混 沌 理 論 日 期：92 / 04 / 25 報 告 人：蔡 燕 純
混沌及其特徵 經典的確定性系統 ↔ 隨機性系統 混沌 — 由一定的非線性作用導致，在確定性系統中 出現極其複雜、貌似無規的運動。 混沌的特徵 1. 混沌是確定性系統內在的隨機性 2. 具有對初始條件的敏感依賴性 3. 一種全新的序 — 非週期、非對稱的複雜有序態。
確定性系統內在的隨機性 Lorenz動力方程式 運動軌跡 確定性 — 繞A、B兩點 隨機性 — 圈數、大小 dx / dt = -σ(x – y) dy / dt = -xz + γx – y dz / dt = xy – bz x, y, z : 速度、溫度、溫度梯度 σ,γ,b : 確定的控制參數 運動軌跡 確定性 — 繞A、B兩點 隨機性 — 圈數、大小
確定性系統內在的隨機性 奇異吸引子 相對於平凡吸引子 — 不動點、極限環、環面吸引子。初始狀態接近的軌跡始終接近。 右圖以無磨擦的單擺運動說明其相空間為極限環。
確定性系統內在的隨機性 奇異吸引子 Lorenz吸引子 — 確定性與隨機性的統一。 製造 Rössler 吸引子 — 重複伸展、折疊。
混沌學中的兩個重要概念 奇異吸引子 — 混沌系統的長期行為不可預測。 碎形 — 混沌系統的空間結構特點(Mandelbrot) 幾何特性 : 自相似性 — 局部與整體的相似。 維數的尺度不變性 — 具有分數維數。 例子 ： 海岸線、大樹、血管體系（廣義的物理碎形） Koch曲線、Sierpinski地毯（數學碎形）
混沌學中的兩個重要概念 Koch曲線 - 永不自我相交且連續的封閉曲線 - 無限的曲線長度 - 有限的面積 - 相似維數 D = logN / log(1/β) = log(4) / log(3) = 1.2618 > 1 β: 相似比 N : 子集合個數
進入混沌 倍週期分岔進入混沌 — 以生物種群繁衍為例 Xn：某一年的數量 ； a：控制參數，生殖率 Xn+1 = aXn ( 1 – Xn ) 0 < Xn < 1 ，a > 0 Xn：某一年的數量 ； a：控制參數，生殖率
進入混沌 混沌中的普適性(Feigenbaum） - 測度普適性 — 寬度比極限值α＝2.5029 進入混沌的過程具有相同的分岔 結構。 - 結構普適性 — 單峰映射函數 進入混沌的過程具有相同的分岔 結構。 - 測度普適性 — 寬度比極限值α＝2.5029 間距比極限值δ＝4.6692 碎形 倍週期分岔中的α
進入混沌 倍週期分岔處參數值及其關係（間距比）
對初始條件的敏感依賴性 差之毫釐，失之千里 Xn+1 = aXn ( 1 – Xn )，a = 4 1 2 50 300 0.199999 0.639997 0.921603 0.001779 0.597519 0.200000 0.640000 0.921600 0.251742 0.987153 0.200001 0.640002 0.961597 0.421653 0.004008
對初始條件的敏感依賴性 Lorenz的天氣變化模擬與「蝴蝶效應」 一隻南美洲蝴蝶的振翅，會造成北美洲的一場大風暴
混沌的啟示 系統的短期行為是可以預測的 — 注意分辨混沌區與敏感點，嚴防小失誤造成大危害。 藉由微觀無序之手法，達到宏觀有序的目的 — 社會系統大多是混沌系統，所預測的系統是長期∕短 期行為須依系統的性質而定。 注意分辨混沌區與敏感點，嚴防小失誤造成大危害。 藉由微觀無序之手法，達到宏觀有序的目的 — 複雜性背後存在著簡單規則，對於認識和管理社會能提 供幫助。