近代控制理論與狀態空間控制系統設計使用MATLAB 李達生 From MATLAB simulated NASA airfoil
狀態空間(State Space)設計 狀態空間設計概念起源於近代控制理論 由矩陣函數來表示系統 D B X’ System X C u Y
轉移函數與狀態空間 受控系統可由轉移函數(Transfer Function)或是狀態空間矩陣兩種方式來表示 A = -0.2000 -1.0000 1.0000 0 B = 1 C = 1 1 D = 受控系統可由轉移函數(Transfer Function)或是狀態空間矩陣兩種方式來表示 Transfer function: s + 1 --------------- s^2 + 0.2 s + 1 [A B C D] = tf2ss([1 1],[1 0.2 1]) 是否可由Transfer Function轉而導出State Space Matrix??
狀態空間表示的系統與其穩定性 由狀態空間代表之系統，可藉由Lyapunov Rule來判斷系統是否穩定，該判段準則為，狀態空間系統矩陣(A, B, C, D) ，構成一穩定系統的充要條件為，任意給定一個正定對稱矩陣Q，若存在一正定矩陣P，可滿足Lyapunov equation 即稱該系統為穩定系統，此判斷準則與特徵值判斷法為等效法
利用MATLAB 判斷狀態空間系統穩定性 以指令 lyap( ) 可判斷系統穩定性 A = -10 -35 -50 -24 -10 -35 -50 -24 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 B = 1 Q = 0 0 0 1 >> P =lyap(A, Q) P = 9.4333 -0.5000 -1.7667 0.5000 -0.5000 1.7667 -0.5000 -0.9333 -1.7667 -0.5000 0.9333 -0.5000 0.5000 -0.9333 -0.5000 2.1208 P為正定矩陣，代表此系統為穩定系統
狀態空間系統的可控制性 在狀態空間中，即便是一個穩定系統，也並不代表其可控制，需藉由Controllability Matrix來檢視系統可控制性 與古典理論，穩定系統即可控制，而近代理論發展之狀態空間對穩定性定義有所不同，其原因主要來自於，狀態空間表示法牽涉向量變數，構成之矩陣可能有降階空間，造成若干變數無法對應控制輸入，從而有不可控制的情況
利用MATLAB 判斷狀態空間系統可控制性 以指令 ctrb( ) 可求得系統Controllability Matrix，並據以判斷系統的可控制性 A = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 B = 1 3 C= 1 0 0 0 >> S =ctrb(A,B) S = 1 1 1 1 0 0 0 0 3 9 27 81 1 4 16 64 >> rank(S) ans = 3 有不同的Rank值代表系統不可控制
狀態空間系統的可觀測性 與可控制性問題相仿，狀態空間控制亦可出現可觀測性問題，由於矩陣的降階，部分參數未能直接反映到系統輸出，從而使得系統不可觀測，需藉由Observability Matrix來檢視系統可觀測性
利用MATLAB 判斷狀態空間系統可觀測性 以指令 obsv( ) 可求得系統Observability Matrix，並據以判斷系統的可觀測性 A = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 B = 1 3 C = 1 0 0 0 >> O = obsv(A,C) O = 1 0 0 0 >> rank(O) ans = 1 有不同的Rank值代表系統不可觀測
基於狀態空間的回授控制系統設計 對於一個完全可控制及可觀測的系統，可進一步設計其回授控制器以及觀測器 舉回授控制系統為例，控制器設計重點在於求得狀態回授向量K 回授向量有Bass-Gura演算法、Ackermann演算法以及MATLAB建議之強韌極點配置演算法 觀測器的設計主要利用極點配置，可視為回授設計之對偶問題 由近代控制理論推倒之狀態空間，在學理上達成了對系統更詳盡之分析，並衍生了強健控制問題
基於狀態空間的回授控制系統設計實例一 A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0]; B=[0; 1; 0; -1]; C=[1 0 1 0]; D=0; eig (A) p=[-1; -2; -1+sqrt(-1); -1-sqrt(-1)]; K=place (A,B,p) eig (A-B*K) A1=A-B*K; [num,den]=ss2tf(A1,B,C,D); G_c=tf(num,den); step(G_c) 參考自俞克維編著 控制系統分析與設計使用MATLAB
基於狀態空間的回授控制系統設計實例二