線性規劃模式 Linear Programming Models

線性規劃簡介 Introduction to Linear Programming 線性規劃模型(Linear Programming model)是在一組「線性」的限制式(a set of linear constraints)之下，尋找極大化(maximize)或極小化(minimize)一個特定的目標函數(objective function) 線性規劃模型由下列三個部分組成: 一組決策變數 (A set of decision variables) 一個特定的目標函數(An objective function) 一組「線性」的限制式 (A set of constraints)

線性規劃簡介 Introduction to Linear Programming 線性規劃重要性 許多現實問題本身就適用線性規劃模型 已存在許多有效的求解技巧 已存在許多著名的成功應用實例 Manufacturing Marketing Finance (investment) Advertising Agriculture

線性規劃簡介 Introduction to Linear Programming 線性規劃重要性 線性規劃套裝軟體之所產生的結果提供有用的「如果…則」 “what… if” 的分析資訊

線性規劃模型之假設 Assumptions for Linear Programming 參數具有「確定性」(certainty) 目標函數與限制式符合「固定規模報酬」之假設(constant returns to scale) 「疊加性」之假設：決策變數間沒有互動性 ，即某函數之總價值只能藉由線性加總求得 「連續性」 (Continuity) 之假設變數值必須再某一個可行範圍內 500單位產品$4*500=$2000，3*500=1,500Hrs生產 1 單位產品$4， 3Hrs生產

典型範例 The Galaxy Industries Production Problem 宇宙光Space Ray. 射擊手Zapper. 資源限制(Resources) 1000 磅特殊塑膠化合物 (special plastic) 每週40 小時生產時間(40 hrs of production time per week)

典型範例 The Galaxy Industries Production Problem 市場需求(Marketing requirement) 每週總產量至多 700 打 Space Rays週產量不能過Zappers 350打以上 技術係數 (Technological inputs) (Table 2.2) Space Rays 每打需要 2 pounds 塑膠與 3分鐘生產時間 Zappers每打需要 1pound 塑膠與 4分鐘生產時間

典型範例 The Galaxy Industries Production Problem 生產需求: Space Ray每打利潤(profit) $8，Zappers每打利潤(profit) $5 盡量多生產Space Ray，剩餘資源再生產Zapper 目前生產計畫: Space Rays = 450 dozen Zapper = 100 dozen Profit = $4100 per week 8(450) + 5(100)

管理是尋求一個生產排程為了是能增加公司的利潤 Management is seeking a production schedule that will increase the company’s profit.

線性規劃模式可以提供一種深 入與聰明之方法來解決此問題 A linear programming model can provide an insight and an intelligent solution to this problem.

典型範例線性規劃模式 The Galaxy Linear Programming Model 決策變數(Decisions variables): X1 = 每週生產的 Space Rays 打數 X2 =每週生產的 Zappers 打數 目標函數(Objective Function): 極大化每週總利潤

典型範例線性規劃模式 The Galaxy Linear Programming Model Max 8X1 + 5X2 (每週總利潤) subject to 2X1 + 1X2 £ 1000 (塑膠原料,Plastic) 3X1 + 4X2 £ 2400 (生產時間,Production Time) X1 + X2 £ 700 (最大產量,Total production) X1 - X2 £ 350 (組合) Xj> = 0, j = 1,2 (非負值,Nonnegativity)

線性規劃模式圖形分析 Graphical Analysis of Linear Programming 滿足模型全部限制式的所有點集合稱為 The set of all points that satisfy all the constraints of the model is called a 可行區域 FEASIBLE REGION

圖形表示法(graphical presentation) 所有限制式(all the constraints) 目標函數(objective function) 可行點(three types of feasible points)

圖形分析 – 可行區域 Graphical Analysis – the Feasible Region The non-negativity constraints (非負限制式) X2 X1

圖形分析 – 可行區域 Graphical Analysis – the Feasible Region X2 1000 Plastic限制式 2X1+X2 £ 1000 700 Total production 限制式 X1+X2 £ 700 (多餘) 500 Infeasible Feasible Production Time 限制式 3X1+4X2 £ 2400 X1 500 700

圖形分析 – 可行區域 (p. 67~68) Graphical Analysis – the Feasible Region X2 1000 Plastic限制式 2X1+X2 £ 1000 700 Total production 限制式 X1+X2 £ 700 (多餘) 500 Infeasible Mix限制式 X1-X2 £ 350 Feasible Production Time 限制式 3X1+4X2£ 2400 X1 500 700 內部點Interior points. 邊界點 Boundary points. 端點Extreme points. 可行點(feasible points)有三種

以圖形求解是為了尋求最佳解Solving Graphically for an Optimal Solution

尋求最佳解圖解程序 (p.71) The search for an optimal solution 由任一個 profit開始, say profit = $1,250. X2 往利潤增加方向移動 increase the profit, if possible... 1000 持續平行移動到無法增加為止 continue until it becomes infeasible 700 500 Optimal Profit =$4360 紅色線段 Profit =$1250 X1 500

最佳解 (p.69) Summary of the optimal solution Space Rays X1 * = 320 dozen Zappers X2 * = 360 dozen Profit Z * = $4360 此最佳解使用了所有的塑膠原料(plastic)與生產時間 (production hours). 2X1 + 1X2 = 1000 (塑膠原料,Plastic) 3X1 + 4X2 = 2400 (生產時間,Production Time) Excel試算表 束縛方程式(Binding Constraints):等式被滿足之限制式

最佳解 (p.70~71) Summary of the optimal solution 總產量(Total production) 680 打 (not 700打) Space Rays 產量只超過 Zappers 40打 X1 + X2 = 680 < 700 (總產量) X1 - X2 = -40 < 350 (產品組合) 總產量有700-680=20的寬鬆 產品組合有350-(-40) = 390的寬鬆 非束縛方程式(Non-Binding Constraints)：最佳點不在其等式之限制式 寬鬆(Slack)：限制式右邊與左邊的差額，代表資源的剩餘數量

端點與最佳解 (p.72) Extreme points and optimal solutions 若一個線性規劃問題有一組最佳解，此最佳解一定發生在”端點”上 (端點最佳解之候選人,True/False) 兩個束縛方程式的交點形成一個”端點”或”角點” 3X1+4X2 = 2400 X1 = 0 之解 (0,600) 2X1+ X2 = 1000 3X1+4X2 = 2400 之解 (320,360) 端點：可行區域的角點 2X1+ X2 = 1000 X1-X2 = 350 之解 (450,100)

多重最佳解 Multiple optimal solutions 若多重最佳解存在，則目標函數必定平行其中一個限制式 多重最佳解之任何加權平均值亦為一組最佳解 X=αX1+(1-α)X2 , α∈[0,1] 亦為最佳解 X2=(0,600) 最佳解2 X1=(350,0) 最佳解1 目標函數 Z

最佳解敏感性分析之角色 The Role of Sensitivity Analysis 最佳解敏感性分析之角色 The Role of Sensitivity Analysis of the Optimal Solution (p.75) 輸入參數之變動對於最佳解之敏感度為何? 從事敏感性分析之原因： 輸入參數可能只是估計值或最佳估計值 模型建立在一個動態環境，因此有些參數可能變動 “如果..會”(“What-if”)分析可以提供經濟地與作業地資訊.

(1) 目標函數係數之敏感性分析Sensitivity Analysis of Objective Function Coefficients. 最佳範圍(Range of Optimality) (p.76) 當其他因素保持不變時，在不改變最佳解之情況下，目標函數某係數可以變動多少? (p.77)最佳解將不會改變，若 目標函數係數仍在最佳範圍內 不改變其他輸入參數 目標函數某係數乘上一個非零正數，則目標函數會改變.

目標函數係數之敏感性分析Sensitivity Analysis of Objective Function Coefficients. X2 1000 減少C1係數由8→3.75 Max 4X1 + 5X2 最佳解仍為(320,360) Max 3.75X1 + 5X2 Max 8X1 + 5X2 (0,600) 600 C1係數=2，最佳解為(0,600) 而(320,360)不再是最佳解 (320,360) Max 2X1 + 5X2 X1 500 800

目標函數係數之敏感性分析Sensitivity Analysis of Objective Function Coefficients. X2 1000 Max8X1 + 5X2 增加C1係數，由8→10 最佳解仍包含(320,360) 600 Max 10 X1 + 5X2 C1係數的最佳範圍: [3.75, 10] Max 3.75X1 + 5X2 (320,360) 同理，C2係數的最佳範圍: [4, 10.67] (Can you find it ?) X1 400 600 800

縮減成本 Reduced cost (p.78) 一個變數Xj =0的縮減成本RCj為目標函數係數需要增加量的負值(-DZj) ，使得最佳解中該變數為正數(Xj >0) 縮減成本RCj為此變數Xj每增加一單位(DXj=1) ，目標函數會改變的值 C1=2 X*=(0,600)  X1=0 →C1=3.75 X*=(320,360) X1=320>0  RC1 =-∆Z1=-(3.75-2)=-1.75

目標函數係數之敏感性分析 縮減成本 (p.79) ∆X1=1 (由X1=0→X1=1) X1 ≥1 X2 1000 600 X1 500 ∆Z=2998.25-3000 = -1.75  RC1 =-1.75 X1 ≥1 Max 3.75X1 + 5X2 (1,599.25) Z=2998.25 (0,600) Z=3000 600 Max 2X1 + 5X2 X1 500 800

(2) 右手邊數值 之敏感性分析 (p.78) Sensitivity Analysis of Right-Hand Side Values 問題： 若其他參數不變之前提下，若右手值變動一個單位，對於目標函數之最佳解有何影響? 多少變動單位(增加或減少)，可以保持目前最佳解

右手邊數值 之敏感性分析 Sensitivity Analysis of Right-Hand Side Values 發現： 任意變動束縛函數(Binding Constraints)之右手值，都會改變目前最佳解 非束縛函數(Non-Binding Constraints)之右手值，當變動數量少於寬鬆(slack)或剩餘(surplus)量時，都不會改變目前最佳解 此結果可以由影子價格(Shadow Price)來解釋

影子價格 Shadow Prices (p.80) 若其他輸入參數不變之前提下，限制式的影子價格 是當其對應的右手值增加一個單位時，對最佳目標函數值的變動量

影子價格Shadow Price – 圖形表示 graphical demonstration Plastic限制式 X2 1000 X*=(320,360) Z*= $4360 最佳解由(320,360)→(320.8,359.4) 2X1 + 1x2 <=1001 X* =(320.8,359.4) Z* = $4363.4 2X1 + 1x2 <=1000 500 Shadow price = 4363.40 – 4360.00 = 3.40 Production time 限制式 當右手值增加(例如由1000→1001)則可行區域擴大 X1 500

可行性範圍 Range of Feasibility (p.81) 若其他輸入參數不變之前提下 右手值的可行性範圍是影子價格依然不變的 右手值可以變動的範圍. 在可行性範圍內， 目標函數之改變量Change in objective value = [影價Shadow price]*[右手值變量Change in the right hand side value]

塑膠的可行性範圍 Range of Feasibility (p.81) Plastic限制式 X2 塑膠原料的數量可以增加到一個新限制式成為Binding為止 1000 2X1 + 1x2 <=1000 Total Production限制式 X1 + X2 £ 700 Total Production成為 新的束縛限制式 (New Binding Constraint) 500 Production time 限制式 此處為不可行解 X1 500

塑膠的可行性範圍 Range of Feasibility Plastic 限制式 X2 請注意看： 當塑膠數量增加時最佳解的變化 1000 2X1 + 1x2 £1000 Total Production 限制式 X1+X2 ≤ 700 塑膠的可行性範圍 上限 = 2X1 + 1X2 =2*(400)+300=1100 600 X1+ X2 = 700 3X1+4X2 = 2400 之解 X*=(400,300)為最佳解 Production time 限制式 3X1+4X2 ≤ 2400 X1 500

塑膠的可行性範圍 Range of Feasibility X2 請注意看： 當塑膠數量減少時最佳解的變化 Infeasible solution 1000 Plastic 限制式 2X1 + 1X2 £ 1000 600 X1 = 0成為 新的束縛限制式 塑膠的可行性範圍 下限 =2X1 + 1X2 = 2*(0)+1*600=600 3X1+ 4X2 = 2400 X1 = 0 之解 X*=(0,600)為最佳解 Production time 限制式 3X1+4X2 ≤ 2400 X1 500

影子價格的正確解釋 The correct interpretation of shadow prices (p.83) 已投入成本(Sunk costs): 未被包括在目標函數係數之計算當中的資源成本- Shadow Price為該資源額外一單位的價值 淨利潤可以將已投入成本$3800由目標函數值中扣除 1000磅塑膠每磅$3 → Total Cost = $3000 Production Time $20/hr → Total Cost =$20*40=$800 不管一週實際使用多少塑膠與Production Time，$3000+$800=$3800都必須支付，故為已投入成本

影子價格的正確解釋 The correct interpretation of shadow prices (p.83) 已包括成本(Included costs):被包括在目標函數係數之計算當中的資源成本─Shadow Price為高於該資源之現有單位價值之額外的價值 見p.84表格2.5說明 塑膠每磅$3 →塑膠影價每磅=$3.4 →管理者願意為額外塑膠磅數多支付$6.8(已包括成本) Production Time $0.33/min (or $20/hr) ， Production Time影價每分鐘=$0.4 →管理者願意為額外Production Time多支付 $0.73

(3) 其他後最佳性變動 (p.84) Other Post - Optimality Changes 加入一個新限制式(Addition of a constraint) 刪除一個限制式(Deletion of a constraint) 決定最佳解是否滿足此限制式 Yes, the solution is still optimal No, re-solve the problem (the new objective function is worse than the original one) 決定刪除的限制式是否為束縛限制式 Yes, re-solve the problem (the new objective function is better than the original one) No, the solution is still optimal

其他後最佳性變動 (p.84) Other Post - Optimality Changes 刪除變數 (Deletion of a variable) 增加變數 (Addition of a variable)─考慮淨邊際利潤(Net Marginal Profit) 決定被刪除變數在最佳解中是否為0 Yes, the solution is still optimal No, re-solve the problem (the new objective function is worse than the original one)

其他後最佳性變動 (p.85) Other Post - Optimality Changes 【範例】 X3=新產品大水槍產量 每一個大水槍需3lb塑膠與5min 生產時間 每打利潤$10 Max 8X1 + 5X2+ 10X3 (每週總利潤) subject to 2X1 + 1X2 + 3X3 ≤ 1000 (塑膠原料,Plastic ,Shadow Price = $3.4) 3X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 2400 (生產時間,Production Time, SP = $0.4) X1 + X2 +X3 ≤ 700 (最大產量,Total production, SP = $0) X1 - X2 ≤ 350 (組合, SP = $0) Xj> = 0, j = 1,2,3 (非負值,Nonnegativity) 淨邊際利潤=$10-($3.4*(3)+$0.4*(5)+$0*(1)+$0*(0)) = -$2.2 <0 大水槍不具生產價值  X*=(320,360,0) 仍為最佳解

其他後最佳性變動 (p.85) Other Post - Optimality Changes 左手係數的變動(Changes in the left - hand side coefficients.)

使用Excel Solver 尋找最佳解與分析結果 點選Galaxy.xls，可見輸入試算表 點選工具\規劃求解(Solver)，可見下列對話視窗. Set Target cell $D$6 此儲存格包含 目標函數值 Equal To: By Changing cells 這些儲存格包含 決策變數 $B$4:$C$4 加入限制式按此鍵… $D$7:$D$10 $F$7:$F$10 所有具有相同方向 之限制式必須包含 在一個” Excel限制式”.

使用 Excel Solver 點選Galaxy.xls，可見輸入試算表 . 此儲存格包含 目標函數值 Set Target cell 點選 “選項/Option” 並勾選”線性規劃” 與 “非負”. Set Target cell $D$6 此儲存格包含 目標函數值 Equal To: By Changing cells 這些儲存格包含 決策變數 $B$4:$C$4 $D$7:$D$10<=$F$7:$F$10

使用 Excel Solver 點選Galaxy.xls，可見輸入試算表 按Solve以求最佳解 Set Target cell $D$6 Equal To: By Changing cells $B$4:$C$4 $D$7:$D$10<=$F$7:$F$10

使用Excel Solver – 最佳解

使用Excel Solver – 最佳解 Solver 能提供分析報告與最佳解

使用Excel Solver –解答報表 Answer Report

使用Excel Solver –敏感性分析報表Sensitivity Report

無單一最佳解之模型 不可行性(Infeasibility): 一模型中無可行點 (p.96) 無窮性(Unboundness): 一模型中可行解存在，但目標函數沒有限制。目標函數值為無限大(在極大化問題)或無限小(在極小化問題) (p.98) 多重解(Alternate solution):一模型中有一個以上的可行點使目標函數為最佳(p.98)

不可行模型 Infeasible Model 1 No point, simultaneously, lies both above line and below lines and . 2 3

不可行模型 Solver 呈現之結果 Solver呈現無法找到可行解之結果

無窮性 Unbounded solution Maximize 目標函數 可行區域

無窮性模型 Solver 呈現之結果 Solver呈現Set Cell值無法收斂之結果

多重最佳解模型 Solver 呈現之結果 Solver 沒有提醒”多重最佳解”存在的情形 有”多重最佳解”的LP模型，則某個變數Xj 的目標函數的allowable increase or allowable decrease為0. 以Solver尋找多重最佳解的程序如下：(p.99) 觀察到某個變數Xj中 Allowable increase = 0, 或 Allowable decrease = 0.

多重最佳解模型 Solver 呈現之結果 Excel試算表 加入一個限制式: Objective function = Current optimal value. If Allowable increase = 0, change the objective to Maximize Xj If Allowable decrease = 0, change the objective to Minimize Xj Excel試算表

LP程式的代數解法 線性規劃軟體可以求解大型線性模型 大多數線性規劃軟體使用的技巧 整數線性規劃軟體使用的技巧 單形法(Simplex Method) (原理部分見補充CD3) 內點法(Interior Point Method) 整數線性規劃軟體使用的技巧 如切面法(Cutting Plane Method) 分支界限法(Branch and Bound Point Method) (原理部分見補充CD3)