 8

Connectivity & Cohesion The relation between cut-set size and number of paths leads to the two versions of our final definition: Def 3a “A group’s structural cohesion is equal to the minimum number of actors who, if removed from the group, would disconnect the group.” Def 3b “A group’s structural cohesion is equal to the minimum number of independent paths linking each pair of actors in the group.” These two definitions are equivalent.

Lambda sets Ns可以被定義成lambda set如果在lambda set中的任何兩點之間的線連結度大於在lambda set 中的一點與非lambda set 中的一點之間的線連結度：

Lambda sets λ(i, j)愈大，必須要移除越多的線才能讓i與j之間沒有路徑存在。 與前面的內聚指標最大的不同處：

移除三條線才能使其變成disconnected

移除三條才能使其變成disconnected

Other measure Bock & Husain (1950) Alba (1973) Iteratively to construct subgroups so that the ratio of the strength of ties within the subgroup to ties between the subgroups does not decrease appreciably with the addition of new members.

Other measure Average strength of ties within the subgroup. Centripetal: cohesiveness of a subgroup Average strength of ties that are from subgroup members to outsiders. Centrifual: sparsity of ties to actors outside the subgroup Cohesive subgroup of actors can be constructed by successively adding members to an existing subgroups, so long as the additional members do not greatly decrease the value of this ratio

Subgroup 整理 Subgroup based on complete mutuality clique Subgroup based on reachability and diameter  n-cliques, n-clan Subgroup based on nodal degree k-plexes, k-cores Subgroup based on within/outside subgroup comparison  lambda sets

有向圖中的子圖 (1) 將關係先行對稱化(symmetrize)

有向圖中的子圖

有向圖中的子圖 6 cliques found. 1: 4 12 17 2: 12 17 21 3: 5 11 17 4: 11 15 19 1: 4 12 17 2: 12 17 21 3: 5 11 17 4: 11 15 19 5: 1 4 12 6: 5 11 19

有向關係中的連結度 connectivity in directional relations Peay (1980): I and j is weakly n-connected: 如果i與j之間被長度少於等於n的準路徑(semipath)連結 Unilaterally n-connected: i與j之間存在一長度少於等於n的i至j路徑 (path) 或j至i路徑。 Strongly n-connected: i與j之間存在一長度少於等於n的i至j路徑 (path) 且一條從j至i的路徑，兩條路徑可以不同。 Recursively n-connected : 兩點為strongly n-connected, 且i到j與j到i經過一樣的點。

有向關係中的連結度 connectivity in directional relations 根據這四種i與j之間的連結度，我們至少可以肯定： A weakly connected n-clique A unilaterally connected n-clique A strongly connected n-clique Recursively connected n-clique