劉仁沛教授 國立台灣大學農藝學研究所生物統計組 國家衛生研究院生物統計與生統資訊組 jpliu@ntu.edu.tw 三、機率(Probability) 劉仁沛教授 國立台灣大學農藝學研究所生物統計組 國家衛生研究院生物統計與生統資訊組 jpliu@ntu.edu.tw
機率概念(Concept of Probability) 樣品空間及事件(Sample Space and Events) 機率運算法則(Elementary Probability Rules) 條件機率及獨立(Conditional Probability)
試驗(Experiment) 一個收集不定結果(Outcome)之觀測值的過程, 每一次試驗只有一個結果(Outcome) 例: 擲硬幣一次 二個可能的結果:正面(H)或反面(T) 但每次只有一結果出現 而且在擲硬幣前不知會觀測到哪一個結果 但可計算每一種結果出現的機率
機率(Probability) 1.機率是介於0與1之間 2.所有結果之機率和為1 例 擲公平硬幣(fair coin)一次 出現正面的機率為0.5 出現反面的機率為0.5 均在0與1之間 而且只有正、反面二種結果 →0.5+0.5=1
樣品空間(Sample Space) 樣品空間(Sample Space) 試驗所有可能結果的集合 例:擲硬幣一次 {H,T} 擲骰子一次 {1,2,3,4,5,6} 夫婦二個小孩的性別 {男男,女女,男女,女男} ={BB, GG, BG, GB}
事件(Event) 事件為樣品空間的子集合 例子:夫婦二個小孩至少一人為女孩 {GG,BG,GB} 擲骰子二次其結果大於3 {4,5,6}
事件機率(Probability of an Event) 事件機率為事件中所有結果機率之和 若試驗中與一結果發生機率均相同 若以E代表事件 則以P(E)代表事件機率
事件機率(Probability of an Event) 例: 夫婦二個小孩的性別 樣品空間={BB,GG,BG,GB} 可能結果之總數=4 至少一人為女孩 E={GG,BG,GB} 事件中結果之個數=3 P(E)=3/4=0.75
機率運算法則 1.事件E之補集合Ec之機率為 P(Ec)=1-P(E) P(E) + P(Ec)=1 例:夫婦二個小孩的性別 {GG,BG,GB} Ec:兩人均為男孩= {BB} P(Ec)=1/4=1-P(E)=1-3/4
機率運算法則 2.加法法則 A與B二事件之交集(Intersection)=A∩B 包括屬於A事件及B事件的結果 A與B二事件之聯集(Union)=A∪B 包括屬於A事件或B事件的結果
Venn Diagram P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
例: A:20歲 B:女性 P(A)=P(20歲)=35/50=0.7 P(B)=P(女性)=30/50=0.6 P(A∩B)=P(20歲及女性)=21/50=0.42 P(A∪B)=P(20歲或女性)=0.70+0.60-0.42=0.88 年齡 性別 20歲 非20歲 和 男 14 6 20 女 21 9 30 35 15 50
互斥事件(Mutually Exclusive Events) 若A事件與B事件均無相同的結果 A∩B=ψ P(A∩B)=0 P(A∪B)=P(A)+P(B)
互斥事件(Mutually Exclusive Events) 例:隨機抽取一張撲克牌 A:結果為J B:結果為Q C:結果為紅牌(紅心或方塊) A∩B=ψ → P(A∩B)=0 P(A∪B)=P(A)+P(B)= P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(A∩C)
條件機率(Conditional Probability) 學生為20歲中女性之機率 P(B|A)=21/35=0.6 年齡 性別 20歲 非20歲 和 男 14 6 20 女 21 9 30 35 15 50
條件機率(Conditional Probability)
條件機率(Conditional Probability) 乘法法則 P(A∩B)=P(B|A)‧P(A) =P(A|B)‧P(B) 獨立事件:兩個互不影響的事件 P(B|A)=P(B) =P(B) ‧P(A) =P(A) ‧P(B)
條件機率(Conditional Probability) 例:擲硬幣二次 第二次 第一次 H T 和 1 2 4
A:第一次為正面 B:第二次為正面 P(A)=P(第一次為正面)=2/4=1/2 P(B)=P(第二次為正面)=2/4=1/2 P(B|A)=P(第二次為正面|第一次為正面) 第二次為正面或反面與第一次無關 P(A∩B)=1/4=(1/2)(1/2)=P(A)‧P(B)
總結(Summary) 機率 機率概念 樣品空間與事件 0≦P(E) ≦1 加法法則 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 條件機率 P(A|B)=P(A∩B)/P(B) 獨立事件:P(A|B)=P(A); P(B|A)=P(B); P(A∩B)=P(A)‧P(B)