《电动力学》 第三、四章 复习 2014年12月2日

Maxwell方程组 山东大学物理学院 宗福建 2

Maxwell方程组 山东大学物理学院 宗福建 3

标势 的Poisson方程 山东大学物理学院 宗福建 4

静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为ρ ，设r为由源点x' 到场点x的距离，则场点x处的电势为 山东大学物理学院 宗福建 5

第三章 复习 根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若 则 B 可表为另一矢量的旋度 A 称为磁场的矢势。 山东大学物理学院 宗福建 6

矢势微分方程 把 B = ▽× A 代入 得矢势A的微分方程 山东大学物理学院 宗福建 7

矢势微分方程 由矢量分析公式（附录Ⅰ.25式）， 若取A满足规范条件 ▽· A = 0 ，得矢势A的微分方程 ,又称矢势A的泊松方程。 山东大学物理学院 宗福建 8

矢势微分方程 对比静电势的解，可得矢势A的泊松方程式 特解 式中x‘是源点，x是场点，r为由x’ 到x的距离。 山东大学物理学院 宗福建 9

矢势的边值关系 在两介质分解面上磁场的边值关系为 磁场边值关系可以化为矢势A的边值关系。对于非铁磁介质，矢势的边值关系为 山东大学物理学院 宗福建 10

矢势的多级展开 给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为 山东大学物理学院 宗福建 11

矢势的多级展开 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域比较远，我们可以把A(x)作多级展开。取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得 山东大学物理学院 宗福建 12

矢势的多级展开 展开式的第一项为 山东大学物理学院 宗福建 13

矢势的多级展开 展开式的第二项为 山东大学物理学院 宗福建 14

1、标势的引入 在一般情况下磁场不能用标势描述，而需要矢势描述。矢势描述虽然是普遍的，但解矢势A的边值问题比较复杂，因此，我们考虑在某些条件下是否仍然存在着引入标势的可能性。

在解决实际问题时，我不考虑整个空间中的磁场，而只求某个区域的磁场。如果所有回路都没有链环着电流，则 因而在这个区域内可以引入标势。

例如一个圈，如果我们挖去线圈所围着的一个壳形区域之后，则剩下的空间V中任一闭合回路都不链环着电流（如图）。因此，在除去这个壳形区域之后，在空间中就可以引入磁标势来描述磁场.

在J=0区域内， 所满足的微分方程 静电场微分方程

由此，可以引入磁标势m，使 用磁标势法时，H和电场中的E相对应。

磁标势的边值关系

磁标势的边值关系

（1）超导电性 临界温度：图示是汞样品的电阻随温度变化关系。我们可以看到当温度4.2K以下时，电阻突然下降为零。这种电阻率为零的性质称为超导电性。开始出现超导电性的温度称为临界温度Tc，不同材料有不同的临界温度Tc。

（2）临界磁场 当物体处于超导状态时，若加上磁场，当磁场强度增大到某一临界值Hc时，超导性被破坏，超导体由超导态转变为正常态。Hc与温度有关。

（3）迈斯纳效应（ Meissner ） 当材料处于超导状态时，随着进入超导体内部深度的增加磁场迅速衰减，磁场主要存在于导体表面的薄层内。对宏观超导体，可把这个厚度看成是零。近似认为超导体内部的磁感应强度B＝0。 超导体具有完全抗磁性称之为理想迈斯纳态 不能理想化的状态称为一般迈斯纳态。

（3）迈斯纳效应（ Meissner ） 1. 如果物理初始处于超导状态，当外加磁场时，只要磁场不超过临界值Hc，磁场B不能进入超导体内。 超导体的抗磁性与超导体所经过的历史无关 1. 如果物理初始处于超导状态，当外加磁场时，只要磁场不超过临界值Hc，磁场B不能进入超导体内。 2. 若把正常态物体放入磁场内，当温度下降使物体转变为超导体时，磁场B被排出超导体外。

（4）临界电流 超导体内的电流超过某个临界值，超导体变成正常态。对应于：超过这个临界值的电流产生超过临界值的磁场。

（5）第一类和第二类超导体 第一类超导体：元素超导体多属于此。存在一个临界磁场。 第二类超导体：合金和化合物多属于此。存在两个临界磁场。在小临界值以下，磁场完全被排出。在两临界值之间，磁场以量子化磁通线的形式进入样品中，使之处于正常态和超导态的混合态，每一条磁通线穿过的线长区域处于正常态，其余区域处于超导态。每一条磁通线的磁通量为一个磁通量子。磁通线整条产生与湮灭。随外磁场增大，穿过样品内部的磁通线逐渐增多，正常相区域逐渐扩大。在上临界值以上，无表面超导相的样品整个转变为正常态。此类超导具有较高的临界温度、临界磁场、通过较大的超导电流，故应用价值相应较大。

（6）磁通量子化 实验发现，第一类复连通超导体，如超导环、空心超导圆柱体，单连通和复连通的第二类超导体，磁通量只能是基本值0=h/2e=2.07×10-15Wb的整数倍。 0称为磁通量子，h为普朗克常数，e为电子电荷的值。

第四章 复习 1. 电磁场波动方程 (真空中) 令 得

上一讲复习 此即为波动方程。由其解可知电磁场具有波动性，电磁场的能量可以从一点转移到另一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以波动形式运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波、X射线和γ射线等）都以速度C传播，C就是最基本的物理常量之一，即光速。

上一讲复习 2. 时谐电磁波 研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得

上一讲复习 2. 时谐电磁波 在 ω ≠ 0 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于 ▽ · （▽ × E ） = 0 ，因而 ▽ · H = 0 ，即得第四式。同样，由的二式可导出第三式。因此，在一定频率下，只有第一、第二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。

上一讲复习 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程

上一讲复习 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 类似地，亦可以把麦质方程组在一定频率下化为

上一讲复习 3. 平面电磁波 任意传播方向的平面电磁波 在一般坐标系下平面电磁波的表示式是 式中k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为 |k| = ω（με）1/2 。在特殊坐标系下，当 k 的方向取为x轴时，有 k · x = k x

上一讲复习 3. 平面电磁波 E、B和k是三个各互相正交的矢量。E和B同相，振幅比为 在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为

上一讲复习 3. 平面电磁波 概括平面波的特性如下： （1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直，TEM波； （2）E和B互相垂直，E×B沿波矢k方向； （3）E和B同相，振幅比为 υ 。

上一讲复习 4. 电磁波的能量和能流 w和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需要用到它们的时间平均值。

上一讲复习 5. 反射和折射定律 时谐情形下的麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界上,并考录到在绝缘介质界面上，σ = 0 ,α = 0。 在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的，由第一、二式可导出其他两式。与此相应，边值关系也不是完全独立的。因此，在讨论时谐电磁波时，介质界面上的边值关系只需考虑以下两式：

上一讲复习 5. 反射和折射定律 两边同时进行频谱分析，得必然有： 即，入射、反射和折射光的频率相等。

上一讲复习 5. 反射和折射定律 由于 x 和 y 是任意的，它们的系数应各自相等， 取入射波矢在 xz 平面上，有 ky = 0，由上式 ky‘ 和 ky“ 亦为零。 因此，入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上。

上一讲复习 5. 反射和折射定律 这就是我们熟知的反射定律和折射定律 对电磁波来说，υ = 1/(με)1/2，因此： n21为介质2相对与介质1的折射率。

上一讲复习 6. 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式 （1）E垂直入射面 利用反射定律和折射定律得

上一讲复习 6. 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式 （2）E平行入射面 利用反射定律和折射定律得

上一讲复习 6. 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式 在θ +θ" = 90°的特殊情况下，，E平行于入射面的分量没有反射波，因而反射光变为垂直入射面偏振的完全偏振光，这时光学中的布儒斯特（Brewster）定律，这情形下的入射角为布儒斯特角。

上一讲复习 6. 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式 菲涅耳公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关系。在E垂直入射的情形，因为当ε2 > ε1时θ > θ"，因此E '/E为负数，即反射波电场于入射波电场反相，这现象称为反射过程中的半波损失。

上一讲复习 7. 全反射 可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E垂直入射面情形，

上一讲复习 7. 全反射 可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E平行入射面情形，

上一讲复习 一．导体内的自由电荷分布 上式表示当导体某处有电荷密度ρ出现时，就有电流从该处向外流出。从物理上看这是很明显的。因为假如某区域有电荷积聚的话，电荷之间相互排斥，必然引起向外发散的电流。由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小。ρ的变化率由电荷守恒定律确定:

上一讲复习 一．导体内的自由电荷分布 解此方程得 由上式，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间τ（ρ值减小到ρ0/e 的时间）为

上一讲复习 一．导体内的自由电荷分布 良导体条件: 只要电磁波的频率满足ω << τ −1 = σ/ε，就可以认为ρ（t）= 0。 对于一般金属导体，τ的数量级为10−17s。 只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良导体。 良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导体表面上。

§5.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 导体内部 ρ = 0，J = σE，麦氏方程组为

§5.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 对一定频率ω的电磁波，可令D = εE，B = μH，则有 时谐（定态）

§5.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 把这组方程和绝缘介质的方程组（5.1---11）比较，差别仅在于第二式右边多了一项σE，这项是有传导电流引起的。如果形式上引入导体的“复电容率” 与绝缘介质的相应方程形式上完全一致。因此只要把绝缘介质中电磁波解所含的ε换作ε' ，即得导体内的电磁波解。

§5.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 复电容率的物理意义 右边两项分别代表位移电流和传导电流。传导电流与电场同相位，它的耗散功率密度为1/2 Re（J*∙E）= σE02/2。位移电流与电场有90°相位差，它不消耗功率。相应地，在所定义的复电容率中，实数部分ε代表位移电流的贡献，它不引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是传导电流的贡献，它引起能量耗散。

§5.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 在一定频率下，对应与绝缘介质的亥姆霍兹方程，在导体内部有方程，当解满足条件 ▽∙E = 0 时代表导体中可能存在的电磁波。

上一讲复习 二、 导体内的电磁波 方程形式上也有平面波解 k为复数，因此k是一个复矢量，即它的分量一般为复数。

上一讲复习 二、 导体内的电磁波 导体中电磁波的表示式为 由此式可见，波矢量k的实部β描述波的传播的相位关系，虚部α描述波幅的衰减。β称为相位常数，α称为衰减常数。

上一讲复习 三、平面波从介质入射到导体表面 由 （即 分界面指向导体内部，波 沿 方向衰减）

上一讲复习 三、平面波从介质入射到导体表面 对于良导体情形，这些公式还可以简化。k2的虚部与实部之比为σ/εω，在良导体情形此值>>1，因而k2的实部可以忽略

上一讲复习 四、趋肤效应和穿透深度 波幅降至原值1/e的传播距离称为穿透深度δ。由上式

上一讲复习 五、导体表面上的反射 反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得 由上式可见，电导率愈高，则反射系数愈接近于1。

上一讲复习 1、只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良导体。良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导体表面上。 2、导体中电磁波的表示式为 波矢量k的实部β描述波的传播的相位关系，虚部α描述波幅的衰减。β称为相位常数，α称为衰减常数。

上一讲复习 3、对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。 4、对于微波或无线电波，反射系数接近于1，只有很小一部分电磁能量透入导体内部而被吸收掉，绝大部分能量被反射出去。因此，在微波或无线电波情形下，往往可以把金属近似地看作理想导体，其反射系数接近于1。

§5.4 波导管、谐振腔 二、理想导体边界条件 理想导体界面边界条件可以形象地表述为，在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。我们可以应用这个规则来分析边值问题中的电磁波图像。

§5.4 波导管、谐振腔 二、理想导体边界条件 在边界面上，若取x，y 轴在切面上，z 轴沿法线方向，由于该处Ex = Ey = 0，因此方程 ▽∙E = 0 在靠近边界上为 ∂Ez/∂z = 0 ，即

§5.4 波导管、谐振腔 三、谐振腔 对每一组（m，n，p）值，由两个独立的波模。谐振频率 ωmnp称为谐振腔的本征频率。

§5.4 波导管、谐振腔 三、谐振腔 若m，n，p中有两个为零，则场强E = 0。若L1 ≥ L2 ≥ L3，则最低频率的谐振波模为（1，1，0），其谐振腔频率为 相应的电磁波波长为

§5.4 波导管、谐振腔 五、矩形波导中的电磁波 2、结果分析及物理意义 横磁波 §5.4 波导管、谐振腔 五、矩形波导中的电磁波 2、结果分析及物理意义 横磁波 对一定的（m，n），如果选取适当的A1,A2,使Hz = 0，则该波模的A1/A2 = kx/ky 就完全确定，对Hz = 0的波模， Ez ≠ 0 。通常选波模为Hz = 0的波，称横磁波（TM）。

§5.4 波导管、谐振腔 五、矩形波导中的电磁波 2、结果分析及物理意义 因此，在波导内传播的波模有如下特点； §5.4 波导管、谐振腔 五、矩形波导中的电磁波 2、结果分析及物理意义 因此，在波导内传播的波模有如下特点； 电场E和磁场H不能同时为横波。

§5.4 波导管、谐振腔 六、截止频率 若激发频率降低到k < ( kx2 + ky2 )1/2 ，则kz变为虚数，这时传播因子exp(ikzz)变为衰减因子。在这种情形下，电磁场不再是沿波导传播的波，而是沿z轴方向振幅不断衰减的电磁振荡。能够在波导内传播的波的最低频率ωc称为该波模的截止频率。（m，n）型的截止角频率为

§5.4 波导管、谐振腔 六、截止频率 若a > b，则TE10波有最低截止频率 §5.4 波导管、谐振腔 六、截止频率 若a > b，则TE10波有最低截止频率 若管内为真空，此最低截止频率为c/2a，相应的截止波长为