实验三 FIR数字滤波器设计

实验目的 了解FIR数字滤波器的原理。 熟悉FIR数字滤波器从设计到实现的具体过程及其应用。

实验原理 一个N阶FIR滤波器只使用当前的和过去N-1个输入样点来获得当前的输出： 其中h(k)为滤波器的参数序列，也即时域冲击响应，H(m)称为滤波器的频率响应。FIR滤波器设计即寻求一组参数h(k)，使其H(m)具有所需要的频率响应特性。

实验原理 FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)： 很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真； 可得到多带幅频特性； 极点全部在原点(永远稳定)，无稳定性问题； 任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足； 无反馈运算，运算误差小。

实验原理 FIR数字滤波器的缺点： 因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价； 无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。

一个简单的FIR低通滤波器 (a). 一个5点平滑滤波器的参数序列h(k) (b). h(k)的归一化的离散频率幅度响应|H(m)| (c). H(m)的相位响应

(a). 归一化频率幅度响应|H(m)| (b). H(m)的相位响应 (c). 滤波器的幅度响应0Hz~fs/2Hz

实验原理 如果希望得到的理想滤波器的频响为 ，那么 FIR 滤波器的设计就在于寻找一个传递函数 去逼近 ，逼近的方法有以下三种： 去逼近 ，逼近的方法有以下三种： 窗口设计法(时域逼近) 频率采样法(频域逼近) 最优化设计(等波纹逼近)

实验原理 窗口设计法是从滤波器的单位脉冲响应序列，即参数序列着手，使h(k)逼近理想滤波器的单位脉冲响应序列hd(n)。而hd(n)可以通过对理想滤波器频响进行付氏反变换获得： 一般来说，理想频响是分段恒定，在边界频率处有突变，所以得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往无限长，并且非因果。

实验原理 为了用一个有限长的序列h(k)去近似无限长的hd(n)，最容易想到的办法就是直接截取hd(n)最主要的一段作为h(k) 。这种截取可看成是hd(n)和一个“窗函数”的乘积： h(k)=w(k) hd(n) 这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN(k)，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还有很多其它形式，除了截取之外，还在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。

设计过程 a. 求解hd(n) 一个截止频率为ωc的线性相位理想低通滤波器的频响为 ( 为滤波器的延时常数) 则：

设计过程 b. 加窗截取得到h(k) hd(n)是一个以 为中心的偶对称的无限长非因果序列。为了保证所得到的是线性相位FIR滤波器，截取时应以 为中心。 这里用矩形窗WR(k)截取N点作为h(k)。截取后滤波器的延时为

设计过程 c. 计算H(ejω) 由于时域相乘对应着频域卷积，所以h(k)的频响H(ejω)为理想频响Hd(ejω)和窗函数的频响W(ejω)相互卷积的结果。对频响起作用的只有幅度谱函数，且可以证明H(ω)也是Hd(ω)和WR(ω)的卷积。 矩形窗的幅度谱函数为 理想频率幅度函数为 则：

矩形窗的卷积过程（P95的图4.5来说明）

实验原理 通过分析可以了解到窗函数对理想特性的影响： 改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为4π/N，等于WR(ω)的主瓣宽度。(取决于窗长N) 过渡带两旁产生肩峰和余振(带内、带外起伏)，取决于WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣与主瓣相对值大，肩峰强。(与N无关，取决于窗口形状) N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变WR(ω)的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远不变(例如矩形窗时永远为8.95%的波动)，这种现象称为吉布斯(Gibbs)效应。

用矩形窗设计的c=p/2 (fs/4)FIR滤波器的幅度响应 0.25 0.5 0.75 1 -40 -30 -21 -10 N=15 N=31

实验原理 肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。它取决于窗口形状。 改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求： 窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。

窗函数法设计FIR

几种常用的窗函数： 1. 矩形窗，上面已讲过，不再细述 2. 汉宁窗（升余弦窗） 利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W（ω）可用矩形窗的幅度函数表示为：

三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为 。  

3. 汉明窗（改进的升余弦窗） 它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。   4. 布莱克曼窗（三阶升余弦窗） 增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为 。增加N可减少过渡带。 频谱的幅度函数为：

窗函数图形

四种窗函数的比较 窗口函数的频谱 N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|

线性相位FIR滤波器的幅度特性 四种情况

四种线性相位FIR滤波器

四种线性相位FIR 特性 第一种情况 ，偶对称单位脉冲响应、N为奇，四种滤 波器都可设计

实验内容 1 建立DSP项目，针对采样频率为8KHz(在agc_func.h中更改)的信号编程设计一个FIR低通滤波器，主要技术指标： 通带截止频率0.25π(fs/8=1kHz) 通带最大衰减<=0.2db 阻带截止频率<0.5π(fs/4=2KHz) 阻带最小衰减>=40db 编程时，设置初始参数N=31,wc=0.34*pi。运行程序后使用CCS观察h(n)及其频响图形，分析并做记录： 0.2db频点f0，40db频点f1，过渡带宽(f1-f0)； 对应的参数N和wc。 调整N和wc，使得f0=1KHz，f1<1.3KHz。每次调整后记录上述内容

实验内容 2 用信号源产生一个正弦信号，频率远小于1KHz、峰峰值小于0.8V，从音频输入端口输入。 编程实现信号采样并叠加随机噪声后，通过设计好的FIR低通滤波器进行滤波，并将结果输出。加噪前后的信号和滤波后的信号分别存放到三个不同的数组中。 构建运行程序后在CCS中观察： 加噪前后信号波形及频谱，记录频谱图的特点。 滤波后信号的波形及频谱，记录频谱图的特点。 改变输入信号的频率，用示波器观察输入信号和输出信号的变化。

四 IIR数字滤波器设计与DSP实现 实验目的 了解IIR数字滤波器的原理。 熟悉IIR数字滤波器从设计到实现的具体过程及其应用。

实验原理 在IIR滤波器的设计中，常用的方法是：先根据设计要求寻找一个合适的模拟原型滤波器，然后根据一定的准则将此模拟原型滤波器转换为数字滤波器，即为我们需要设计的数字滤波器。 转换的准则包括有双线性变换法和脉冲响应不变法

实验原理 用Matlab语言辅助设计IIR滤波器 [N，ωc]=buttord(ωp，ωs，Rp，Rs); 求butterWorth滤波器最小阶数N和3db截至频率ωc。

实验原理 [B，A]=butter(N，ωc)； butterWorth滤波器设计函数。 B和A分别为所设计的ButterWorth数字滤波器系统函数H(z)的分子和分母多项式系数向量。

实验原理 IIR滤波器对输入信号的作用：其输入输出关系如下

实验内容 给定IIR数字低通滤波器的主要技术指标：通带截止频率=0.25π，通带最大衰减=0.2db，阻带截止频率=0.5π，阻带最小衰减=40db，采样频率为8KHz。

实验内容 用Matlab语言设计IIR数字低通滤波器的系数A、B及H(ω)，算法如下： [N, fc]=buttord(fp,fs,rp,rs) 　　 /*计算阶数N和3DB截止频率*／ [B，A]=butter(N,fc) 　　　　　/*设计IIR低通巴特沃斯模拟滤波器系数B、A*/ 　　[H]=freqz(B,A,80) /*计算IIR滤波器的频率响应*/ 　　[r]=real(H) /*求H(ω) 的实部*/ 　　[i]=imag(H) /*求H(ω) 的虚部*/ 　　[H]=sqrt(r.*r+i.*i) 　　　　　/*求出H(ω)的模，IIR滤波器的幅频特性*/

实验内容 观察设计的低通滤波器的频率响应。 用信号源产生一个正弦信号，频率小于等于1500Hz、幅度小于1V，经采样后叠加了随机噪声。信号+噪声经IIR低通滤波器滤除带外频率及噪声。观察并记录低通滤波器输入和输出信号波形及其频谱的幅值，验证低通滤波器的低通特性。

实验报告 本次实验的实验目的,实验原理,实验步骤,实验结果实验数据及问题回答,实验感想等 根据自己感兴趣内容或查阅相关资料自行设计一个DSP系统的软件实现或者硬件实现电路