数学附录 １ 欧氏空间：欧氏空间Rn的每一点有n个分量，它们都是实数；两点x=(x1,…xn)和y=(y1,…,yn)之间的距离为

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1 数学附录 １ 欧氏空间：欧氏空间Rn的每一点有n个分量，它们都是实数；两点x=(x1,…xn)和y=(y1,…,yn)之间的距离为
d(x,y) = [(x1-y1)2+…+(xn-yn)2]1/2。 给出实数>0，欧氏空间中一点x的-邻域B(x,)包含所有到这点距离小于的点。 ２ 序列和极限：假设X是欧氏空间Rn的一个子集，{xk}k=1 是X中的一个(无穷)序列。称x*为这个序列的一个聚点，如果x*的任意一个邻域中都包含有这个序列中的点。注意：x*不必在X中；又一个序列可以有多个聚点。 特别地，如果给出x*的每一个邻域B(x*,)，这个序列从某一项开始，这一项及其后所有的项都包含于B(x*,)，那么 x*就是这个序列的唯一聚点，称为这个序列的极限。这时又称这个序列收敛于是x*。 ３ 开集和闭集：欧氏空间中的一个子集F叫做闭的，如果包含于的X每一个序列的所有聚点都属于F本身。欧氏空间中一个子集G叫做开的，如果它的余集Gc=Rn\G是闭的。

2 数学附录 ４ 内点和界点：欧氏空间中一个子集X的点x叫做一个内点，如果它的某一个邻域B(x,)整个被包含在X内；称x为X的一个界点，如果x的每一个邻域既包含X的点也包含余集Xc的点。X的全体内点之集记为Int(X)，X的全体界点之集记为Bdy(X)。 一个开集G的每个点都是内点，一个闭集F包含它所有界点。 ５ 紧致性：欧氏空间中一个子集X叫做紧致的（序列紧），如果X中每一个序列都有子序列收敛于X本身某个点。可以证明，欧氏空间中的每个有界闭集都是紧致集，反之亦然。

3 数学附录 ６ 连续函数：定义在欧氏空间子集X上的实值函数f叫做在某点xX连续的，如果对于每一个收敛于x的序列{xk}k=1X，相应的函数值序列{f(xk)}k=1 都收敛于f(x)。如果函数f在X上每一个点都连续，就称f在X上连续。 定义在紧致集X上的每一个连续函数都在X中取得最大值和最小值。

4 数学附录 ７ 凸集：A set Xn is said to be a convex set if for any two points x’ and x” in X and any real number [0, 1], the point x=(1-)x’+x” is contained in X. The intersection of any number of convex set is also convex. ８. For any m points x1,…,xm in n, and any 1,…,m in [0, 1] such that ii=1, x=iixi is said to be a convex combination of x1,…,xm.

5 数学附录 9 凹函数： Assume that a real-valued function f is defined on a convex set Xn. f is said to be concave if for any x’ and x” in X, and any real number (0, 1), it holds that (1-)f(x’)+f(x”)  f((1-)x’+x”) f is said to be strictly concave if the sign “” in the above inequality is replaced by “<”.

6 数学附录 10 凸函数： Assume that a real-valued function f is defined on a convex set Xn. f is said to be convex if for any x’ and x” in X, and any real number (0, 1), it holds that (1-)f(x’)+f(x”)  f((1-)x’+x”) f is said to be strictly concave if the sign “” in the above inequality is replaced by “>”.

7 数学附录 11 拟凹函数：A function f defined on a convex set Xn is said to be quasi-concave, if for any x’ and x” in X and any [0, 1]: f((1-)x’+x”)  min {f(x’),f(x”)} f is said to be strictly quasi-convex, if the sign “” in the above inequality is replaced with “>”. 7. Any concave (strictly concave) function is quasi-concave (strictly quasi-concave), but the converse is not true.

8 数学附录 12 拟凸函数：A function f defined on a convex set Xn is said to be quasi-convx, if for any x’ and x” in X and any [0, 1]: f((1-)x’+x”)  min {f(x’),f(x”)} f is said to be strictly quasi-convex, if the sign “ ” in the above inequality is replaced with “<”. . Any convex (strictly convex) function is quasi-convex (strictly quasi-convex), but the converse is not true.

9 数学附录 14 等值集，上值集，下值集： Assume that f be defined on Xn, x0X, and f(x0) = y0. The level set, the superior set, and the inferior set for level y0 are, respectively, the sets: L(y0) = {xX: f(x)=y0}; S(y0) = {xX: f(x)y0}; I(y0) = {xX: f(x)y0}

10 数学附录 A necessary and sufficient condition for a function f defined on a convex set Xn to be quasi-concave (resp. quas-convex) is that all the superior sets S(y) (resp. all the inferior sets I(y)) are convex; f is strictly quasi-concave (resp. strictly quas-convex) if all S(y) (resp. I(y)) are convex, and for any two points x’ and x” in any S(y), (resp. I(y)), the points on the line segment {x=(1-)x’+x”: [0, 1]} expect possibly the two endpoints are all contained in Int(S(y)) (resp. I(y)).

11 数学附录 15 二元凹函数和拟凹函数的判别： Assume that f(x,y) is defined on a convex set X and f is C2. Then f is concave if f xx < 0 and f xx fyy –(f xy )2 > 0. A necessary and sufficient condition for a function f defined on a convex set Xn to be quasi-concave is that all the superior sets S(y) are convex; f is strictly quasi-concave if all the superior sets S(y) are convex, and for any two points x’ and x” in any superior set S(y), the points on the line segment {x=(1-l)x’+lx”: l[0, 1]} expect possibly the two endpoints are all contained in Int(S(y)).

12 数学附录 16 凸规划: Assume that f and g are differentiable functions defined on a convex set Xn and non-decreasing in each variable. Assume that f is quasi-concave and g is quasi-convex, and that f(O)=g(O)=0. Then both of the primal and the dual convex programming problems (where c>0 and k>0 are constants):   max f(x), S.T. g(x)<c, min g(x), S.T. f(x)>k,   have optimal solutions. The solution of the primal (resp.the dual) problem is a tangent point of g(x)=c (resp. f(x)=k) with a level set of f (resp. g).

13 偏好和效用 消费集：考虑一个有M种商品的经济。一个各分量非负的M-维向量x=(x1,...,xM)就称为一个商品向量，这个向量的第m个分量xm表示第m种商品的量。一个消费者i意欲消费的商品向量的全体Xi构成他的消费集。在一般情况下，我们认为Xi=RM+。 容许消费集：对消费者i来说，一个商品向量称为容许的，如果他的收入足够支付购买这个商品向量所需的花费。对于给定的价格向量p和给定的收入I, 消费者i的所有容许商品向量构成他的容许消费集，记为Bi(p,I)。

14 偏好和效用 下面我们讨论消费者i的消费决策。为方便计我们略去他的消费集和容许消费集的上标。定义在X上的一个偏好就是一个二元关系≽: “x ≽y”是指“x至少和y一样好”。(如果有x ≽y但没有y ≽x，就记x≻y，称x比y好。如果有x ≽y同时有y ≽x，就记x⋍y，称x和y无区别。) 这个二元关系应该满足： 完备性：对于X中任何两个消费向量x, y，或者“x ≽ y”与“y ≽ x”至少一个成立； 传递性：如果x ≽ y和y ≽z同时成立，那么x ≽z； 连续性：如果对序列{xn}中的每一个xn都有xn ≽y而且 lim xn=x ，那么x ≽y。

15 偏好和效用 单调性：（1）严格增性指 x>>y ⇒ x≻y ，注意这蕴含了xy ⇒ x≽y；（2）强严格增性指 xy并且x≠y ⇒ x ≻y。 凸性： （1）弱凸性指 x≽y ⇒ tx+(1-t)y ≽y 对任何实数t[0, 1]；（2）强凸性指 x≽y & x≠y ⇒ tx+(1-t)y ≽y 对任何实数t(0, 1)。

16 偏好和效用 效用函数：设≽为消费者i的偏好；称定义在Xi=RH上的函数u表示i的偏好，如果对任意x,yRM，u(x)u(y)⇔x≽y。注意，上式蕴含了u(x)>u(y)⇔x≻y 以及u(x)=u(y)⇔x⋍y。u又称为i的效用函数。 效用函数的存在性定理：如果消费者i的偏好≽满足完备性，传递性，连续性和严格增性公理，那么存在连续严格增的效用函数u表示i的偏好。又如果u是i的一个效用函数，那么对任何严格增的一元实函数f，f(u(·))也是i的效用函数。 定义在RM +上的函数f称为拟凹的，如果对于x,y RM+ (x≠y) 和t(0, 1)，f((1-t)x+ty)min{f(x),f(y)}；如果上面的不等式是严格不等式，则称f是严格拟凹的。 偏好的凸性和效用函数的凹性：如果u是表示≽的效用函数，那么u是（严格）拟凹的当且仅当≽是（严格）凸的。

17 偏好和效用 函数拟凹性的判别定理：假设函数f在RM++上有二次连续偏导数，那么（1）如果f在RH++上拟凹，则在RM++上它的所有加边Hessian主子式Br≤0 (r=1,…,M)。（2）如果在RM++上每点f的所有加边Hessian主子式Br<0 (r=1,…,K)，那么f在RM++上严格拟凹。 其中， Br的定义如下幻灯片所示，其中fm=∂f/∂xm，fmn= ∂2f/∂xm∂xn 。

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19 偏好和效用 凹函数：定义在RM+上的函数f称为凹的，如果对于x,y RM+ (x≠y) 和t(0, 1)，f((1-t)x+ty)(1-t)f(x)+tf(y)；如果上面的不等式是严格不等式，则称f是严格凹的。 注意：（严格）凹函数是（严格）拟凹函数，但反过来一般不成立。 函数凹性的判定定理：假设函数f在RM++上有二次连续偏导数，那么(1)如果f在RM++上为凹函数，则在RM++上它的Hessian矩阵的所有先导主子式Hr满足(-1)rHr0。(2)如果在RM++上f的Hessian矩阵的所有先导主子式Hr满足 (-1)rHr>0那么f在RM++上严格凹。 Hessian矩阵的定义见下一幻灯片。

20 偏好和效用

21 偏好和效用 从几何上看，一个消费者的偏好如果满足上述五个公理，它就可以用其效用函数的那一组等值曲面即无差别曲面（曲线）表示；笼统地说，离开坐标原点越远的曲面上的消费向量产生的效用越大。消费者的决策问题通常是在容许消费集中选取效用最大化的消费向量；在大多数情况下，这个最优消费向量对应于预算约束平面（直线）和某个无差别曲面的切点。 在本课程中最为常见的效用函数包括Cobb-Douglas和CES效用函数，它们都具有拟凹性。 与偏好和效用相关的另外一些数学知识和重要结论可见于数学附录1中。

22 消费者决策 Marshallian需求：在初级微观经济学的讨论中，通常把消费者的需求视为给定的；在实际情况中，消费者是根据商品的价格向量p和自己的收入I选取消费向量以求效用最大化。由此推导出来的需求x(p,I)就叫做Marshallian需求。在一般情况下（指偏好满足五个公理而具有非严格凸性），x(p,I)是个非空凸闭集；进一步，在偏好严格凸时，x(p,I)是单点集，这时Marshallian需求是价格和收入的连续函数。

23 消费者决策 消费者的决策是个凸规划；无差别曲面的法向量是(u1,…,uM)，预算约束平面 p·x=I 的法向量就是p=(p1,…,pM)；因此在最优解处有实数使得(u1,…,uM) =(p1,…,pM)。由此得u1/p1=…=uM/pM。就是说，对每一种商品而言，边际效用和相应的价格成比例。 设想在无差别曲面u(x1,…,xM)=const上让xm ,xn 变化而其他商品的消费量保持不变，容易导出商品i对商品j的边际替代率 MRSmn-dxn/dxm=pm/pn。

24 消费者决策 简例1 小陈妈妈每天给小陈的伙食开支是I，用来买食物(f)和饮料(d)，它们的价格分别用pf, pd表示。假设小陈的效用函数是u=(fd)1/2。试推导小陈的Marshallian需求。

25 消费者决策 简例1（续）小陈的决策是个凸规划；他的预算约束直线方程是pff+pdd=I，其法向量为(pf,pd)；他的无差别曲线方程为u=const，法向量为(uf,ud)。在最优决策点上这两个法向量共线，即有实数使得(uf,ud)= (pf,pd)；由此得到：uf/pf=ud/pd。（对所有商品而言边际花费所得的边际效用都相等。）注意就是Lagrange乘数。 简例1（续）当u=(fd)1/2时， (fd)1/2=const就是fd=const， 从而(uf,ud)=(d,f)；由此得到pff=pdd= =I/2；就是说，小陈的Marshallian 需求函数是：f=I/(2pf)，d=I/(2pd)。

26 消费者决策 间接效用函数：间接效用函数表示消费者的最大效用U和他的收入I以及商品价格向量p之间的相依关系。在效用函数为严格拟凹时，将消费者的Marshallian需求函数代入效用函数中，得到U=v(p,I)u(x(p,I))，这里v就是间接效用函数。 可以证明，在一般情况下，间接效用函数是拟凸函数，分别对p（p>>0）和对I（I0）连续。 简例1（续）回到简例1，小陈的间接效用函数就是v(p,I)=u(I/(2pf),I/(2pd))=I/[2(pfpd)1/2]。

27 消费者决策 支出函数：支出函数表示消费者的最小支出E和商品的价格向量p以及消费者想要达到的某一效用水平V之间的相依关系。支出最小化和效用最大化是一对对偶问题。从间接效用函数关系V=v(p,I)中解出IE=e(p,V)，e就是支出函数。 支出函数e分别对p（p>>0）和对V连续；又e对于p是凹函数。 简例1（续）回到简例1，从V=I/[2(pfpd)1/2]解得IE=2(pfpd)1/2V，e(p,V)=2(pfpd)1/2V就是小陈的支出函数。

28 消费者决策 Hicks需求函数：Hicks需求函数表示出消费者以最小支出在价格向量p下取得某个给定效用水平V而选择的消费向量。将最小支出函数代入Marshallian需求函数中的收入I，就得到Hicks需求函数h：h(p,V)x(p,e(p,V))。 必须注意，在价格向量p和收入I给定的情况下，如果V=x(p,I)，那么因为e(p,V)=I，所以h(p,V)=x(p,I)。但是当价格向量改变成p’后，一般而言，e(p,V)不再等于I，所以h(p’,V)一般不再等于x(p’,I)。特别的，如果p’p并且p’≠p，则有e(p’,V)>I；在所有商品都是正规商品时，h(p’,V)=x(p’,e(p’,V))>>x(p’,I)。

29 消费者决策 简例1（续）小陈的Hicks需求函数是hf(p,V)= 2(pfpd)1/2V/(2pf)= (pd/pf)1/2V，hd(p,V)= 2(pfpd)1/2V/(2pd)= (pf/pd)1/2V。 简例1（续）假设原来I=8，pf=pd=2；那么Marshallian需求为xf=xd=2，效用水平是V=2。同时容易验证他的Hicks需求是：hf=hd=(2/2)1/2V=2。 简例1（续）设想食物的价格上涨到pf’=4而饮料的价格不变；小陈的Marshallian需求改变为xf=1，xd=2。如果要保持原来的效用水平，他的Hicks需求是：hf=(2/4)1/2(2)=21/2 ，hd=(4/2)1/2(2)=221/2。

30 消费者决策 Roy’s 恒等式：注意到间接效用函数V=v(p,I)由求解优化问题：max u(x), S.T. p·x=I 而得。根据包络定理，∂V/∂pm=∂L/∂pm =-xm(p,I);再注意到=∂V/∂I=∂L/∂I，最后得出xm(p,I)=-(∂V/∂pm)/(∂V/∂I)。 Sheperd’s引理：注意到支出函数E=e(p,V)由求解优化问题：min I=p·x, S.T. u(x)=V 而得。根据包络定理， ∂E/∂pm=∂L/∂pm= =xm(p,e(p,V))=hm(p,V)。

31 消费者决策 Slutsky方程：从xm(p,e(p,V))=hm(p,V)中对pn求导得到hm/pn=xm/pn+(xm/I)(E/pn)=xm/pn+ xn(p,I)(xm/I)；由此得到 xm/pn= hm/pn-xn(p,I)(xm/I)。 在支出函数E=e(p,V)有二阶连续偏导数时,根据Shepherd引理：smnhm/pn=2E/pmpn=snm。由于支出函数e为凹函数，smmhm/pm0。这就是说，对任何商品，Hick需求曲线的斜率小于或等于0。

32 消费者决策 在Slutsky方程 xm/pm=hm/pm-xm(p,I)(xm/I)中，左边（xm/pm）是商品m价格改变时引起对商品j的实际需求量的边际改变，右边第一项（hm/pm）是消费者维持原效用水平时商品m价格改变导致的商品j需求量的边际改变（替代效应），右边第二项中(xm/I)是消费者的收入改变时他对商品m需求量的边际改变（收入效应）。 在价格的改变量是有限量（非无穷小量）时，替代效应和收入效应如下图所示。

33 消费者决策 How would the graph change if the good was inferior?
Quantity of y An increase in the price of good x means that the budget constraint gets steeper C The substitution effect is the movement from point A to point C Substitution effect A Income effect The income effect is the movement from point C to point B B U1 U2 Quantity of x How would the graph change if the good was inferior?

34 消费者决策 简例1（续）从上面的计算结果知道，当食物的价格从pf=2上涨到pf’=4而饮料的价格pd=2不变时，小陈的Marshallian需求改变为xf=1，xd=2。如果他要保持原来的效用水平，他的Hicks需求是：hf=(2/4)1/2(2)=21/2 ，hd=(4/2)1/2(2)=221/2，而最小支出为I’=8 21/2。由此得到食物价格上升对食物需求量的替代效应是： 21/2-2= …；而收入效应是：1-21/2 = …。 关于替代效应收入效应和消费者价格指数的关系，见附录2。